Pauli-Matrizen

Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen $ \sigma _1, \sigma _2, \sigma _3 $ (nach Wolfgang Pauli) sind spezielle komplexe hermitesche 2×2-Matrizen. Zusammen mit der 2×2-Einheitsmatrix, die in diesem Zusammenhang mit $ \sigma _0 $ bezeichnet wird, bilden sie sowohl eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen als auch eine Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2×2-Matrizen.

Sie wurden von Wolfgang Pauli 1927 zur Beschreibung des Spins eingeführt[1], waren in der Mathematik aber auch schon vorher bekannt.

Definition

Die Pauli-Matrizen lauten ursprünglich:

$ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i}\\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}. $

Hierbei bezeichnet $ \mathrm{i} $ die imaginäre Einheit. Die Matrizen wurden ursprünglich in der Quantenmechanik eingeführt, um die grundlegenden Kommutationsregeln der Komponenten des Spin-Operators zu erfüllen (siehe unten). Häufig wird, besonders in der relativistischen Quantenmechanik, noch die Einheitsmatrix als nullte Paulimatrix dazugenommen:

$ \sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. $

Multiplikation

Für die Multiplikation einer Pauli-Matrix mit einer anderen Pauli-Matrix ergibt sich aus den Rechenregeln der Matrixmultiplikation folgende Tafel:

$ \cdot $ $ \sigma_0 $ $ \sigma_1 $ $ \sigma_2 $ $ \sigma_3 $
$ \sigma_0 $ $ \sigma_0 $ $ \sigma_1 $ $ \sigma_2 $ $ \sigma_3 $
$ \sigma_1 $ $ \sigma_1 $ $ \sigma_0 $ $ \mathrm{i}\,\sigma_3 $ $ -\mathrm{i}\,\sigma_2 $
$ \sigma_2 $ $ \sigma_2 $ $ -\mathrm{i}\,\sigma_3 $ $ \sigma_0 $ $ \mathrm{i}\,\sigma_1 $
$ \sigma_3 $ $ \sigma_3 $ $ \mathrm{i}\,\sigma_2 $ $ -\mathrm{i}\,\sigma_1 $ $ \sigma_0 $

Das Produkt $ \sigma_i\cdot \sigma_j $ befindet sich in der mit $ \sigma_i $ gekennzeichneten Zeile und der mit $ \sigma_j $ gekennzeichneten Spalte, zum Beispiel $ \sigma_2\cdot \sigma_1 = -\mathrm{i}\,\sigma_3 $. Die 4 Pauli-Matrizen bilden also keine Gruppe.

Die von ihnen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung erzeugte Gruppe hat den Namen $ G^{10}_{16} $.[2] Sie enthält das Element $ \sigma_1\cdot \sigma_2\cdot \sigma_3 = \mathrm{i}\,\sigma_0 = \left(\begin{smallmatrix} \mathrm{i} & 0 \\ 0 & \mathrm{i} \end{smallmatrix}\right) $, welches im Zentrum liegt, also mit allen Elementen kommutiert. Die Gruppe $ G^{10}_{16} $ besteht somit aus den 16 Elementen $ \mathrm{i}^j\,\sigma_k \; \; (j,k = 0,1,2,3), $ so dass sich ihre Multiplikationstafel leicht aus der obigen ableiten lässt. Sie enthält die Quaternionengruppe Q8 als Normalteiler (s. Die Quaternionen als Unterring von C4 und Liste kleiner Gruppen#Pauli-Matrizen), woraus sich $ G^{10}_{16} \cong Q_8 \rtimes \{\sigma_0,\sigma_1\} $ ergibt. Der Zykel-Graph ist Zykel-Graph der von den Pauli-Matrizen gebildeten Gruppe.[3]

