Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (aufgrund des Zusammenhangs mit dem Coulomb Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische und das magnetische Feld das Skalarpotential $ \Phi $ und das Vektorpotential $ \vec A $ ein, die die klassisch beobachtbaren Felder durch

$ \vec B(\vec r, t)=\nabla \times \vec A(\vec r, t) $
$ \vec E(\vec r, t)=-\nabla \Phi - \partial_t \vec A(\vec r, t) $

beschreiben.

Diese Definition erlaubt sogenannte Eichfreiheiten in der Wahl von skalarem Potential und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

$ \nabla \cdot\vec A(\vec r, t)=0 $

Wegen $ \Delta =\nabla\cdot \nabla $ und $ \frac{\partial}{\partial t}\nabla =\nabla\frac{\partial}{\partial t} $ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die sog. inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, erhält man

$ \Delta\Phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} $ und
$ \Delta\vec A-\frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec A=-\mu_0\vec j+\frac{1}{c^2}\nabla\partial_t\Phi \,\,(=:\,-\mu_0\vec j_\mathrm{eff}) $.

Die erste Gleichung wird durch

$ \Phi(\vec x,t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\vec x^\prime,t)}{\left|\vec x-\vec x^\prime\right|}\mathrm{d}^3x^\prime $

gelöst, also ist in dieser Eichung das Skalarpotential $ \Phi $ identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

$ \vec A(\vec r,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec j_\mathrm{eff}(\vec x^\prime,t')}{\left|\vec x-\vec x^\prime\right|}\mathrm{d}^3x^\prime $.

Dabei ist die retardierte Zeit gegeben durch $ t' := t-\frac{|\vec x-\vec x^\prime |}{c} $ .  Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) $ \vec x' $ der Signale zum Ankunftspunkt $ \vec x $ zu durchlaufen.

In der Nutzung zweier unterschiedlicher Zeiten im Integral - beim skalaren Potential t, beim Vektorpotential t'  - besteht der Hauptvorteil bzw. Hauptnachteil der angegebenen Eichung. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern ist explizit relativistisch invariant, indem sie durchgehend die Retardierung berücksichtigt.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, vereinfachen sich die Gleichungen zu

$ \Delta\Phi=0 $ und
$ \Delta\vec A-\frac{1}{c^2}\partial^2_t \vec A=0 $,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Literatur

  • John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter Berlin New York, 2006, ISBN 978-3-11-018970-4.en:Gauge fixing#Coulomb gauge