Divergenz eines Vektorfeldes

Divergenz eines Vektorfeldes

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes auseinanderstreben (lateinisch divergere). Interpretiert man das Vektorfeld als Strömungsfeld einer Größe, für die die Kontinuitätsgleichung gilt, dann ist die Divergenz die Quelldichte. Senken haben negative Divergenz. Ist die Divergenz überall gleich null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei.

Die Divergenz ergibt sich aus dem Vektorfeld durch Anwendung eines Differentialoperators. Verwandte Differentialoperatoren liefern die Rotation eines Vektorfeldes und den Gradienten eines Skalarfeldes. Das mathematische Gebiet ist die Vektoranalysis.

In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen oder der verschiedenen Kontinuitätsgleichungen verwendet. Im Ricci-Kalkül wird die mit Hilfe der kovarianten Ableitung gebildete Größe $ \nabla _k T^{ik} $ manchmal etwas ungenau als Divergenz eines Tensors $ T^{ik} $ bezeichnet (Für diese Größe gilt auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten zum Beispiel nicht der Gaußsche Integralsatz).

Beispiel aus der Physik

Man betrachtet zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche, auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden: An jedem Punkt ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Fließgeschwindigkeit des Öls in Form eines Vektors gegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine „Ölquelle“, da von dort Öl wegfließt, ohne dass es einen Zufluss auf der Oberfläche geben würde. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle, an der das Öl beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.

Definition

Die Divergenz eines differenzierbaren Vektorfeldes $ \vec F \colon \R^n\to\R^n $ ist ein skalares Feld. Es wird als $ \nabla\cdot\vec F $ oder als $ \operatorname{div}\vec F $ geschrieben. Dabei bezeichnet $ \nabla $ den formalen Nabla-Operator und $ \operatorname{div} $ das Operatorsymbol der Divergenz. Bei der zuerst genannten Schreibweise als Skalarprodukt $ \nabla\cdot\vec F = (\tfrac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\tfrac{\partial}{\partial x_n}) \cdot (F^1,\ldots,F^n) = \tfrac{\partial}{\partial x_1} F^1 + \ldots + \tfrac{\partial}{\partial x_N} F^N $ ist es wichtig, den Multiplikationspunkt zwischen $ \nabla $ und dem Vektorfeld $ \vec F $ zu schreiben, da der $ \nabla $-Operator sonst als Gradient der Vektorkomponenten zu verstehen wäre.

Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes $ \vec F(x_1,x_2,x_3) $ ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

$ \begin{matrix} \operatorname{div}: & C^1(\R^3,\R^3) & \rightarrow & C^0(\R^3,\R) \\ & \vec F=\left(F^1,F^2,F^3\right) & \mapsto & \frac{\partial}{\partial x_1}F^1 + \frac{\partial}{\partial x_2}F^2+ \frac{\partial}{\partial x_3}F^3 \end{matrix} $

Allgemein gilt für ein n-dimensionales Vektorfeld $ \vec F = (F^1,\ldots,F^n) $:

$ \begin{matrix} \operatorname{div}: & C^1(\R^n,\R^n) & \rightarrow & C^0(\R^n,\R) \\ & \vec F=\left(F^1,\ldots,F^n\right) & \mapsto & \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F^i \end{matrix} $

Die Divergenz als „Quellendichte“

Interpretiert man ein Vektorfeld $ \vec{F}\colon\R^n\to\R^n $ als Strömungsfeld, so beschreibt dessen totales Differenzial $ DF\colon\R^n\to\R^{n\times n} $ ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt $ x_0\in\R^n $ die Beschleunigungsmatrix $ DF(x_0) $ diagonalisierbar, so beschreibt jeder Eigenwert $ \lambda_i(x_0) $ die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen Eigenvektors $ u_i(x_0) $. Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negative Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte $ \lambda_i(x_0) $ gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix $ DF(x_0) $ ist, wird die Quellenintensität durch

$ \operatorname{Spur}(DF) = \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F^i = \operatorname{div}\,\vec{F} $

gemessen.

Die Divergenz kann in diesem Sinne als „Quellendichte“ interpretiert werden.