Dekomposition von Matrizen

Gegeben sei eine komplexe 2×2-Matrix $ \mathbf{A} $ mit den Elementen $ \left\{ a_{ij}\ |\ i,j \in \left\{ 0,1 \right\}, a_{ij} \in \mathbb{C} \right\} $. Dann lassen sich komplexe Zahlen $ \left\{ z_i\ |\ i \in \left\{ 0,1,2,3 \right\}, z_i \in \mathbb{C} \right\} $ finden, für die gilt:

     $ \mathbf{A} $ $ = \begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_{0}+z_{3} & z_{1}-\mathrm{i}\,z_{2} \\ z_{1}+\mathrm{i}\,z_{2} & z_{0}-z_{3} \\ \end{pmatrix} $
$ =z_0\,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ $ +\, z_1\,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ $ +\, z_2\,\begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \end{pmatrix} $ $ +\, z_3\,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $
$ =z_0\;\;\sigma_0 $ $ +\, z_1\;\;\sigma_1 $ $ +\, z_2\;\;\sigma_2 $ $ +\, z_3\;\;\sigma_3 \; . $

Es gelten die Umrechnungen:

$ a_{00} = z_0 + z_3,\quad a_{01} = z_1 - \mathrm{i}\,z_2,\quad a_{10} = z_1 + \mathrm{i}\,z_2,\quad a_{11} = z_0-z_3, $

bzw.:

$ z_0 = \frac{a_{00} + a_{11}}{2},\quad z_1 = \frac{a_{01} + a_{10}}{2},\quad z_2 = \mathrm{i}\frac{a_{01} - a_{10}}{2},\quad z_3 = \frac{a_{00} - a_{11}}{2}. $

Eine komplexe 2×2-Matrix kann demnach als Linearkombination der $ \sigma_i $ geschrieben werden, und diese Darstellung ist eindeutig. Die Pauli-Matrizen bilden also eine Basis des $ \C $-Vektorraums (und Matrizenrings) $ \C^{2\times 2} $, und diese Basis ist eine orthogonale unter dem Frobenius-Skalarprodukt, welch letzteres $ \C^{2\times 2} $ zu einem Hilbertraum macht.

Die Umrechnungen definieren einen Ringisomorphismus

$ \C^{2\times 2} \to \C^{4} $

mit der üblichen Vektoraddition, der üblichen $ \C $-Skalarmultiplikation und der Vektor-Multiplikation

     $ (x_0,x_1,x_2,x_3)\star (y_0,y_1,y_2,y_3) := ( $ $ x_0 y_0 + \, x_1 y_1 + \, x_2 y_2 + \, x_3 y_3, $
$ x_0 y_1 + \, x_1 y_0 + \mathrm{i} x_2 y_3 - \mathrm{i} x_3 y_2, $
$ x_0 y_2 - \mathrm{i} x_1 y_3 + \, x_2 y_0 + \mathrm{i} x_3 y_1, $
$ x_0 y_3 + \mathrm{i} x_1 y_2 - \mathrm{i} x_2 y_1 + \, x_3 y_0 \, ) $

in $ \C^4. $ Zwei Vektoren sind genau dann miteinander vertauschbar, wenn

$ \begin{align} & x_2 y_3 - x_3 y_2 = \begin{vmatrix} x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3 \end{vmatrix} = 0 \\ & x_3 y_1 - x_1 y_3 = \begin{vmatrix} x_3 & x_1 \\ y_3 & y_1 \end{vmatrix} = 0 \\ & x_1 y_2 - x_2 y_1 = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix} = 0 , \end{align} $

wenn also die Vektorteile $ (x_1,x_2,x_3) $ und $ (y_1,y_2,y_3) $ $ \C $-linear voneinander abhängen.

