Hamilton-Funktion

Dieser Artikel behandelt die Hamilton-Funktion in der theoretischen Mechanik. Siehe Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie) für die Bedeutung in der Theorie der optimalen Steuerung.

Die Hamilton-Funktion $ \mathcal H(\mathbf q, \mathbf p, t) $ (auch Hamiltonian, nach William Rowan Hamilton) eines Systems von Teilchen ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion, die, wenn keine rheonomen, also zeitabhängigen, Zwangsbedingungen vorliegen, mit der Gesamtenergie als Funktion der Orte und Impulse der Teilchen korrespondiert. Einfach ausgedrückt:

Die Hamilton-Funktion $ \mathcal H(q, p, t) $ eines Systems von Teilchen ist i. d. R. ihre Energie als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt also von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten $ q=(q_1, q_2, \dotsc, q_n) $ und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten $ p=(p_1, p_2, \dotsc, p_n) $ der Teilchen ab und kann auch von der Zeit $ t $ abhängen.

Definition

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

$ \mathcal H(q,p, t) := \left\{\sum_{i=1}^n \dot{q}_i p_i\right\} - \mathcal L(q, \dot{q}, t), \text{ mit } \dot{q} = \dot{q}(q, p, t) $

und hängt ab von

Sie geht hervor aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion $ \mathcal L(t, q, \dot q) $ bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten $ \dot q=(\dot q_1, \dot q_2, \dotsc, \dot q_n) $ abhängt:

$ \mathcal H(t,q,p)= \left\{\sum_{i=1}^n \dot q_i\, p_i\right\} - \mathcal L(t, q, \dot q) $

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten $ \dot q $ diejenigen Funktionen

$ \dot q(t, q, p) $

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

$ p_i := \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i} $

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Eigenschaften

Ableitung

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

$ \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \mathrm dq_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \mathrm dp_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \mathrm dt $

Aufgrund der Produktregel erhält man

$ \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left( p_i \mathrm d\dot{q}_i + \dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} \mathrm d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt, $

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses $ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} = p_i $ die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

$ \mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left(\dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt $

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

$ \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot{q}_i $
$ \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = -\dot{p}_i $
$ \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t} $

Erhaltungsgröße

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

$ \begin{align} \frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} & = \sum_{i=1}^f \left(\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \dot{p}_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\ & = \sum_{i=1}^f \left(\dot{q}_i \dot{p}_i - \dot{p}_i \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\ & = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \end{align} $

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit $ t $ abhängt, ist ihr Wert eine Erhaltungsgröße:

$ \mathcal H \neq \mathcal H(t) \Rightarrow \frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = 0 \Rightarrow \mathcal H = konst. $

Implikationen

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und -impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

$ \dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k} $
$ \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k} $

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für $ \mathcal H(t, q, p) $ als Funktion von Operatoren $ q $ und $ p $ liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Beispiele

Massenpunkt

Bei einem Teilchen der Masse $ m $, das sich nichtrelativistisch in einem Potential $ V $ bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

$ \mathcal H(t, \mathbf q, \mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q) $

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

$ E^2-\mathbf p^2\,c^2=m^2\,c^4 $

gilt für die Hamilton-Funktion

$ \mathcal H(t, \mathbf q, \mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}. $

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

$ \mathcal L= -m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\mathbf q}^2/c^2} $

hängt der generalisierte Impuls $ p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q} $ gemäß

$ \mathbf p=\frac{m \dot{\mathbf q}}{\sqrt{1-\dot{\mathbf q}^2/c^2}} $

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

$ \dot{\mathbf q}=\frac{\mathbf p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}} $

des Impulses.

Harmonischer Oszillator

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch:

$ \mathcal H(x, p) = \dot{x} p - \mathcal L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E $

Literatur

  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.