Koordinatenfreie Darstellung

Für die Interpretation der Divergenz als „Quellendichte“ ist die folgende koordinatenfreie Definition in der Form einer Volumenableitung wichtig (hier für den Fall n=3)

$ \operatorname{div}\,\vec{F} = \lim_{|\Delta V|\to 0}\left(\frac{1}{|\Delta V|}\int_{\partial (\Delta V)} \vec F\;\cdot\vec n\,dS \right)\,. $

Dabei ist $ \Delta V $ ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped; $ |\Delta V| $ ist sein Inhalt. Es wird über den Rand $ \partial (\Delta V) $ dieses Volumenelements integriert, $ \vec{n} $ ist die nach außen gerichtete Normale und $ d S $ das zugehörige Flächenelement.

Für n > 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, indem man n-dimensionale Volumina und ihre (n-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung auf infinitesimale Würfel oder Quader erhält man die bekannte Darstellung in kartesischen Koordinaten

$ \operatorname{div}\, \vec{F} = \sum_{i=1}^n\,\frac{\partial F_i}{\partial x_i}\,. $

In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, zum Beispiel Kugelkoordinaten oder elliptischen Koordinaten, (also für $ \textstyle \mathrm{d}\vec{r} = \sum_{i=1}^n a_i(u_1, \dots, u_n) \cdot \mathrm{d}u_i\,\vec e_i(u_1, \dots, u_n)\, $, mit $ \vec e_i\cdot \vec e_k = \delta_{i,k}\, $), wobei $ \textstyle \vec{F} = \sum_{i=1}^n\,F_i(u_1, \dots, u_n)\,\vec e_i $ ist, wobei also nicht die $ \mathrm{d}u_i $, sondern die $ a_i\cdot\mathrm{d}u_i $ die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, gilt dagegen etwas allgemeiner

$ \operatorname{div}\, \vec{F} = (a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n)^{-1}\,\left\{ \frac{\partial}{\partial u_1}[(a_2 \cdot a_3\cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n)\,F_1] + \dots \right\}, $

wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten, die durch fortgesetzte zyklische Permutationen, erzeugt nach dem Schema $ 1 \to 2, 2 \to 3, \dots, (n-1) \to n, n \to 1 $ usw., aus dem angeschriebenen folgen.

Herleitung der kartesischen Darstellung

Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Würfel $ [x_{1},x_{1}+\Delta x_{1}],\ldots,[x_{n},x_{n}+\Delta x_{n}] $.

$ \begin{align} \frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S & =\frac{1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots\Delta x_{n}}\left[\int\limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\ldots\int\limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\left(\vec{F}(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})-\vec{F}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{1}\,\mathrm{d}x_{2}\ldots\mathrm{d}x_{n}\right]+\ldots\\ & +\frac{1}{\Delta x_{1}\Delta x_{2}\ldots\Delta x_{n}}\left[\int\limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\ldots\int\limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\left(\vec{F}(x_{1},\ldots,x_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-\vec{F}(x_{1},\ldots,x_{n-1},x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{n}\,\mathrm{d}x_{1}\ldots\mathrm{d}x_{n-1}\right]\end{align} $

Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an, wobei die gestrichenen Größen $ x'_{i} $ aus dem Intervall $ [x_{i},x_{i}+\Delta x_{i}] $ sind.

$ \begin{align} \frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S & =\frac{\left(\vec{F}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})-\vec{F}(x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})\right)\cdot\hat{e}_{1}}{\Delta x_{1}}\underbrace{\left[\frac{1}{\Delta x_{2}}\int\limits _{x_{2}}^{x_{2}+\Delta x_{2}}\mathrm{d}x_{2}\right.}_{=1}\ldots\underbrace{\left.\frac{1}{\Delta x_{n}}\int\limits _{x_{n}}^{x_{n}+\Delta x_{n}}\mathrm{d}x_{n}\right]}_{=1}+\ldots\\ & +\frac{\left(\vec{F}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-\vec{F}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n})\right)\cdot\hat{e}_{n}}{\Delta x_{n}}\left[\frac{1}{\Delta x_{1}}\int\limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x_{1}}\mathrm{d}x_{1}\ldots\frac{1}{\Delta x_{n-1}}\int\limits _{x_{n-1}}^{x_{n-1}+\Delta x_{n-1}}\mathrm{d}x_{n-1}\right]\end{align} $