Die inverse Matrix von $ \mathbf{A}=z_0\,\sigma_0 + z_1\,\sigma_1 + z_2\,\sigma_2 + z_3\,\sigma_3 $ berechnet sich im Fall von $ z_0^2 - z_1^2 - z_2^2 - z_3^2 \ne 0 $ hieraus zu

$ \mathbf{A}^{-1} = \frac{z_0\,\sigma_0 - z_1\,\sigma_1 - z_2\,\sigma_2 - z_3\,\sigma_3}{z_0^2 - z_1^2 - z_2^2 - z_3^2}. $

Hermitesche 2×2-Matrizen

Die Teilmenge der hermiteschen 2×2-Matrizen, also der Matrizen $ \mathbf{A} $ mit

$ \mathbf{A} = \overline{\mathbf{A}}^{\mathrm T}, $

ist ein $ \R $-Untervektorraum, für den die Pauli-Matrizen ebenfalls eine Basis bilden, die Koeffizienten $ z_i $ sind aber reell. Anders gesagt: es gibt bei hermiteschen 2×2-Matrizen vier (reelle) freie Parameter, da $ a_{00} $ und $ a_{11} $ reell sind und $ a_{01} = \overline{a_{10}} $.

Das Produkt zweier hermitescher Matrizen ist hermitesch, wenn sie kommutieren. Der Untervektorraum ist also kein (Unter)ring.

Die Quaternionen als Unterring von C4

(Unter)ring ist aber ein anderer Untervektorraum von $ \C^4 $, der sich durch Koeffizienten $ z_0\in\R, $ $ z_1\in \mathrm i\R, $ $ z_2\in \mathrm i\R, $ $ z_3\in \mathrm i\R $ von $ (\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) $ aufspannen lässt. Er ist ebenfalls mit der $ \R $-Skalarmultiplikation verträglich und zusätzlich hinsichtlich der Multiplikation $ \star $ abgeschlossen. Dieser $ \R $-Untervektorraum ist isomorph zu den Quaternionen $ \mathbb H $.

Als Basis für reelle Koeffizienten kann man die mit der imaginären Einheit multiplizierten Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix nehmen, also die Menge $ \{\sigma_0, \mathrm i \sigma_1, \mathrm i \sigma_2, \mathrm i \sigma_3\} $, mit der isomorphen Zuordnung:

$ 1 \mapsto \sigma_0, \quad i_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_1, \quad j_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_2, \quad k_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_3, $

mit $ i_{\mathbb H},j_{\mathbb H},k_{\mathbb H} $ als den bekannten Einheitsquaternionen. Vor diese Zuordnung lässt sich jeder der 24 Automorphismen der Quaternionengruppe Q8 schalten. So kann auch ein Isomorphismus „in umgekehrter Ordnung“ gebaut werden:[4]

$ 1 \mapsto \sigma_0, \quad i_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_3, \quad j_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_2, \quad k_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_1. $

Anwendung

In der Quantenphysik, in der Observablen hermitesche Operatoren bzw. Matrizen entsprechen, wird der Drehimpulsoperator $ \hat S_i ,\ i\in\{1,2,3\} $ von Spin-½-Zuständen, beispielsweise bei Elektronen, durch die Paulimatrizen dargestellt:

$ \hat S_i \doteq \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i $,

wobei $ \doteq $ „wird dargestellt durch“ bedeutet.

In der relativistischen Quantenmechanik, wo man entsprechend dem relativistischen Vierervektor Formalismus vier Raum-Zeit bzw. Energie-Impuls Variablen hat, tritt die Einheitsmatrix gleichberechtigt zu den drei Pauli-Matrizen (als „nullte“ Pauli-Matrix) und es wird mit ihrer Hilfe die Dirac-Gleichung mit den Dirac-Matrizen aufgebaut.

Direkt tauchen die Pauli-Matrizen in der Pauli-Gleichung zur quantenmechanischen Beschreibung von Teilchen mit Spin im Magnetfeld auf, die sich aus der nichtrelativistischen Reduktion der Diracgleichung ergibt, und in der Beschreibung von Majorana-Fermionen (Majorana-Gleichung).

Darstellung

Die Pauli-Matrizen können neben der Darstellung als Matrizen mit Hilfe der Dirac-Notation dargestellt werden: Dabei können für die Linearkombination entweder die Standard-Basisvektoren oder die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen verwendet werden.

