Hermitescher Operator

Hermitescher Operator

Hermitesche Operatoren, benannt nach Charles Hermite, sind in der Mathematik betrachtete Operatoren, die eine zentrale Rolle in der mathematischen Struktur der Quantenmechanik spielen. Der Begriff des hermiteschen Operators wird in der Literatur uneinheitlich definiert, in diesem Artikel werden besonders die physikalischen Sicht- und Schreibweisen verwendet.

Unterschiedliche Konventionen

Der Begriff des hermiteschen Operators wird in der Literatur uneinheitlich definiert. So kommt in manchen mathematischen Darstellungen der Begriff „hermitescher Operator“ überhaupt nicht vor; stattdessen werden sogenannte symmetrische, symmetrische dicht definierte, wesentlich selbstadjungierte und selbstadjungierte Operatoren betrachtet.[1] Unterschiede treten erst in den für physikalische Anwendungen wichtigen unendlichdimensionalen Räumen auf.

In der physikalischen Literatur wird dagegen der Begriff des „symmetrischen Operators“ in der Regel gar nicht verwendet: stattdessen redet man von vornherein von hermiteschen Operatoren (genauer müsste man sagen: „hermitesch im engeren Sinne“ [2]), um zu betonen, dass man es nicht mit reellen, sondern mit komplexen Hilberträumen zu tun hat. In den späteren Kapiteln der physikalischen Standard-Lehrbücher werden mit „hermiteschen Operatoren“ (genauer: „hermitesch im weiteren Sinn“) in der Regel selbstadjungierte Operatoren[3] bezeichnet (der etwas subtile Unterschied wird oft vernachlässigt oder durch Synonyme wie „hypermaximal hermitesche Operatoren“ anstelle der „selbstadjungierten Operatoren“ vereinfacht [4][5]).

Die hier gewählte Darstellung ist ein Kompromiss, indem zwar der Begriff des „symmetrischen Operators“ auch für die komplexwertigen Hilberträume der Physik verwendet wird, aber sonst die Konventionen der Physiker mit der Identifikation „hermitesch = selbstadjungiert“ benutzt werden, wie das etwa in den Lehrbüchern von Albert Messiah[6] zu finden ist. Die hier gegebene Darstellung richtet sich also zunächst an physikalisch interessierte Leser, weshalb auch die auf Dirac zurückgehende Bra-Ket-Notation verwendet wird, die gewisse mathematische Subtilitäten in den Hintergrund treten lässt. Auf diese wird aber im Abschnitt Mathematische Bemerkungen eingegangen.

Definitionen

Operator

Sei $ A $ ein Operator auf einem Hilbertraum, das heißt eine Abbildung auf diesem Hilbertraum in sich. Die Elemente dieses Hilbertraums werden als Ket-Vektoren $ |\varphi\rangle $ geschrieben und repräsentieren oft Funktionen aus $ L^2 $-Räumen, z. B. die Wellenfunktion $ \varphi(\vec r,t) $ eines quantenmechanischen Zustands. Ein solcher Operator transformiert einen Vektor in einen anderen:

$ |\psi\rangle = A|\varphi\rangle. $

Dabei wird nicht gefordert, dass jedem Vektor ein anderer zugeordnet wird; oft gelingt eine solche Zuordnung nur für Vektoren eines dichten Teilraums. Ist zum Beispiel der Hilbertraum ein $ L^2 $-Raum und der Operator ein Ableitungsoperator, so kann er nur auf differenzierbare Funktionen wirken.

Diese Operation soll linear sein, um das physikalisch relevante Superpositionsprinzip zu sichern. Die komplexe Zahl $ \langle\chi |\psi\rangle = \langle\chi | \left(A|\varphi\rangle\right) $, also das Skalarprodukt von $ |\psi\rangle = A|\varphi\rangle $ mit einem Bra-Vektor $ \langle\chi | $ eines weiteren Zustands, wird in der Physik durchgängig als das Matrixelement von $ \,A $ bezeichnet.

