Ortsoperator

Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $ \Psi $ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $ |\Psi \rangle $ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $ \hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) $, so dass

$ E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_\mathrm{H} \ ,\quad j = 1,2,3 $

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $ \Psi $ ist.

Definition und Eigenschaften

  • Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren $ \hat{x}_j $, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren $ \hat{p}_k $ die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:
$ [\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad [\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\} $
  • Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $ \mathbb{R}^3 $ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum $ H = L^2(\R^3;\C) $ ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums $ \R^3 $, jeder Zustand $ \Psi $ ist durch eine Ortswellenfunktion $ \psi(\mathbf{x}) $ gegeben.

Die Ortsoperatoren $ \hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) $ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator $ \hat{x}_j $ wirkt auf Ortswellenfunktionen $ \psi(\mathbf{x}) $ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $ x_j $

$ (\hat{x}_j \, \psi)(\mathbf{x})= x_j \cdot \psi(\mathbf{x}) $

Dieser Operator $ \hat{x}_j $ ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum $ D=\{\psi \in H \, | \, x\cdot\psi \in H \} $ definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

$ E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_{L^2} = \int_{\R^3} x_j\,\psi(\mathbf{x})\,\overline{\psi(\mathbf{x})} \, \mathrm{d} x = \int_{\R^3} x_j \, |\psi(\mathbf{x})|^2 \mathrm{d} x $

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

$ \bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)= -\mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial x_k} \psi (\mathbf x) $

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $ \tilde{\psi}(\mathbf{p}) $

$ (\hat{p}_k \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = p_k \cdot \tilde{\psi}(\mathbf{p}) $
und der Ortsoperator als Differentialoperator:
$ (\hat{x}_j \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = \mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial p_j} \tilde{\psi}(\mathbf{p}) $

Literatur



Diese Artikel könnten dir auch gefallen