Observable

Eine Observable (lateinisch observabilis ‚beobachtbar‘) ist in der Physik, insbesondere der Quantenphysik, der formale Name für eine Messgröße und den ihr zugeordneten Operator, die im Zustandsraum, einem Hilbertraum, wirken. Beispiele sind die Energie, die Ortskoordinaten, die Koordinaten des Impulses und die Komponenten des Spins eines Teilchens sowie die Pauli-Matrizen.

Von-Neumann'sche Theorie

Im traditionellen von-Neumann'schen mathematischen Formalismus der Quantenmechanik werden Observablen durch selbstadjungierte, dicht definierte lineare Operatoren $ A $ auf einem Hilbertraum $ \mathcal{H} $ dargestellt. Diese Theorie verallgemeinert die Born’sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation.

Das Ergebnis einer Messung der Observablen $ A $ eines quantenmechanischen Systems, dessen Zustand durch einen normierten Vektor $ |\Psi\rangle\in\mathcal{H} $ beschrieben wird (Wellenfunktion in Bra-Ket-Notation), ist zufällig. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Messwert $ B $ auftreten kann, ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung

$ P[B] = \langle \Psi|\lambda_A(B)|\Psi \rangle $

wobei $ \lambda_A $ das Spektralmaß von $ A $ nach dem Spektralsatz bezeichnet.

Wird der quantenmechanische Zustand des Systems allgemeiner durch einen Dichteoperator $ \rho $ beschrieben, so ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Messergebnisses gegeben durch

$ P[B] = \operatorname{Spur}(\lambda_A(B) \, \rho) $

mit dem Spurklasseoperator $ \operatorname{Spur} $.

Der Erwartungswert des Messergebnisses, also der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung $ P $, ist gegeben durch $ \langle\Psi|A|\Psi\rangle $ bzw. durch $ \operatorname{Spur}(A \, \rho) $.

Im Spezialfall, dass das Spektrum von $ A $ diskret und einfach ist, sind die möglichen Messergebnisse die Eigenwerte von $ A $. Die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert $ a $ als Messergebnis zu finden, lautet dann $ |\langle\phi_a|\Psi\rangle|^2 $ bzw. $ \langle\phi_a|\rho\phi_a\rangle $, wobei $ \phi_a $ einen normierten Eigenvektor zum Eigenwert $ a $ bezeichnet.

Beispiele:

  • Der Observablen „Ort“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Multiplikationsoperator mit $ x $ über dem Lebesgue-Raum $ L^2(\mathbb{R}) $, der Ortsoperator.
  • Der Observablen „Impuls“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Differentialoperator $ \tfrac{\hbar}{\mathrm i}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dx} $ über $ L^2(\mathbb{R}) $; genauer gesagt dessen selbstadjungierte Fortsetzung, der Impulsoperator. Hierbei bezeichnet $ \hbar $ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum.
  • Der Observablen „Energie“ entspricht der Hamiltonoperator.

Beschreibung durch POVM

Nicht in den traditionellen von-Neumann'schen Formalismus passt die Beschreibung von Zeitmessungen, z. B. der Ankunftszeit eines Teilchens in einem Detektor. Eine genauere realistische formale Modellierung realer Experimente zeigt, dass auch die meisten realen Messungen an Quantensystemen nicht genau durch von-Neumann’sche Observable beschrieben werden. Diese Defekte behebt die allgemeinere Beschreibung quantenmechanischer Observablen durch POVM.

Siehe auch