Bisweilen wird über das Operatorsymbol noch ein Dach gesetzt, um die Wirkung des Operators $ \hat{A} $ auf einen Vektor $ |\varphi\rangle $ von der Multiplikation des Vektors mit einer komplexen Zahl $ A $ zu unterscheiden. Das ist aber nur dann erforderlich, wenn man Operatoren und ihre Eigenwerte mit demselben Buchstaben bezeichnen will, man kann dann eine Eigenwertgleichung $ \hat{A}|\varphi\rangle = A|\varphi\rangle $ schreiben. Davon wird in diesem Artikel kein Gebrauch gemacht.

Adjungierter Operator

Der zu $ A $ adjungierte Operator $ A^\dagger $ [7] ist dadurch definiert, dass seine Matrixelemente die konjugiert komplexen Zahlen der Matrixelemente von $ \,A $ sind, wenn man Bra und Ket miteinander vertauscht:

$ \langle \chi | \left( A^\dagger | \varphi \right) \rangle = \left[ \; \langle \varphi | \left( A | \chi \right) \rangle\; \right]^* . $

Daher ist $ \langle \varphi | A^\dagger $ der Bra, der dem Ket $ A| \varphi \rangle $ zugeordnet ist, und man kann im Matrixelement ohne Gefahr einer Verwechselung auf die runden Klammern verzichten.

Ist $ | \varphi \rangle = | \chi \rangle $, wird das Matrixelement der Erwartungswert von $ \,A $ im Zustand $ | \varphi \rangle $ genannt.

Hermitescher Operator

$ A $ heißt formal selbstadjungiert (oder, im physikalischen Sprachgebrauch üblich, hermitesch), wenn $ A = A^\dagger $.

Dann gilt für seine Matrixelemente $ \langle \chi | A | \varphi \rangle = \left[ \; \langle \varphi | A | \chi \rangle \; \right]^* $. Alle Erwartungswerte sind dann reell, denn für jeden Vektor $ | \varphi \rangle $ aus dem Definitionsbereich gilt $ \langle \varphi | A | \varphi \rangle = \left[ \; \langle \varphi | A | \varphi \rangle \; \right]^* $. Dann ist auch jeder Eigenwert von $ \,A $ reell, denn die Eigenwerte sind die Erwartungswerte zu den jeweiligen normierten Eigenvektoren. Da in der Quantenmechanik alle messbaren Größen (Observablen) durch Erwartungs- oder Eigenwerte von Operatoren dargestellt werden, muss es sich hierbei um hermitesche Operatoren handeln, damit die vorhergesagten Messergebnisse reell sind.

Beispiele

x-Koordinate

In der Ortsdarstellung betrachtet man den Raum $ L^2(\R^3) $ aller quadrat-integrablen Funktionen auf dem dreidimensionalen Anschauungsraum. Typische hermitesche Operatoren sind etwa die Multiplikation mit der $ x $-Koordinate zur Messung der $ x $-Koordinate des Aufenthaltsortes eines Teilchens,

$ A|\psi(x,y,z)\rangle = |x\,\psi(x,y,z)\rangle $

oder der Hamilton-Operator $ - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(x,y,z) $ zur Bestimmung der Energie

$ A|\psi(x,y,z)\rangle = |-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi(x,y,z) + V(x,y,z)\,\psi(x,y,z)\rangle $,

wobei $ V(x,y,z) $ für das skalare Potential eines Feldes steht, unter dessen Einfluss sich das Teilchen bewegt. Weitere wichtige Beispiele sind der Impulsoperator oder die Drehimpulsoperatoren.

Endlichdimensionale Beispiele

Ein zweidimensionales Beispiel erhält man durch die Behandlung des Spins. Der Raum wird von den beiden Vektoren „Spin hoch“ $ (|\!\uparrow\rangle) $ und „Spin runter“ $ (|\!\downarrow\rangle) $ erzeugt. Die Operatoren auf zweidimensionalen Räumen sind $ 2\times 2 $-Matrizen, zum Beispiel die hermiteschen Pauli-Matrizen.