Somit bleibt nur die Summe der Differenzenquotienten übrig

$ \frac{1}{|\Delta V|}\int\limits _{\partial(\Delta V)}\vec{F}\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S=\frac{F_{1}(x_{1}+\Delta x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})-F_{1}(x_{1},x'_{2},\ldots,x'_{n})}{\Delta x_{1}}+\ldots+\frac{F_{n}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n}+\Delta x_{n})-F_{n}(x'_{1},\ldots,x'_{n-1},x_{n})}{\Delta x_{n}} $,

die im Grenzübergang $ \Delta x_{i}\to 0 $ zu partiellen Ableitungen werden:

$ \operatorname{div}\,\vec{F}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})+\ldots+\frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}(x_{1},x_{2},\ldots,x{}_{n}) $

Kovariantes Verhalten bei Drehungen und Verschiebungen

Der Divergenz-Operator vertauscht mit räumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes, d.h. die Reihenfolge dieser Operationen macht keinen Unterschied.

Begründung: Wenn das Vektorfeld $ \vec{F} $ im Raum gedreht oder (parallel)verschoben wird, braucht man in der oben gegebenen koordinatenunabhängigen Darstellung nur die Flächen- und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen, um wieder auf denselben skalaren Ausdruck zu kommen. Das Skalarfeld $ \operatorname{div}\,\vec F $ dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld $ \vec{F} $.

Ein „Zerlegungs-Theorem“

Für n=3-dimensionale Vektorfelder $ \vec{F}(\vec{r}) $, die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen null gehen, gilt, dass sie in einen wirbelfreien Teil $ \vec{E} $ und einen quellenfreien Teil $ \vec{B} $ zerfallen, $ \vec{F} = \vec{E} + \vec{B} $. Für den wirbelfreien Teil gilt, dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann:

$ \vec{E}(\vec{r}) = -\nabla \Phi(\vec{r}) $, mit
$ \Phi (\vec{r}) = \int_{\mathbb R^3}\,\mathrm{d}^{(3)}r'\,\,\frac{\mathrm{div}\,\vec{E}(\vec r')}{4\pi|\vec{r} -\vec r'|} $.

Für den quellenfreien Teil, $ \vec{B}(\vec{r}) $, gilt analoges, wenn man das skalare Potential $ \Phi $ durch ein sog. Vektorpotential $ \vec{A} $ ersetzt und zugleich die Ausdrücke $ -\nabla\,\Phi $ bzw. $ \operatorname{div}\,\vec{E} $ (=Quellendichte von $ \vec{E} $) durch die Operationen $ \nabla \times\,\vec A $ bzw. $ \nabla\times\vec B $ (=Wirbeldichte von $ \vec{B} $) substituiert.

Dieses Verfahren ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

Eigenschaften

Im n-dimensionalen Raum

Sei $ c \in \R $ eine Konstante, $ \Omega \subset \R^n $ eine offene Teilmenge, $ u \colon \Omega \to \R $ ein skalares Feld und $ \vec{F}, \vec{G} \colon \Omega \to \R^n $ zwei Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

  • Die Divergenz ist linear, das heißt, es gilt
$ \operatorname{div}\,(c\cdot\vec{F}) = c\cdot\operatorname{div}\,\vec{F} $ und
$ \operatorname{div}\,(\vec{F}+\vec{G}) = \operatorname{div}\,\vec{F} + \operatorname{div}\,\vec{G}. $
  • Für die Divergenz gilt die Produktregel
$ \operatorname{div}(u\vec{F})=\operatorname{grad}(u)\cdot\vec{F} + u\operatorname{div}\vec{F} $
  • Die Divergenz des Vektorfeldes $ \vec{F} $ entspricht in beliebigen Koordinaten der Spur der kovarianten Ableitung $ \nabla \vec{F} $ von $ \vec{F} $, das heißt es gilt
    $ \operatorname{div}\,\vec{F} = \nabla \vec{F} $.
    Diese Darstellung ist koordinateninvariant, da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenüber einem Basiswechsel ist.

Im dreidimensionalen Raum

Ist $ n = 3 $, so gibt es auch eine Produktregel für das Kreuzprodukt $ \times $, diese lautet

$ \operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) = \vec{G}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{F} - \vec{F}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{G} \,, $

wobei mit $ \operatorname{rot} $ die Rotation gemeint ist. Wegen $ \operatorname{rot(grad} (f)) = 0 $ für alle differenzierbaren $ f $ folgt daraus

$ \operatorname{div(grad}f_1\times\operatorname{grad}f_2) = 0 $

für beliebige differenzierbare $ f_1,\,f_2 $.

