Formelsammlung Tensoranalysis

Formelsammlung Tensoranalysis

$ \sqrt[n]{x} $ Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoranalysis. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Analysis mit Vektor- und Tensorfeldern zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.

Allgemeines

Siehe auch

Formelsammlung Tensoralgebra

Nomenklatur

  • Operatoren wie „$ \operatorname{grad} $“ werden nicht kursiv geschrieben.
  • Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt: $ i,j,k,l\in\{1,2,3\} $
  • Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
    • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in $ c=a_i b^i $ wird über diesen Index von eins bis drei summiert:
      $ c=a_i b^i =\sum_{i=1}^3 a_i b^i $.
    • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in $ c=A_{ij} B^i_j $ wird über diese summiert:
      $ c=A_{ij} B^i_j =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 A_{ij} B^i_j $.
    • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie $ i $ in $ v_i = A_{ij} b_j $, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
      $ v_i = A_{ij} b_j\quad\leftrightarrow\quad v_i =\sum_{j=1}^3 A_{ij} b_j\quad\forall\; i\in\{1,2,3\} $.
  • Vektoren:
    • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum $ \mathbb{V} $.
    • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
    • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in $ \hat{e} $ mit einem Hut versehen.
    • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in $ \vec{a} $ mit einem Pfeil versehen.
    • Standardbasis $ \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3} $
    • Beliebige Basis $ \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} $ mit dualer Basis $ \vec{b}^{1},\vec{b}^{2},\vec{b}^{3} $
    • Der Vektor $ \vec{x}=x_i\hat{e}_i $ wird durchgängig Ortsvektor genannt.
  • Tensoren zweiter Stufe werden wie in $ \mathbf{T} $ mit fetten Großbuchstaben notiert.
  • Koordinaten:
    • Kartesische Koordinaten $ x_{1},x_{2},x_{3}\in\mathbb{R} $
    • Zylinderkoordinaten: $ \rho,\varphi,z $
    • Kugelkoordinaten: $ r,\vartheta,\varphi $
    • Krummlinige Koordinaten $ y_{1},y_{2},y_{3}\in\mathbb{R} $
  • Konstanten: $ c,\vec{c},\mathbf{C} $
  • Zeit $ t\in\mathbb{R} $
  • Variablen: skalar $ r,s\in\mathbb{R} $ oder vektorwertig $ \vec{r},\vec{s}\in\mathbb{V}^{3} $
  • Funktionen:
    • Skalar $ f,g\in\mathbb{R} $ oder vektorwertig $ \vec{f},\vec{g}\in\mathbb{V}^{3} $
    • Tensorwertig: $ \mathbf{T}(\vec{x},t) $ oder $ \mathbf{T}(\vec{y},t) $
  • Operatoren:
    • Spur (Mathematik): $ \operatorname{Sp} $
    • Transponierte Matrix: $ \mathbf{T}^\top $
    • Inverse Matrix: $ \mathbf{T}^{-1} $
    • Transponierte inverse Matrix: $ \mathbf{T}^{\top-1} $
  • Differentialoperatoren:
  • Kontinuumsmechanik:
    • Verschiebung $ \vec{u}=u_i\hat{e}_i $
    • Geschwindigkeit $ \vec{v}=v_i\hat{e}_i $
    • Deformationsgradient $ \mathbf{F} $
    • Räumlicher Geschwindigkeitsgradient $ \mathbf{l} $
    • der Differentialoperator D/Dt und der aufgesetzte Punkt steht für die substantielle Zeitableitung

Kronecker-Delta

Hauptartikel: Kronecker-Delta
$ \delta_{ij} =\delta^{ij} =\delta_i^{j} =\delta_j^{i} =\left\{\begin{array}{ll} 1&\mathrm{falls}\ i=j \\ 0&\mathrm{sonst}\end{array}\right. $

Basisvektoren

Kartesische Koordinaten: $ \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3} $