Pauli-Matrix Matrix Linearkombination (Standard-Basisvektoren) Linearkombination (Eigenvektoren)
$ \sigma_1=\sigma_x $ $ \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} $ $ |0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0| $ $ |+\rangle\langle+|\,-\,|-\rangle\langle-| $
$ \sigma_2=\sigma_y $ $ \begin{pmatrix}0 & -\mathrm i\\\mathrm i & 0 \end{pmatrix} $ $ \mathrm i \left( |1\rangle\langle0| - |0\rangle\langle1| \right) $ $ |\phi^+\rangle\langle\phi^+|-|\phi^-\rangle\langle\phi^-| $
$ \sigma_3=\sigma_z $ $ \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} $ $ |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1| $ $ |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1| $

Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert, wobei die verwendeten Kets durch Vektoren des $ \C ^2 $ dargestellt werden, was durch „$ \doteq $“ gekennzeichnet ist:

$ |0\rangle=|s_z+\rangle $ $ \doteq \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} $ $ |1\rangle=|s_z-\rangle $ $ \doteq \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} $
$ |+\rangle $ $ \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} $ $ |-\rangle $ $ \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} $
$ |\phi^+\rangle $ $ \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\mathrm i\end{pmatrix} $ $ |\phi^-\rangle $ $ \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-\mathrm i\end{pmatrix} $

Eigenschaften

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und unitär. Daraus folgt mit dem durch $ \sigma_0:= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ definierten vierten Basiselement

$ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2 = \sigma_0. $

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind

$ \begin{matrix} \det \sigma_i &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{tr} \sigma_i &=& 0 &\end{matrix} $   für $ i = 1, 2, 3. $

Aus Obigem folgt, dass jede Pauli-Matrix $ \mathbf{\sigma}_i $ die Eigenwerte +1 und -1 besitzt.

Des Weiteren:

$ \sigma_1 \, \sigma_2 \, \sigma_3 = \mathrm i \, \sigma_0 $

Die Pauli-Matrizen erfüllen die algebraische Relation

$ \sigma_i \, \sigma_j = \delta_{ij}\sigma_0 + \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k $   für $ i,j = 1, 2, 3\, $

($ \epsilon_{ijk} $ ist das Levi-Civita-Symbol), also insbesondere bis auf einen Faktor 2 dieselben Relationen wie die Drehimpulsalgebra

$ [\sigma_i\,,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k $   für $ i,j = 1, 2, 3. $

und die Clifford- oder Dirac-Algebra $ \mathrm{Cl}(0,3,\mathbb R) $

$ \{\sigma_i\,,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \delta_{ij}\sigma_0 $   für $ i,j = 1, 2, 3. $

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall $ l=1/2 $ von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren $ \Lambda_{m} $ eines Drehimpuls-$ l $-Multipletts mit Quantenzahlen $ m $ in Maßsystemen mit $ \hbar=1 $ folgendermaßen wirken:

$ L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,, $
$ L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,, $
$ L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,. $

Dabei ist $ 2l+1 $ eine natürliche Zahl und für $ m $ treten die $ 2l+1 $ verschiedenen Quantenzahlen $ m=-l,-l+1,\dots ,l $ auf. Für $ l=1/2 $ wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren $ \Lambda_{1/2} $ und $ \Lambda_{-1/2} $ demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

$ L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,, L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,, L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,. $

Mit $ L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-) $ und $ L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-) $ ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe, Zusammenhang mit Spin-1/2-Systemen

Die lineare Hülle der mit $ \mathrm i $ multiplizierten[5] Pauli-Matrizen $ \mathrm i\,\sigma_1,\,\mathrm i\,\sigma_2,\,\mathrm i\,\sigma_3 $ ist mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra. Aufgrund der mit $ \vec n \cdot \vec{\sigma} \,= n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2 + n_3 \sigma_3 $ für jeden Einheitsvektor $ \vec n\in\mathbb R^3 $ geltenden Identität[6]

$ \exp\Bigl(\!\!-\mathrm i\,\tfrac{\alpha}{2} \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \Bigr) = \sigma_0\,\cos\tfrac{\alpha}{2} - \mathrm{i}\, (\vec n \cdot \vec{\sigma})\, \sin\tfrac{\alpha}{2} $

sind diese drei Matrizen die Generatoren der komplexen Drehgruppe SU(2).