Beispiele

In kartesischen Koordinaten findet man unmittelbar

$ \operatorname{div}\,\vec r = \operatorname{div}\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right) = 3 $

Für das Coulomb-Feld findet man, wenn in der ersten Produktregel $ u \!\, = 1/r^3 $,   $ \operatorname{grad}\,u = -3\vec{e}_r/r^4 $ und $ \vec F = \vec r $ gesetzt wird

$ \operatorname{div} \, \frac{\vec{e}_r}{r^2} = \operatorname{div} \, \frac{\vec r}{r^3} = -\frac{3\vec{e}_r}{r^4} \cdot \vec{r} + \frac3{r^3} = 0 \qquad r=|\vec{r}| \neq 0,\quad \vec{r}=r\vec{e}_r \,. $

Mit der Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten ist dieses Ergebnis ebenfalls zu erhalten.

Nach dem Korollar sind Felder $ \vec{f} $ des folgenden Typs quellenfrei:

$ \vec{f}=\frac{\vec{c}\times\vec{r}}{r^3} \quad \vec{c} = \text{const}\,, \quad \vec{f}=\vec{r}\times\operatorname{grad}\,Y_{lm}(\vartheta,\varphi) $

Gaußscher Integralsatz

Aussage

Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaußschen Integralsatzes. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist, und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflächenintegral:

$ \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec F\; \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} \vec F\;\cdot\vec n\,\mathrm{d}S\,, $

wobei $ \vec{n} $ der Normalenvektor der Oberfläche $ \partial V $ ist. Anschaulich beschreibt er damit für den Fall einer Strömung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Fläche und den Strömungsquellen und Senken innerhalb des zugehörigen Volumens.

Punktförmige Quelle

Setzt man im Gaußschen Integralsatz das coulombartige Feld $ \vec F_C = \vec{e}_r/r^2 $ ein und wählt man als Integrationsfläche $ \partial V $ eine Kugelfläche mit Radius $ r\!\, $ um den Ursprung, so ist $ \vec n = \vec{e}_r $ und der Integrand wird konstant gleich $ 1/\!\,r^2 $. Weil die Oberfläche der Kugel $ 4\pi \!\, r^2 $ ist, folgt

$ \iint\limits_{\partial K} \vec F_C \cdot \vec n\,\mathrm{d}S = \frac{1}{r^2} \iint\limits_{\partial K} \mathrm{d}S = 4\pi $

Somit liefert der Integralsatz eine Information über $ \operatorname{div}\,\vec F_C $, die im Gegensatz zu den Ableitungsausdrücken (Produktregel oder Kugelkoordinaten) auch den Punkt $ \vec r = 0 $ einschließt: Das Volumenintegral von $ \operatorname{div}\,\vec F_C $ ist $ 4 \pi $. Dies lässt sich mit dem Ergebnis der Ableitungsrechnung zu einer Distributionsgleichung zusammenfassen:

$ \operatorname{div}\,\frac{\vec{e}_r}{r^2} = 4\pi \delta(\vec{r}) $

Zylinder- und Kugelkoordinaten

In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes $ \vec{F}(\rho,\varphi,z) $:

$ \operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $

In Kugelkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes $ \vec{F}(r, \theta,\varphi) $:

$ \operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi} $

Letztere Formel kann ohne Differentiation von Basisvektoren hergeleitet werden: Man führt eine Testfunktion $ g $ ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten. Mit bekannten Ausdrücken für Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren

$ \int \vec{F}\cdot\operatorname{grad}\,g \, \mathrm{d}V = \int \left(F_x \frac{\partial g}{\partial x} + F_y \frac{\partial g}{\partial y} + F_z \frac{\partial g}{\partial z}\right) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \int \left( F_r \frac{\partial g}{\partial r} + \frac{F_\theta }{r}\,\frac{\partial g}{\partial\theta} + \frac{F_\varphi}{r\sin\theta}\,\frac{\partial g}{\partial\varphi}\right) r^2 \mathrm{d}r \, \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi $

Die Ableitungen von $ g $ werden partiell integriert, wobei Randterme verschwinden. Auf der rechten Seite muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden (Erweitern). Das ergibt

$ \int g \, \left( \operatorname{div}\,\vec{F}\right)_\mathrm{kartesisch} \mathrm{d}V = \int g \, \left( \operatorname{div}\,\vec{F}\right)_\mathrm{Kugelkoordinaten} \mathrm{d}V $

Aus der Gleichheit der Integrale für alle Testfunktionen folgt, dass die Ausdrücke für die Divergenz gleich sind.