Ein endlichdimensionaler hermitescher Operator $ A $ (eine hermitesche Matrix) mit den Elementen $ m_{ij} \in \C $ wird wie folgt adjungiert:

$ A^\dagger = \begin{pmatrix} m_{11} && m_{12} && \cdots && m_{1n} \\ m_{21} && m_{22} && \cdots && m_{2n} \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ m_{n1} && m_{n2} && \cdots && m_{nn} \end{pmatrix}^{\dagger} = \begin{pmatrix} m_{11}^* && m_{21}^* && \cdots && m_{n1}^* \\ m_{12}^* && m_{22}^* && \cdots && m_{n2}^* \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ m_{1n}^* && m_{2n}^* && \cdots && m_{nn}^* \end{pmatrix}, $

wobei $ m_{ji}^* $ die komplexe Konjugation von $ m_{ji} $ ist. Es gilt also $ m_{ij}^\dagger = m_{ji}^* $, das heißt, die $ (i,j) $-te Komponente der Adjungierten ist die komplexe Konjugation der $ (j,i) $-ten Komponente der Ausgangsmatrix.

Impulsoperator

Das folgende einfache Beispiel zeigt deutlich den Unterschied zwischen symmetrischen und hermiteschen (=selbstadjungierten) Operatoren. Wir betrachten den Impulsoperator in $ x $-Richtung $ P_x = - \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial x} $. Genauer wird man als Definitionsbereich für die Funktion $ \psi (x) $ ein endliches (oder unendliches) Intervall definieren, etwa $ x\in [0,1] $, und wird zunächst nur festlegen wollen, dass die Funktion $ P_x\psi (x) $ auf dem angegebenen Intervall quadratintegrabel ist. Es bleibt dann die Frage, welche Randbedingungen man für $ \psi (x) $ fordern soll. Zunächst ist man geneigt, anzunehmen, dass $ \psi (0)=\psi (1) \stackrel{!}=0 $ sein sollte; denn dann ist - wie man leicht mittels partieller Integration zeigen kann - die „Symmetrie“ gegeben:

$ \begin{align} \langle\psi (x)|P_x \psi (x)\rangle & = \int_0^1 \,\mathrm{d}x\,\psi(x)^* \,(P_x\psi (x))\\ & = (-i\hbar)\{\psi^* (1)\psi(1)-\psi^* (0)\psi (0)\}+\int_0^1\,\mathrm{d}x\,(P_x\psi(x))^*\psi (x)\\ & = \langle P_x\psi (x)|\psi (x)\rangle \end{align} $

weil beim „Überwälzen“ der Ableitung von rechts nach links durch die partielle Integration unter dem Integral, dem letzten Term vor dem äußersten Gleichheitszeichen, ein Minuszeichen entsteht, das durch den Term $ -i $ und den Übergang zum konjugiert Komplexen kompensiert wird, $ -i^*=+i $, während die Randterme bei der Integration explizit Null ergeben. Die Randterme kompensieren sich aber auch zu Null, wenn man nur fordert, dass die Funktion $ \psi (x) $ die Bedingung $ \psi (0)\equiv\psi (1) $ erfüllen soll.

Mit der zweiten, der abgeschwächten Randbedingung ist das System aber nicht bloß „symmetrisch“, wie mit der ersten Randbedingung, sondern sogar selbstadjungiert. Das ist nicht nur mathematisch, sondern physikalisch relevant: Nur so erhält man Messbarkeit und ein vollständiges System von Eigenfunktionen. Diese sind hier konkret benennbar, $ \psi_n (x)\sim \exp(i 2\pi n\,x)\,, $ wobei $ n $ die ganzen Zahlen durchläuft. Dagegen würde zu der erstgenannten Randbedingung keine einzige dieser Funktionen passen, denn sie haben alle an der entscheidenden Stelle, $ x=0 $, von Null verschiedene Werte.

Die erstgenannte Randbedingung ist also unphysikalisch und nur mit speziellen nicht-trivialen Potentialen näherungsweise realisierbar, während bei der zweiten Randbedingung freie Elektronen und verschwindendes Potential angenommen werden können.