Der Faktor 1/2 in der obigen Gleichung ist zwar mathematisch verzichtbar. Die Gleichung wird jedoch in der physikalischen Anwendung häufig in genau dieser Form benötigt. Denn (wie in der Einleitung erwähnt) stellen in der Quantenphysik die Matrizen $ S_i = \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i $ die Operatoren für die Spinkomponenten eines Spin-1/2-Systems (beispielsweise eines Elektrons) dar. Andererseits beschreibt die durch den Exponentialausdruck gegebene Matrix die Veränderung des Spinzustands bei einer räumlichen Drehung. $ \alpha $ ist dabei der Drehwinkel, $ \vec n $ die Drehachse. Für $ \alpha = 2\pi $ ergibt sich $ \exp\bigl(\!\!-\mathrm i\,\pi \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \bigr) = -\sigma_0 $; d. h. der Zustandsvektor eines Spin-1/2-Systems wird durch Drehung um den Winkel $ 2\pi $ in sein Negatives und erst durch Drehung um den Winkel $ 4\pi $ wieder in sich selbst übergeführt („Spinordrehungen“).

Eigenvektoren

Die Matrix $ \sigma_3 $ hat die Eigenvektoren

$ \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \chi_{32} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $

wie man leicht erkennen kann:

$ \sigma_3 \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 \chi_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $

entsprechend den Eigenwerten $ \pm 1 $. Die Eigenvektoren von $ \sigma_1 $ sind

$ \chi_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \chi_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}: $
$ \sigma_1 \chi_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_1 \chi_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $

und die Eigenvektoren von $ \sigma_2 $

$ \chi_{21} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad \chi_{22} = \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}: $
$ \sigma_2 \chi_{21} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 \chi_{22} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \mathrm i \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix} $

Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen

In der Mathematik können mit Hilfe des Tensorprodukts (Kronecker-Produkts) von Pauli-Matrizen (mit Einheitsmatrix) die Darstellungen der höheren Clifford-Algebren über den reellen Zahlen aufgebaut werden.

Pauli-Matrizen können zur Darstellung von Hamilton-Operatoren und zur Näherung der Exponentialfunktion solcher Operatoren verwendet werden. Sind $ \sigma_0 , \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 $ die vier Pauli-Matrizen, so kann man mit Hilfe des Kronecker-Produkt höherdimensionale Matrizen erzeugen.

$ p := \sigma_{\mu_{1}} \otimes \sigma_{\mu_{2}} \otimes ... \otimes \sigma_{\mu_{n}} \quad ; \quad \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n} \in \{0,1,2,3\} \quad ; \quad n \in \N $

Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf diese Matrizen. Sind $ p_1 $ und $ p_2 $ zwei Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen, so gilt:

  • $ p_1 , p_2 $ sind $ 2^n \times 2^n $ Matrizen
  • $ p_1^2 = p_2^2 = 1 \qquad $ (Die $ 2^n \times 2^n $ Einheitsmatrix)
  • $ p_1 p_2 = p_2 p_1 $ oder $ p_1 p_2 = - p_2 p_1 \qquad $ (Kommutativität)
  • $ \operatorname{Spur} \sigma_{\mu_1} \otimes \sigma_{\mu_2} \otimes ... \otimes \sigma_{\mu_n} = 2^{n} \delta_{\mu_1,0} \delta_{\mu_2,0} ... \delta_{\mu_n,0} $
  • Die Kronecker-Produkte von Pauli-Matrizen sind linear unabhängig und bilden eine Basis im Vektorraum der $ 2^n \times 2^n $-Matrizen. Hamilton-Operatoren $ H $ vieler physikalischer Modelle lassen sich aufgrund der Basiseigenschaft als Summe solcher Matrizen ausdrücken (Linearkombination). Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen, die endlich viele Zustände einnehmen können, einfach durch sie ausdrücken.
$ H = \sum_{k=0}^{N} h_{k} p_{k} \quad $ mit $ \quad N \in \N , h_{k} \in \R , p_{k} $ ist Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen.