Zylinderkoordinaten:

$ \hat{e}_\rho =\begin{pmatrix} \cos\varphi\\ \sin\varphi\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\varphi =\begin{pmatrix} -\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{e}_z =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}. $

Kugelkoordinaten:

$ \hat{e}_r =\begin{pmatrix} \sin\vartheta\cos\varphi\\ \sin\vartheta\sin\varphi\\ \cos\vartheta \end{pmatrix}, \qquad \hat{e}_\vartheta =\begin{pmatrix} \cos\vartheta\cos\varphi\\ \cos\vartheta\sin\varphi\\ -\sin\vartheta \end{pmatrix}, \qquad \hat{e}_\varphi =\begin{pmatrix} -\sin\varphi\\ \cos\varphi\\ 0 \end{pmatrix} $

Krummlinige Koordinaten: $ y_{1},y_{2},y_{3}\in\mathbb{R} $

$ \vec{b}_i =\frac{\partial\vec{x}}{\partial y_i},\quad \vec{b}^{i}=\operatorname{grad}(y_i ) =\frac{\partial y_i}{\partial\vec{x}} \quad\rightarrow\quad\vec{b}_i\cdot\vec{b}^{j} =\delta_i^{j} $

Ableitungen nach dem Ort

Gâteaux-Differential

$ \,\mathrm{D}f(x)[h]: =\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}f(x+sh)\right|_{s=0} =\lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(x+sh)-f(x)}{s} $

mit $ s\in\mathbb{R} $, $ f,x,h $ skalar-, vektor- oder tensorwertig aber $ x $ und $ h $ gleichartig.

Produktregel:

$ \mathrm{D}(f(x)\cdot g(x))[h] =\mathrm{D}f(x)[h]\cdot g(x) + f(x)\cdot\mathrm{D}g(x)[h] $

Kettenregel:

$ \,\mathrm{D}(f{\circ}g)(x)[h] =\,\mathrm{D}f(g)[Dg(x)[h]] $

Fréchet-Ableitung

Existiert ein beschränkter linearer Operator $ \mathcal{A} $, so dass

$ \mathcal{A} [h] ={Df}(x)[h]{\quad\forall\;}h $

gilt, so wird $ \mathcal{A} $ Fréchet-Ableitung von $ f $ nach $ x $ genannt. Man schreibt dann auch

$ \frac{\partial f}{\partial x} =\mathcal{A} $.

Nabla Operator

Hauptartikel: Nabla-Operator

Kartesische Koordinaten $ \vec{x} $ : $ \nabla =\hat{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i} $

Krummlinige Koordinaten $ \vec{y} $ : $ \nabla =\vec{b}^{j}\frac{\partial}{\partial y_j} $    mit    $ \vec{b}^{j} =\frac{\partial y_j}{\partial x_i}\hat{e}_i $.

Gradient

Hauptartikel: Gradient (Mathematik)

Skalarfeld $ f $ :

$ \operatorname{grad}(f) =\nabla f =\frac{\partial f}{\partial x_i}\hat{e}_i = f_{,i}\hat{e}_i $

Vektorfeld $ \vec{f}=f_i\hat{e}_i $:[1]

$ \operatorname{grad}(\vec{f}) =(\nabla\otimes\vec{f})^\top =\frac{\partial\vec{f}}{\partial x_j}\otimes\hat{e}_j =\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j = f_{i,j}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j $
$ \operatorname{grad}(\vec{x}) =\mathbf{I} $

Skalar- oder vektorwertige Funktion f:

$ \operatorname{grad}(f)\cdot\vec{h} =\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} f(\vec{x}+s\vec{h})\right|_{s=0} =\lim_{s\to 0}\frac{f(\vec{x}+s\vec{h})-f(\vec{x})}{s} \quad\forall\;\vec{h} $

Zylinderkoordinaten:

$ \operatorname{grad}(f) =\frac{\partial f}{\partial\rho}\hat{e}_{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial\varphi}\hat{e}_{\varphi} +\frac{\partial f}{\partial z}\hat{e}_{z} $
$ \operatorname{grad}(\vec f) =\hat{e}_\rho\otimes\operatorname{grad}(f_\rho) +\frac{f_\rho}{\rho}\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_\varphi +\hat{e}_\varphi\otimes\operatorname{grad}(f_\varphi) -\frac{f_\varphi}{\rho}\hat{e}_\rho\otimes\hat{e}_\varphi +\hat{e}_z\otimes\operatorname{grad}(f_z) $

Kugelkoordinaten:

$ \operatorname{grad}(f) =\frac{{\partial f}}{{\partial r}}\hat{e}_{r} +\frac{1}{r}\frac{{\partial f}}{{\partial\vartheta}}\hat{e}_{\vartheta} +\frac{1}{{r\sin\vartheta}}\frac{{\partial f}}{{\partial\varphi}} \hat{e}_{\varphi} $
$ \begin{array}{rcl} \operatorname{grad}(\vec f) &=& \hat{e}_r\otimes\operatorname{grad}(f_r) +\frac{f_r}{r}\mathbf{I}-\frac{f_r}{r}\hat{e}_r\otimes\hat{e}_r +\hat{e}_\vartheta\otimes\operatorname{grad}(f_\vartheta) +\frac{f_\vartheta}{r\tan\vartheta}\hat{e}_\varphi\otimes\hat{e}_\varphi -\frac{f_\vartheta}{r}\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\vartheta \\&& +\hat{e}_\varphi\otimes\operatorname{grad}(f_\varphi) -\frac{f_\varphi}{r\tan\vartheta}\hat{e}_\vartheta\otimes\hat{e}_\varphi -\frac{f_\varphi}{r}\hat{e}_r\otimes\hat{e}_\varphi \end{array} $

Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines Skalarpotentials:

$ \operatorname{rot}(\vec{f})=\vec{0} \quad\rightarrow\quad \exists g\colon\vec{f}=\operatorname{grad}(g) $.

Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung:

  • Volumen $ v $ mit
  • Oberfläche $ a $ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $ \mathrm{d}\vec{a} $
$ \mathrm{grad}(f) =\lim_{v\to 0}\left(\frac{1}{v}\int_{a} f\,\mathrm{d}\vec{a}\right) $

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

$ \operatorname{grad}(f) =\operatorname{div}(f\mathbf{I}) $

Produktregel:

$ \begin{array}{rclcl} \operatorname{grad}(f g) &=&\displaystyle \hat{e}_i f_{,i} g + f\hat{e}_i g_{,i} &=&\operatorname{grad}(f) g + f\operatorname{grad}(g) \\ \operatorname{grad}(f\vec{g}) &=&\displaystyle (f_{,i}\vec{g}+f\vec{g}_{,i})\otimes\hat{e}_i &=&\vec{g}\otimes\operatorname{grad}(f) + f\operatorname{grad}(\vec{g}) \\ \operatorname{grad}(\vec{f}\cdot\vec{g}) &=&\displaystyle \left(\vec{f}_{,i}\cdot\vec{g} +\vec{f}\cdot\vec{g}_{,i}\right)\hat{e}_i &=&\operatorname{grad}(\vec{f})^\top\cdot\vec{g} +\operatorname{grad}(\vec{g})^\top\cdot\vec{f} \\ \operatorname{grad}(\vec{f}\times\vec{g}) &=&\displaystyle \left(\vec{f}_{,i}\times\vec{g} +\vec{f}\times\vec{g}_{,i}\right)\otimes\hat{e}_i &=& -\vec{g}\times\operatorname{grad}(\vec{f}) +\vec{f}\times\operatorname{grad}(\vec{g}) \end{array} $

Beliebige Basis:

$ \operatorname{grad}(f_i\vec{b}_i ) =\vec{b}_i\otimes\operatorname{grad}(f_i )+f_i\,\operatorname{grad}(\vec{b}_i ) $

Produkt mit Konstanten:

$ \operatorname{grad}(cf) =c\,\operatorname{grad}(f) $
$ \operatorname{grad}(f\vec{c}) =\vec{c}\otimes\operatorname{grad}(f) $
$ \operatorname{grad}(c\vec{f}) =c\,\operatorname{grad}(\vec{f}) $
$ \operatorname{grad}(\vec{c}\cdot\vec{f}) =\operatorname{grad}{(\vec{f})}^\top\cdot\vec{c} $
$ \operatorname{grad}(\vec{c}\times\vec{f}) =\vec{c}\times\operatorname{grad}(\vec{f}) = -\operatorname{grad}(\vec{f}\times\vec{c}) $
$ \operatorname{grad}(\mathbf{C}\cdot\vec{f}) =\mathbf{C}\cdot\operatorname{grad}(\vec{f}) $

Divergenz

Vektorfeld $ \vec{f}=f_i\hat{e}_i $ :

$ \operatorname{div}(\vec{f}) =\nabla\cdot\vec{f} =\frac{\partial\vec{f}}{\partial x_i}\cdot\hat{e}_i =\frac{\partial f_i}{\partial x_i} =\operatorname{Sp}(\operatorname{grad}(\vec{f})) $
$ \operatorname{div}\vec x=3 $

Tensorfeld $ \mathbf{T} =T_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j $:[2]

$ \operatorname{div}(\mathbf{T}) =\nabla\cdot\mathbf{T} =\hat{e}_i\cdot\frac{\partial\mathbf{T}}{\partial x_i} =\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_i}\hat{e}_j $

Zylinderkoordinaten:

$ \begin{align} \operatorname{div}(\vec{f}) =&\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} (\rho f_\rho) +\frac 1\rho\frac{\partial f_\varphi}{\partial\varphi} +\frac{\partial f_z}{\partial z} \\ \operatorname{div}(\mathbf{T}) =& \left(T_{\rho\rho,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{\varphi\rho,\varphi}+T_{\rho\rho}-T_{\varphi\varphi}) +T_{z\rho,z}\right)\hat{e}_\rho \\& +\left(T_{\rho\varphi,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{\varphi\varphi,\varphi}+T_{\rho\varphi}+T_{\varphi\rho}) +T_{z\varphi,z}\right)\hat{e}_\varphi \\& +\left(T_{\rho z,\rho} +\frac{1}{\rho}(T_{\varphi z,\varphi}+T_{\rho z}) +T_{zz,z}\right)\hat{e}_z \end{align} $

Kugelkoordinaten:

$ \begin{align} \operatorname{div}(\vec{f}) =&\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} (r^2 f_r) +\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} ( f_\vartheta\sin\vartheta) +\frac{1}{r\sin\vartheta} \frac{\partial f_\varphi}{\partial\varphi} \\ \operatorname{div}(\mathbf{T}) =& \left(\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2T_{rr}) +\frac{1}{r\sin\vartheta}T_{\varphi r,\varphi} +\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}(T_{\vartheta r}\sin\vartheta) -\frac{1}{r}(T_{\vartheta\vartheta}+T_{\varphi\varphi})\right) \hat{e}_r \\& +\left( \frac{1}{r^3}\frac{\partial}{\partial r}(r^3T_{r\vartheta}) +\frac{1}{r\sin\vartheta}T_{\varphi\vartheta,\varphi} +\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}(T_{\vartheta\vartheta}\sin\vartheta) +\frac{1}{r}(T_{\vartheta r}-T_{r\vartheta}-T_{\varphi\varphi}\cot\vartheta) \right)\hat{e}_\vartheta \\& +\left( \frac{1}{r^3}\frac{\partial}{\partial r}(r^3T_{r\varphi}) +\frac{1}{r\sin\vartheta}T_{\varphi\varphi,\varphi} +\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}(T_{\vartheta\varphi}\sin\vartheta) +\frac{1}{r}(T_{\varphi r}-T_{r\varphi}+T_{\varphi\vartheta}\cot\vartheta) \right) \hat{e}_\varphi \end{align} $