Inverse

Nach dem Poincaré-Lemma existiert zu jedem Skalarfeld ein Vektorfeld, dessen Divergenz es ist. Dieses Vektorfeld ist nicht eindeutig bestimmt, denn es kann ein örtlich konstanter Vektor hinzuaddiert werden, ohne die Divergenz und damit das Skalarfeld zu verändern.

Unter gewissen Voraussetzungen existiert ein Rechts- oder Linksinverses der Divergenz. So gibt es für ein offenes und beschränktes Gebiet $ \Omega\subset\R^n $ mit lipschitzstetigem Rand einen Operator $ B \colon W^{m,p}(\Omega) \rightarrow W^{m,p}(\Omega) $, so dass für jedes $ f\in W^{m,p}(\Omega) $ mit $ \textstyle \int_\Omega f \,\mathrm d\lambda=0 $

$ \operatorname{div}(Bf)=f $

gilt, wobei $ W^{m,p}(\Omega) $ den entsprechenden Sobolew-Raum für $ m\in\N $ und $ 1< p<\infty $ bezeichnet. $ B $ heißt Bogowskii-Operator.[L 1]

Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten

Im Abschnitt Eigenschaften wurde bereits gesagt, dass die Divergenz mit Hilfe der Spur der Jacobimatrix ausgedrückt werden kann und dass diese Darstellung koordinateninvariant ist. Aus diesem Grund verwendet man diese Eigenschaft, um die Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten zu definieren. Mit Hilfe dieser Definition kann man zum Beispiel den Laplace-Operator auf riemannschen Mannigfaltigkeiten koordinatenfrei definieren. Dieser heißt dann Laplace-Beltrami-Operator.

Definition

Sei $ M $ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $ F \colon M \to \Gamma(TM) $ ein $ C^k $-Vektorfeld mit $ k \geq 1 $. Dann ist die Divergenz durch

$ \operatorname{div}(F) := \operatorname{Spur}(\xi \mapsto \nabla_\xi F) $

definiert. Dabei ist $ \xi \in \Gamma(TM) $ ein Vektorfeld und der Operator $ \nabla $ ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der den Nabla-Operator verallgemeinert. Wertet man $ \nabla_\xi F $ an $ p \in M $ aus, so ist $ \xi|_p \mapsto \nabla_{\xi|_p} F|_p \in \operatorname{End}(T_pM) $ und man kann für alle $ p $ die aus der linearen Algebra bekannte Spur bilden.[L 2]

Transportsatz und geometrische Interpretation

Für den Fluss $ \varphi \colon U\subseteq \R\times M\to M,\;(t,x)\mapsto\varphi_t(x) $ eines Vektorfeldes $ F $ gilt der Transportsatz[L 3]

$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \int_{\varphi_t(\Omega)} \varrho(t,x) \mathrm d\lambda(x) = \int_{\varphi_t(\Omega)} (\partial_t\varrho(t,x) + \operatorname{div}(\varrho(t,x)F(x))) \mathrm d\lambda(x). $

Dabei ist $ \lambda $ das Riemann-Lebesguesche Volumenmaß auf der Mannigfaltigkeit, $ \Omega $ eine relativ-kompakte messbare Teilmenge und $ \varrho $ eine glatte Funktion. Interpretiert man $ \varrho $ als Dichte einer Erhaltungsgröße, dann folgt daraus die Kontinuitätsgleichung. Für $ \varrho=1 $ erhält man

$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lambda(\varphi_t(\Omega))=\int_{\varphi_t(\Omega)}\operatorname{div} F(x) d\lambda(x). $

Die Divergenz ist also die Dichte der Volumenänderungsrate bezüglich des Flusses. Die Divergenz in einem Punkt gibt an, wie schnell sich der Inhalt eines infinitesimalen Volumenelements in diesem Punkt ändert, wenn es sich mit dem Fluss bewegt. Als Folgerung ergibt sich, dass ein Vektorfeld genau dann divergenzfrei ist, wenn der erzeugte Fluss volumenerhaltend ist.