Beispiele für derartige Modelle sind Hubbard-Modell, Heisenberg-Modell (Quantenmechanik) und Anderson-Modell.

Das Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen tritt bei der Beschreibung von Spin-1/2-Systemen auf, die aus mehreren Teilsystemen aufgebaut sind. Der Zusammenhang ist dadurch gegeben, dass das Tensorprodukt zweier Operatoren in der zugehörigen Matrixdarstellung gerade durch das Kronecker-Produkt der Matrizen gegeben ist (siehe Kronecker-Produkt#Zusammenhang mit Tensorprodukten).

Näherung der Exponentialfunktion des Hamilton-Operators

Häufig interessiert man sich für die Exponentialfunktion des Hamilton-Operators.

$ \exp\{-\beta H\} = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-\beta)^l}{l!} \biggl( \sum_{k=0}^{N} h_{k} p_{k} \biggr)^l $   mit   $ \beta \in \R $

Aufgrund der Kommutativität kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen. Ist $ \pi $ eine Permutation, so ist:

$ p_{\pi_{1}} p_{\pi_{2}} ... p_{\pi_{n}} = a p_{1} p_{2} ... p_{n} $   mit   $ n \in \N , a \in \{1,-1\} $

Deshalb existieren rationale Zahlen $ E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} $ mit:

$ \exp\{-\beta H\} = \sum_{k_{1}=0}^{\infty} \sum_{k_{2}=0}^{\infty} ... \sum_{k_{N}=0}^{\infty} E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} (-\beta h_{1})^{k_{1}} (-\beta h_{2})^{k_{2}}...(-\beta h_{N})^{k_{N}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} ... p_{N}^{k_{N}} $

Diese rationalen Zahlen sind, von Ausnahmen abgesehen, schwer zu berechnen.

Eine erste Näherung ergibt sich, indem man nur Summanden berücksichtigt, die aus kommutierenden Matrizen bestehen.

$ E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} = 0 $ falls ein Paar $ 1 \le a,b \le N $ mit $ p_{a} p_{b} = - p_{b} p_{a} $ und $ k_{a},k_{b} > 0 $ existiert
$ E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} = \frac{1}{k_{1}!} \frac{1}{k_{2}!} ... \frac{1}{k_{N}!} $ sonst

Die Näherung lässt sich weiter verbessern, indem man Paare, Tripel, … von nicht kommutierenden Matrizen berücksichtigt.

Literatur

  • Willi-Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-14811-X.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise und Kommentare

  1. Wolfgang Pauli „Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons“, Zeitschrift für Physik, Bd.43, 1927, S. 601
  2. Nummerierung nach The Small Groups library, zitiert nach R. J. Mathar: Zykel-Graphen Plots endlicher Gruppen bis zur Ordnung 36. 2014.
  3. R. J. Mathar: Zykel-Graphen Plots endlicher Gruppen bis zur Ordnung 36. 2014.
  4. Mikio Nakahara: Geometry, topology, and physics, CRC Press, 2003, Seiten xxii ff (Google Books).
  5. Durch die Multiplikation mit $ \pm\mathrm i $ entstehen aus hermiteschen Matrizen schiefhermitesche Matrizen. Eine Darstellung mit Hilfe von Hermiteschen Operatoren und Matrizen wird von Physikern bevorzugt, weil in der Quantenmechanik messbare Größen (sog. Observablen) stets durch Hermitesche Operatoren beschrieben werden.
  6. Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. S. 1142, W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0