Mathematische Bemerkungen

Schon obige Beispiele zeigen, dass die quantenmechanischen Operatoren nicht auf alle Ket-Vektoren angewendet werden können. Das Ergebnis der Multiplikation mit der $ x $-Koordinate liegt im Allgemeinen nicht mehr im Hilbertraum $ L^2(\R^3) $ der Ket-Vektoren, und im Falle des Hamilton-Operators fehlt es manchen $ L^2 $-Funktionen an Differenzierbarkeitseigenschaften. Da nutzt auch eine Verallgemeinerung auf Distributionsableitungen nichts, da nicht alle solche Ableitungen wieder im Raum der Ket-Vektoren liegen. Man ist daher gezwungen, die Operatoren in ihrem Wirkungsbereich auf einen Unterraum einzuschränken, der aber wenigstens noch eine dichte Teilmenge im Raum aller Ket-Vektoren ist. Ist in physikalischen Darstellungen bei einer Operatorengleichung von „allen“ Ket-Vektoren die Rede, so sind immer alle des Definitionsbereichs der beteiligten Operatoren gemeint.

Die Beschränkung auf einen Teilraum hat zur Folge, dass auch der adjungierte Operator nicht überall definiert ist. Die Forderung, dass $ \langle \varphi|A|\varphi\rangle $ für alle Ket-Vektoren (aus dem Definitionsbereich von $ A $) reell ist, bedeutet dann, dass $ A^\dagger $ eine Erweiterung des Operators $ A $ ist, das heißt der Definitionsbereich von $ A^\dagger $ umfasst denjenigen von $ A $ und beide Operatoren stimmen auf letzterem überein. Solche Operatoren nennt man symmetrisch.

Symmetrische Operatoren sind im Allgemeinen nicht selbstadjungiert, das heißt im Allgemeinen gilt nicht $ A=A^\dagger $, denn dazu müssten die Definitionsbereiche beider Operatoren übereinstimmen. Die physikalisch relevanten Operatoren, die messbare Größen beschreiben, sind aber selbstadjungiert, denn nur dann hat man den vollen Spektralsatz (in der Sprache der Physik: den „Entwicklungssatz“) zur Verfügung. Diesen braucht man u.a. in der axiomatischen Behandlung des quantenmechanischen Messprozesses (siehe z. B. quantenmechanischer Zustand) und bei der konkreten Berechnung von Funktionen von Operatoren, wie das etwa durch den Unbeschränkten Borel-Funktionalkalkül ermöglicht wird. Oft kann man symmetrische Operatoren durch gewisse Abschlussoperationen zu selbstadjungierten Operatoren erweitern. Das gilt insbesondere für nach unten beschränkte Operatoren, wie sie bei Hamilton-Operatoren auftreten, denn Energien sind nach unten beschränkt, siehe dazu die Friedrichssche Erweiterung.

In vielen Physik-Lehrbüchern wird kein großes Gewicht auf diesen Unterschied gelegt. Zum einen bringt die Betrachtung der Definitionsbereiche meist keine tieferen physikalischen Einsichten über das betrachtete System, und des Weiteren kann man sich in der Regel darauf verlassen, dass die Verwendung der „richtigen“ Operatoren, gepaart mit der „richtigen“ physikalischen Intuition, zu „richtigen“ Ergebnissen führt. Ferner liegen alle physikalisch relevanten Funktionen, auf die es die Operatoren anzuwenden gilt, nämlich die Eigenfunktionen, stets im Definitionsbereich. Vorsicht ist auch bei den sogenannten „uneigentlichen Eigenfunktionen“ angebracht (z. B. bei Dirac-Funktionen oder bei monochromatischen Wellen), denn diese sind nicht normierbar und liegen daher nicht im Raum der Ket-Vektoren.

Die Dirac'sche Notation unterstützt die pragmatische Herangehensweise der Physiker. Eine mathematisch vollständige Darstellung der Quantenmechanik bis einschließlich der Lösung des Wasserstoffproblems findet man im unten angegebenen Lehrbuch von Hans Triebel[8].