Divergenz von Tensoren zweiter Stufe

In den Ingenieurwissenschaften wird die Divergenz in kartesischen Koordinaten auch für Tensoren zweiter Stufe eingeführt und liefert dann Vektorfelder.[1] Zum Beispiel geht die Divergenz des Spannungstensors in die lokalen Impulsbilanzen der Kontinuumsmechanik ein.

Definition

Tensoren zweiter Stufe werden mit dem dyadischen Produkt „$ \otimes $“ von Vektoren gebildet, auf die die Divergenz angewendet werden kann. Auf diese Weise kann die Divergenz auch auf Tensoren verallgemeinert werden. Sei

$ \mathbf{T}=\sum_{j=1}^n\vec{t}_j\otimes\hat{e}_j = \sum_{i,j=1}^n T_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j $

ein Tensor mit Spaltenvektoren $ \vec{t}_j $ mit Komponenten Tij bezüglich der Standardbasis $ \hat{e}_{1,...,n} $ des n-dimensionalen Raumes. Dann kann die Divergenz des Tensors definiert werden als:

$ \operatorname{div}(\mathbf{T}) := \sum_{k=1}^n\hat{e}_k\cdot \frac{\partial}{\partial x_k}\mathbf{T} = \sum_{j,k=1}^n\hat{e}_k\cdot \frac{\partial}{\partial x_k}\vec{t}_j\otimes\hat{e}_j = \sum_{j=1}^n\operatorname{div}(\vec{t}_j)\hat{e}_j = \sum_{i,j=1}^n\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_i}\hat{e}_j\,. $

In drei Dimensionen ergibt sich in einem kartesischen Koordinatensystem mit x-, y- und z-Koordinaten:

$ \operatorname{div}\mathbf{T} =\begin{pmatrix} \frac{\partial T_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial T_{yx}}{\partial y} +\frac{\partial T_{zx}}{\partial z}\\ \frac{\partial T_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial T_{yy}}{\partial y} +\frac{\partial T_{zy}}{\partial z}\\ \frac{\partial T_{xz}}{\partial x} +\frac{\partial T_{yz}}{\partial y} +\frac{\partial T_{zz}}{\partial z} \end{pmatrix} \,. $

Mit dem Nabla-Operator schreibt sich die Divergenz eines Tensors:

$ \operatorname{div}\mathbf{T} := \nabla\cdot\mathbf{T} $

In der Literatur kommt jedoch auch die transponierte Version mit den Zeilenvektoren $ \vec{z}_i $ vor

$ \mathbf{T}=\sum_{i=1}^n\hat{e}_i\otimes\vec{z}_i \quad\rightarrow\quad \tilde{\operatorname{div}}\mathbf{T} = \nabla\cdot(\mathbf{T}^\top) = \operatorname{div}(\mathbf{T}^\top) = \sum_{i=1}^n\operatorname{div}(\vec{z}_i)\hat{e}_i = \sum_{i,j=1}^n\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j}\hat{e}_i\,, $

die sich also durch die Transposition des Argumentes von der hiesigen Definition unterscheidet.

Expansionsrate

Urbildraum V, der durch die Bewegungsfunktion χ in den Bildraum v transformiert wird

Die Divergenz eines Vektorfeldes $ \vec{v} $ lautet in diesem Formalismus:

$ \operatorname{div}\,\vec{v} = \operatorname{Sp}(\operatorname{grad}\,\vec{v}) \quad\leftrightarrow\quad \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}x_i} = \operatorname{Sp}\left(\sum_{i,j=1}^n\frac{\mathrm{d}v_i}{\mathrm{d}x_j}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right) \,. $

Ist speziell $ \vec v(\vec{x},t)=\dot{\vec{\chi}}(\vec{X},t) $ das Geschwindigkeitsfeld einer Bewegung $ \vec{\chi}(\vec{X},t)=\vec{x}\in v $ (Bildraum) von Punkten $ \vec{X}\in V $ aus einem zeitunabhängigen Volumen V (Urbildraum), siehe Bild, dann ist der Gradient des Vektorfeldes der Geschwindigkeitsgradient l

