Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls (auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter oder konjugierter Impuls) tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes $ q $ und der Geschwindigkeit $ \dot q $ ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion $ L $ nach der Geschwindigkeit:

$ p_{j} = {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q_j }}} \, , \ j = 1 .... n $

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator $ \hat p $ ersetzt:

$ p_j\rightarrow \hat p_j = -\hbar i \frac{\partial}{\partial x_j} $

Beispiele

Klassische Bewegung

  • Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $ m $ in einem Potential $ V(\mathbf{x},t) $ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten
$ L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t) $
ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
$ \mathbf p = m \dot{\mathbf x} $
  • Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $ m $ in einem Potential $ V(r,\varphi,z,t) $ in Zylinderkoordinaten
$ L = \frac 1 2\, m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \bigr) - V(r,\varphi,z,t) $
ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:
$ p_{\dot{\varphi}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m \, r^2 \dot{\varphi} $
$ L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf x}^2 - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x) $
hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential $ \mathbf A $ des Feldes:
$ \mathbf p = m \, \dot{\mathbf x} + q \, \mathbf A(t,\mathbf x) $

Relativistische Bewegung

  • Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Ruhemasse $ m_0 $ in einem Potential $ V(\mathbf{x},t) $ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten
$ L = -m_0 \cdot c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - V(\mathbf{x},t) $
ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:
$ \mathbf{p} = \frac{m_0 \cdot \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}} $
  • Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung $ q $ mit Ruhemasse $ m_0 $ im elektromagnetischen Feld
$ L = -m_0 \cdot c^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}} - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x) $
hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:
$ \mathbf{p} = \frac{m_0 \cdot \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^{2}}{c^{2}}}} + q \, \mathbf{A}(\mathbf{x},t) $

Literatur

  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.

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