Einzelnachweise

  1. Bei den endlichdimensionalen Vektorräumen der linearen Algebra sind alle Begriffe identisch.
  2. Die Definition eines Operators $ A $ mit der Eigenschaft "hermitesch im engeren Sinne" (hier: „symmetrisch“) ist $ \langle \psi_a |A\psi_b\rangle=\langle A\psi_a |\psi_b\rangle $ für alle Zustände $ \psi_a $ bzw. $ \psi_b $ aus dem Definitionsbereich des Operators $ A $ in einem komplexen Hilbertraum mit Skalarprodukt $ \langle .|.\rangle $. Als „hermitesch im weiteren Sinn“ (oder besser: „selbstadjungiert“) bezeichnet man dagegen Operatoren, für die $ A^\dagger= A $ gilt, während „hermitesch im engeren Sinne“ nur impliziert, dass $ A^\dagger $ eine Erweiterung von $ A $ ist, $ A^\dagger\supseteq{ A}\,. $
  3. Siegfried Großmann: Funktionalanalysis, Akademische Verlagsgesellschaft, Bd.2, S.189 bezeichnet selbstadjungiert-beschränkte Operatoren als hermitesch
  4. Werner Döring: Einführung in die Quantenmechanik, Göttingen 1962 benutzt dagegen den Begriff „hypermaximal hermitesch“ als Synonym für „selbstadjungiert“ (dieses Synonym stammt ursprünglich von John von Neumann) und den Begriff "hermitesch" anstelle von "symmetrisch"
  5. In dem Lehrbuch von Michael Reed und Barry Simon: Methods of Mathematical Physics, Band 1, Academic Press, 1980 wird auf S. 255 "hermitesch" synonym zu "symmetrisch und dicht definiert" definiert
  6. Albert Messiah: Quantenmechanik, 2 Bände, de Gruyter 1976, 1991, Bd.1 ISBN 3-11-011452-6, Bd.2 ISBN 3-11-012669-9, französisches Original: Mécanique quantique, Dunod, Paris 1959, 1964, 1969, Englische Übersetzung: Quantum Mechanics, New York, Interscience und Amsterdam, North Holland, 1961/62
  7. Die Mathematiker schreiben für den Adjungierten Operator oft $ A^\ast $
  8. Hans Triebel: Höhere Analysis, Berlin, Deutscher Verlag der Wissenschaften 1972, 2. Auflage, Harri Deutsch 1980, (englisch Higher Analysis, Barth 1992)

