Relativistischer Impuls

Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: Die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls $ \mathbf p $ eines Teilchens der Masse $ m $ nichtlinear von der Geschwindigkeit $ \mathbf v $ ab:

$ \mathbf p = \gamma m \mathbf v = \frac{m \, \mathbf v}{\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}} $

Dabei ist $ \gamma $ der Lorentzfaktor.

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten $ (v\ll c) $ ist $ \gamma $ gleich 1. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonschen Mechanik:

$ \mathbf p_{\text{Newton}} = m \, \mathbf v $

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft $ \mathbf F $ Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit:

$ \mathbf F =\frac{\mathrm d \mathbf p}{\mathrm d t} $

Herleitung

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse $ m $ in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit $ \mathbf v $ abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

$ S[\mathbf X] = \int \, {\mathcal L}\bigl(t,\mathbf x(t),\frac{\mathrm d\mathbf x}{\mathrm d t}(t)\bigr) \, \mathrm d t $

mit der Lagrangefunktion

$ {\mathcal L}(t,\mathbf x,\mathbf v)=-m \, c^2\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}}. $

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort $ \mathbf x $ abhängt, (das heißt, die Komponenten $ x^i\,,i=1,2,3\,, $ sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach dem Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu $ \mathbf x $ konjugierte Impuls mit Komponenten

$ p_i=\frac{\partial {\mathcal L}}{\partial v^i}=\frac{m \,v^i}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}, $ also
$ \mathbf p=\frac{m \,\mathbf v}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}}\,. $

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit $ t $ abhängt, ist nach dem Noether-Theorem die Energie

$ E= v^i \frac{\partial {\mathcal L}}{\partial v^i}-{\mathcal L}= \frac{m\,c^2}{\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}} $

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

$ \mathbf{v}=\frac{\mathbf p}{\sqrt{m^2+\mathbf p^2/c^2}}, $

wie sie sich umgekehrt aus $ \mathbf p(\mathbf v) $ ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

$ H(t, \mathbf {x},\mathbf {p})=\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}. $

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.