$ \operatorname{div}\,\vec{v} = \operatorname{Sp}(\operatorname{grad}\,\vec{v}) = \operatorname{Sp}(\mathbf{l}) = \operatorname{Sp}(\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}) \,, $

der mit der Zeitableitung des Deformationsgradienten F und seiner Inversen zusammenhängt. Die Determinante des Deformationsgradienten transformiert die Volumenformen (rot im Bild) ineinander:

$ \mathrm{d}v = \operatorname{det}(\mathbf{F})\,\mathrm{d}V\,. $

Zeitableitung dieser Gleichung ergibt mit dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ (siehe Ableitungen der Hauptinvarianten)

$ (\mathrm{d}v)\dot{} = \operatorname{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{\top-1}:\dot{\mathbf{F}}\,\mathrm{d}V = \operatorname{Sp}(\mathbf{F}^{-1}\cdot\dot{\mathbf{F}})\,\mathrm{d}v = \operatorname{Sp}(\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1})\,\mathrm{d}v = \operatorname{div}(\vec{v})\,\mathrm{d}v\,, $

denn die Volumenform im Urbildraum ist nicht von der Zeit abhängig. Wenn die Divergenz verschwindet, dann ist die Bewegung lokal volumenerhaltend. Eine positive Divergenz bedeutet Expansion, was in der Realität mit einer Abnahme der Dichte einhergeht.

Eigenschaften

Im n-dimensionalen Raum

Sei $ c \in \R $ eine Konstante, $ \Omega \subset \R^n $ eine offene Teilmenge, $ u \colon \Omega \to \R $ ein skalares Feld, $ \vec{F}, \vec{G} \colon \Omega \to \R^n $ zwei Vektorfelder und T ein tensorielles Feld. Dann gelten folgende Regeln:

$ \begin{array}{rclcl} \operatorname{div}(u\mathbf{T}) &=& \hat{e}_i\cdot(u_{,i}\mathbf{T}+u\mathbf{T}_{,i}) &=&\operatorname{grad}(u)\cdot\mathbf{T} + u\operatorname{div}\mathbf{T} \\ \operatorname{div}(\mathbf{T}\cdot\vec{F}) &=& \hat{e}_i\cdot\left(\mathbf{T}_{,i}\cdot\vec{F}+\mathbf{T}\cdot\vec{F}_{,i}\right) &=& \operatorname{div}(\mathbf{T})\cdot\vec{F}+\mathbf{T}^\top:\operatorname{grad}\vec{F} =\operatorname{div}(\vec{F}\cdot\mathbf{T}^\top) \\ \operatorname{div}(\vec{F}\otimes\vec{G}) &=& \hat{e}_i\cdot\left(\vec{F}_{,i}\otimes\vec{G}+\vec{F}\otimes\vec{G}_{,i}\right) &=& \operatorname{div}(\vec{F})\vec{G}+\operatorname{grad}(\vec{G})\cdot\vec{F} \end{array} $

Darin ist $ \cdot, : $ das Frobenius-Skalarprodukt für Vektoren bzw. Tensoren und eine Ableitung nach der Koordinate xi in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren $ \hat{e}_i $ wird mit einem Index ,i abgekürzt, über den des Weiteren von eins bis drei zu summieren ist (Einsteinsche Summenkonvention).

Im dreidimensionalen Raum

Für die Herleitung des zweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes, das die Erhaltung des Drehimpulses in einem Kontinuum sicherstellt, wird die Produktregel

$ \operatorname{div}(\mathbf{T}\times\vec{F}) = \operatorname{div}(\mathbf{T})\times\vec{F}-\operatorname{grad}(\vec{F})\cdot\times\mathbf{T} $

gebraucht.[Beweis 1] Darin sind $ \vec{F} $ ein vektorielles und T ein tensorielles, differenzierbares Feld und das Produkt „·×“ ist über Dyaden definiert durch $ (\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\times(\vec{h}\otimes\vec{b}) :=(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}\times\vec{b}\,. $

Gaußscher Integralsatz

Dieser Integralsatz wird in der Kontinuumsmechanik auch für Tensorfelder, z. B. von Spannungstensoren $ \boldsymbol{\sigma} $, benötigt:

$ \iiint\limits_V \operatorname{div} \boldsymbol{\sigma}\; \mathrm{d}V = \iint\limits_{\partial V} \boldsymbol{\sigma}^\top\cdot\vec{n}\,\mathrm{d}S = \iint\limits_{\partial V} \vec{t}\,\mathrm{d}S\,. $

Der vom transponierten Spannungstensor transformierte Normalenvektor an die Fläche ist nach dem Cauchy’schen Fundamentaltheorem der auf der Fläche wirkende Spannungsvektor $ \vec{t} $ (ein Vektor mit der Dimension Kraft pro Fläche). Diese Gleichung ist im Fall ihres Verschwindens bereits die Impulsbilanz deformierbarer Körper im statischen Fall in Abwesenheit einer Volumenkraft.