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25.03.2021
Astronomen bilden Magnetfelder am Rand des Schwarzen Lochs von M 87 ab
Ein neuer Blick auf das massereiche Objekt im Zentrum der Galaxie M 87 zeigt das Erscheinungsbild in polarisierter Radiostrahlung.
24.03.2021
Die frühesten Strukturen des Universums
Das extrem junge Universum kann nicht direkt beobachtet werden, lässt sich aber mithilfe mathematischer Theorien rekonstruieren.
24.03.2021
Können Sternhaufen Teilchen höher beschleunigen als Supernovae?
Ein internationales Forschungsteam hat zum ersten Mal gezeigt, dass hochenergetische kosmische Strahlung in der Umgebung massereicher Sterne erzeugt wird. Neue Hinweise gefunden, wie kosmische Strahlung entsteht.
24.03.2021
Neue Resultate stellen physikalische Gesetze in Frage
Forschende der UZH und des CERN haben neue verblüffende Ergebnisse veröffentlicht.
21.03.2021
Elektronen eingegipst
Eine scheinbar einfache Wechselwirkung zwischen Elektronen kann in einem extremen Vielteilchenproblem zu verblüffenden Korrelationen führen.
21.03.2021
Chromatischer Lichtteilcheneffekt für die Entwicklung photonischer Quantennetzwerke enthüllt
Es ist ein weiterer Schritt auf dem Weg zur Entwicklung von Anwendungen der Quanteninformationsverarbeitung. In einem Schlüsselexperiment ist es gelungen, die bislang definierten Grenzen für Photonenanwendungen zu überschreiten.
18.03.2021
Stratosphärische Winde auf Jupiter erstmals gemessen
Mit dem Atacama Large Millimeter/submillimeter Array (ALMA) hat ein Team von Astronomen zum ersten Mal die Winde in der mittleren Atmosphäre des Jupiters direkt gemessen.
18.03.2021
Was Gravitationswellen über Dunkle Materie verraten
Die NANOGrav-Kollaboration hat kürzlich erste Hinweise auf sehr niederfrequente Gravitationswellen beobachtet.
18.03.2021
Filamente des kosmischen Netzwerks entdeckt
Einem internationalen Team von Astronominnen und Astronomen gelang zum ersten Mal die direkte Kartierung kosmischer Filamente im jungen Universum, weniger als zwei Milliarden Jahre nach dem Urknall. Die Beobachtungen zeigen sehr leuchtschwache Galaxien, und geben Hinweise auf deren Vorfahren.
18.03.2021
Blaupausen für das Fusionskraftwerk
Am 21 März 1991 erzeugte die Experimentieranlage ASDEX Upgrade im Max-Planck-Institut für Plasmaphysik (IPP) in Garching das erste Plasma.
12.03.2021
Was die reflektierte Strahlung von Exoplaneten verraten könnte
Als 1995 der erste Planet außerhalb unseres Sonnensystems gefunden wurde, war das eine Sensation, die später mit dem Physik-Nobelpreis gewürdigt wurde.
12.03.2021
Theoretische Lösung für Reisen mit Überlichtgeschwindigkeit
Wenn Reisen zu fernen Sternen innerhalb der Lebenszeit eines Menschen möglich sein sollen, muss ein Antrieb gefunden werden, der schneller als Lichtgeschwindigkeit ist.
12.03.2021
Quantenkontrolle mit Fernbedienung
Quantentechnologien basieren auf der präzisen Kontrolle des Zustands und der Wechselwirkung einzelner Quantenteilchen.
12.03.2021
Wie Gesteine die Bewohnbarkeit von Exoplaneten beeinflussen
Die Verwitterung von Silikatgesteinen trägt massgeblich dazu bei, dass auf der Erde ein gemässigtes Klima herrscht.