Diese Artikel könnten dir auch gefallen



Die letzten News


23.06.2021
Fürs Rechenzentrum: bisher kompaktester Quantencomputer
Quantencomputer waren bislang Einzelanfertigungen, die ganze Forschungslabore füllten.
17.06.2021
Helligkeitseinbruch von Beteigeuze
Als der helle, orangefarbene Stern Beteigeuze im Sternbild Orion Ende 2019 und Anfang 2020 merklich dunkler wurde, war die Astronomie-Gemeinschaft verblüfft.
17.06.2021
Das Elektronenkarussell
Die Photoemission ist eine Eigenschaft unter anderem von Metallen, die Elektronen aussenden, wenn sie mit Licht bestrahlt werden.
17.06.2021
Ultrakurze Verzögerung
Trifft Licht auf Materie geht das an deren Elektronen nicht spurlos vorüber.
17.06.2021
Entdeckung der größten Rotationsbewegung im Universum
D
13.06.2021
Die Taktgeber der Sonne
Nicht nur der prägnante 11-Jahres-Zyklus, auch alle weiteren periodischen Aktivitätsschwankungen der Sonne können durch Anziehungskräfte der Planeten getaktet sein.
13.06.2021
Wenn Schwarze Löcher den Weg für die Sternentstehung in Satellitengalaxien freimachen
Eine Kombination von systematischen Beobachtungen mit kosmologischen Simulationen hat gezeigt, dass Schwarze Löcher überraschenderweise bestimmten Galaxien helfen können, neue Sterne zu bilden.
13.06.2021
Flüssiges Wasser auf Monden sternenloser Planeten
Monde sternenloser Planeten können eine Atmosphäre haben und flüssiges Wasser speichern. Münchner Astrophysiker haben berechnet, dass die Wassermenge ausreicht, um Leben auf diesen wandernden Mond-Planeten-Systemen zu ermöglichen und zu erhalten.
13.06.2021
Solar Orbiter: Neues vom ungewöhnlichen Magnetfeld der Venus
Solar Orbiter ist eine gemeinsame Mission der Europäischen Weltraumorganisation (ESA) und der NASA, die bahnbrechende neue Erkenntnisse über die Sonne liefern wird.
13.06.2021
Quantenbits aus Löchern
Wissenschafter haben ein neues und vielversprechendes Qubit gefunden – an einem Ort, an dem es nichts gibt.
07.06.2021
Gammablitz aus der kosmischen Nachbarschaft
Die hellsten Explosionen des Universums sind möglicherweise stärkere Teilchenbeschleuniger als gedacht: Das zeigt eine außergewöhnlich detaillierte Beobachtung eines solchen kosmischen Gammastrahlungsblitzes.
31.05.2021
Verblüffendes Quantenexperiment wirft Fragen auf
Quantensysteme gelten als äußerst fragil: Schon kleinste Wechselwirkungen mit der Umgebung können zur Folge haben, dass die empfindlichen Quanteneffekte verloren gehen.
31.05.2021
Symmetrie befördert Auslöschung
Physiker aus Innsbruck zeigen in einem aktuellen Experiment, dass auch die Interferenz von nur teilweise ununterscheidbaren Quantenteilchen zu einer Auslöschung führen kann.
31.05.2021
Wie Wasser auf Eisplaneten den felsigen Untergrund auslaugt
Laborexperimente erlauben Einblicke in die Prozesse unter den extremen Druck- und Temperatur-Bedingungen ferner Welten. Fragestellung: Was passiert unter der Oberfläche von Eisplaneten?
31.05.2021
Neues Quantenmaterial entdeckt
Auf eine überraschende Form von „Quantenkritikalität“ stieß ein Forschungsteam der TU Wien gemeinsam mit US-Forschungsinstituten. Das könnte zu einem Design-Konzept für neue Materialien führen.
27.05.2021
Wenden bei Höchstgeschwindigkeit
Physiker:innen beobachten neuartige Lichtemission. und zwar wenn Elektronen in topologischen Isolatoren ihre Bewegungsrichtung abrupt umdrehen.
27.05.2021
Mit Klang die Geschichte der frühen Milchstraße erkunden
Einem Team von Astronominnen und Astronomen ist es gelungen, einige der ältesten Sterne in unserer Galaxie mit noch nie dagewesener Präzision zu datieren.
11.05.2021
Teleskop zur Erforschung von Objekten höchster Dichte im Universum
Eine internationale Gruppe von Astronomen hat erste Ergebnisse eines groß angelegten Programms vorgestellt, bei dem Beobachtungen mit dem südafrikanischen MeerKAT-Radioteleskop dazu verwendet werden, die Theorien von Einstein mit noch nie dagewesener Genauigkeit zu testen.
11.05.2021
Quantencomputing einfach erklärt
„Quantencomputing kompakt“ lautet der Titel eines aktuellen Buchs, das Bettina Just veröffentlicht hat. Die Mathematikerin und Informatikerin, die an der Technischen Hochschule Mittelhessen (THM) lehrt und forscht, behandelt darin ein Teilgebiet der Informationstechnik mit großem Entwicklungspotenzial.
11.05.2021
Auf dem Weg zum kleinstmöglichen Laser
Bei extrem niedrigen Temperaturen verhält sich Materie oft anders als gewohnt.
07.05.2021
Die Entdeckung von acht neuen Millisekunden-Pulsaren
Eine Gruppe von Astronomen hat mit dem südafrikanischen MeerKAT-Radioteleskop acht Millisekunden-Pulsare entdeckt, die sich in Kugelsternhaufen mit hoher Sterndichte befinden.
04.05.2021
Handfeste Hinweise auf neue Physik
Das Fermilab (USA) hat heute erste Daten aus dem Myon g-2 Experiment veröffentlicht, welche die Messwerte des gleichnamigen, 2001 durchgeführten Experiments am Brookhaven National Laboratory bestätigen.
04.05.2021
Neuer Exoplanet um jungen sonnenähnlichen Stern entdeckt
Astronomen aus den Niederlanden, Belgien, Chile, den USA und Deutschland bilden neu entdeckten Exoplaneten „YSES 2b“ direkt neben seinem Mutterstern ab.
07.04.2021
Myon g-2: Kleines Teilchen mit großer Wirkung
Das Myon g-2-Experiment des Fermilab in den USA steht vor einem Sensationsmoment, der die Geschichte der Teilchenphysik neu schreiben könnte. Und vielleicht sogar Hinweise auf noch unbekannte Teilchen im Universum gibt.
02.04.2021
Zwei merkwürdige Planeten
Uranus und Neptun habe beide ein völlig schiefes Magnetfeld.