Zylinder- und Kugelkoordinaten

Für Tensoren zweiter Stufe ergibt eine Transformation in Zylinderkoordinaten

$ \begin{align} \operatorname{div}(\mathbf{T}) =& \left(T_{\rho\rho,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{\varphi\rho,\varphi}+T_{\rho\rho}-T_{\varphi\varphi}) +T_{z\rho,z}\right)\hat{e}_\rho \\& +\left(T_{\rho\varphi,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{\varphi\varphi,\varphi}+T_{\rho\varphi}+T_{\varphi\rho}) +T_{z\varphi,z}\right)\hat{e}_\varphi \\& +\left(T_{\rho z,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{\varphi z,\varphi}+T_{\rho z}) +T_{zz,z}\right)\hat{e}_z \end{align} $

und in Kugelkoordinaten:

$ \begin{align} \operatorname{div}(\mathbf{T}) =& \left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2T_{rr}) +\frac{1}{r\sin\vartheta}T_{\varphi r,\varphi} +\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}(T_{\vartheta r}\sin\vartheta) -\frac{1}{r}(T_{\vartheta\vartheta}+T_{\varphi\varphi})\right) \hat{e}_r \\& +\left( \frac{1}{r^3}\frac{\partial}{\partial r}(r^3T_{r\vartheta}) +\frac{1}{r\sin\vartheta}T_{\varphi\vartheta,\varphi} +\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}(T_{\vartheta\vartheta}\sin\vartheta) +\frac{1}{r}(T_{\vartheta r}-T_{r\vartheta}-T_{\varphi\varphi}\cot\vartheta) \right)\hat{e}_\vartheta \\& +\left( \frac{1}{r^3}\frac{\partial}{\partial r}(r^3T_{r\varphi}) +\frac{1}{r\sin\vartheta}T_{\varphi\varphi,\varphi} +\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}(T_{\vartheta\varphi}\sin\vartheta) +\frac{1}{r}(T_{\varphi r}-T_{r\varphi}+T_{\varphi\vartheta}\cot\vartheta) \right) \hat{e}_\varphi \,.\end{align} $

Fußnoten

  1. Mit $ \mathbf{T}=:\hat{e}_k\otimes\vec{z}_k $ unter Anwendung der Einstein’schen Summenkonvention und der Abkürzung „,i“ für eine Ableitung nach der Koordinate xi in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren $ \hat{e}_i $ berechnet sich schrittweise
    $ \hat{e}_i\cdot(\mathbf{T}\times\vec{F}_{,i}) = \hat{e}_i\cdot(\hat{e}_k\otimes\vec{z}_k\times\vec{F}_{,i}) = \vec{z}_i\times\vec{F}_{,i} = -\vec{F}_{,i}\times\vec{z}_i = -(\vec{F}_{,i}\otimes\hat{e}_i)\cdot\times(\hat{e}_k\otimes\vec{z}_k) = -\operatorname{grad}(\vec{F})\cdot\times\mathbf{T} $
    und damit:
    $ \operatorname{div}(\mathbf{T}\times\vec{F}) = \hat{e}_i\cdot(\mathbf{T}_{,i}\times\vec{F} +\mathbf{T}\times\vec{F}_{,i}) = \hat{e}_i\cdot\mathbf{T}_{,i}\times\vec{F}+\hat{e}_i\cdot(\mathbf{T}\times\vec{F}_{,i}) = \operatorname{div}(\mathbf{T})\times\vec{F} -\operatorname{grad}(\vec{F})\cdot\times\mathbf{T} $

Einzelnachweise

  1. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X
  2. Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, 1984, 2. Ausgabe ISBN 978-0-12-170640-1, Seite 3.
  3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, S. 438 (Kapitel XII).

Literatur

Weblinks

  • http://www.mb.uni-siegen.de/fkm/lehre/konti2012_files/skript1-3.pdf Skript, Uni Siegen

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