Koordinatenfreie Darstellung:

  • Volumen $ v $ mit
  • Oberfläche $ a $ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $ \mathrm{d}\vec{a} $
$ \operatorname{div}(\vec{f}) =\lim_{v\to 0}\left(\frac{1}{v} \int_{a}\vec{f}\;\cdot\mathrm{d}\vec{a}\right)\,. $

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

$ \begin{array}{rcl} \operatorname{div}(\vec{f}) &=&\operatorname{Sp(grad}(\vec{f})) \\ \operatorname{div}(f\mathbf{I})&=&\operatorname{grad}(f) \\ \operatorname{div}(f_i\hat{e}_i) &=&\operatorname{grad}(f_i)\cdot\hat{e}_i \\ \operatorname{div}(\vec{f}\times\hat{e}_i) &=&\operatorname{rot}(f)\cdot\hat{e}_i \end{array} $

Produktregel:

$ \begin{array}{rclcl} \operatorname{div}(f\vec{g}) &=&\displaystyle \hat{e}_i\cdot\left(f_{,i}\vec{g}+f\vec{g}_{,i}\right) &=&\operatorname{grad}(f)\cdot\vec{g} + f\operatorname{div}(\vec{g}) \\ \operatorname{div}(f\mathbf{T}) &=& \hat{e}_i\cdot(f_{,i}\mathbf{T}+f\mathbf{T}_{,i}) &=&\operatorname{grad}(f)\cdot\mathbf{T} + f\operatorname{div}(\mathbf{T}) \\ \operatorname{div}(\mathbf{T}\cdot\vec{f}) &=&\displaystyle \hat{e}_i\cdot\left(\mathbf{T}_{,i}\cdot\vec{f} +\mathbf{T}\cdot\vec{f}_{,i}\right) \\ &=&\operatorname{div}(\mathbf{T})\cdot\vec{f} +\operatorname{Sp}\left(\mathbf{T}\cdot\vec{f}_{,i}\otimes\hat{e}_i\right) &=&\operatorname{div}(\mathbf{T})\cdot\vec{f} +\mathbf{T}^\top:\operatorname{grad}(\vec{f}) \\ \operatorname{div}(\vec{f}\otimes\vec{g}) &=&\displaystyle \hat{e}_i\cdot\left(\vec{f}_{,i}\otimes\vec{g} +\vec{f}\otimes\vec{g}_{,i}\right) &=&\operatorname{div}(\vec{f})\vec{g} +\operatorname{grad}(\vec{g})\cdot\vec{f} \\ \operatorname{div}(\vec{f}\times\vec{g}) &=&\displaystyle \hat{e}_i\cdot\left(\vec{f}_{,i}\times\vec{g} +\vec{f}\times\vec{g}_{,i}\right) &=&\vec{g}\cdot\operatorname{rot}(\vec{f}) -\vec{f}\cdot\operatorname{rot}(\vec{g}) \\ \operatorname{div}(\mathbf{T}\times\vec{f}) &=&\displaystyle \hat{e}_i\cdot(\mathbf{T}_{,i}\times\vec{f} +\mathbf{T}\times\vec{f}_{,i}) \\ &=& (\hat{e}_i\cdot\mathbf{T}_{,i})\times\vec{f} +\mathbf{I}\cdot\!\!\times(\mathbf{T}^\top\cdot\hat{e}_i\otimes\vec{f}_{,i}) &=& \operatorname{div}(\mathbf{T})\times\vec{f} -\operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\!\!\times\mathbf{T} \end{array} $

Beliebige Basis:

$ \operatorname{div}(f_i\vec{b}_i ) =\operatorname{grad}(f_i )\cdot\vec{b}_i +f_i\,\operatorname{div}(\vec{b}_i ) $
$ \operatorname{div}(T^{ij}\vec{b}_i\otimes\vec{b}_j ) =(\operatorname{grad}(T^{ij})\cdot\vec{b}_i )\vec{b}_j +T^{ij}\,\operatorname{div}(\vec{b}_i )\vec{b}_j +T^{ij}\,\operatorname{grad}(\vec{b}_j )\cdot\vec{b}_i $

Produkt mit Konstanten:

$ \operatorname{div}(c\vec{f}) =c\,\operatorname{div}(\vec{f}) $
$ \operatorname{div}(f\vec{c}) =\operatorname{grad}(f)\cdot\vec{c} $
$ \operatorname{div}(c\mathbf{T}) =c\,\operatorname{div}(\mathbf{T}) $
$ \operatorname{div}(f\mathbf{C}) =\operatorname{grad}(f)\cdot\mathbf{C} \quad\rightarrow\quad \operatorname{div}(f\mathbf{I})=\operatorname{grad}(f) $
$ \operatorname{div}(\mathbf{C}\cdot\vec{f}) =\mathbf{C}^\top:\operatorname{grad}(\vec{f}) \quad\rightarrow\quad \operatorname{div}(\mathbf{I}\cdot\vec{f}) =\operatorname{div}(\vec{f}) =\mathbf{I}:\operatorname{grad}(\vec{f}) =\operatorname{Sp}(\operatorname{grad}(\vec{f})) $
$ \operatorname{div}(\mathbf{T}\cdot\vec{c}) =\operatorname{div}(\mathbf{T})\cdot\vec{c} $
$ \operatorname{div}(\vec{c}\otimes\vec{f}) =\operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\vec{c} $
$ \operatorname{div}(\vec{f}\otimes\vec{c}) =\operatorname{div}(\vec{f})\vec{c} $

Rotation

Hauptartikel: Rotation eines Vektorfeldes

Vektorfeld $ \vec{f}=f_i\hat{e}_i $ :

$ \operatorname{rot}(\vec{f}) =\nabla\times\vec{f} =\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\hat{e}_i\times\hat{e}_j =\varepsilon_{ijk}\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\hat{e}_k =\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}} -\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}}\right)\hat{e}_{1} +\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}} -\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}}\right)\hat{e}_{2} +\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} -\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\right)\hat{e}_{3} $
$ \operatorname{rot}\vec x =\vec 0 $

Tensorfeld $ \mathbf{T}=T_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j $:[3]

$ \operatorname{rot}(\mathbf{T}) =\nabla\times\mathbf{T} =\hat{e}_i\times\frac{\partial\mathbf{T}}{\partial x_i} =\hat{e}_i\times T_{jl,i}\hat{e}_j\otimes\hat{e}_l =\varepsilon_{ijk} T_{jl,i}\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l $
$ \mathbf{T=T}^\top\quad\rightarrow\quad\operatorname{Sp(rot}(\mathbf{T}))=0 $

Zylinderkoordinaten:

$ \operatorname{rot}\vec{f} = \left[\frac{1}{\rho}\frac{\partial f_z}{\partial\varphi} -\frac{\partial f_\varphi}{\partial z} \right]\hat{e}_\rho +\left [ \frac{\partial f_\rho}{\partial z} -\frac{\partial f_z}{\partial\rho} \right ]\hat{e}_\varphi + \frac{1}{\rho}\left[ \frac\partial {\partial\rho}\left(\rho\, f_\varphi\right) -\frac{\partial f_\rho}{\partial\varphi}\right]\hat{e}_z $

Kugelkoordinaten:

$ \operatorname{rot}(\vec{f}) = \frac{1}{r\sin\vartheta}\left[\frac{\partial}{\partial\vartheta} \left( f_\varphi\sin\vartheta\right) -\frac{\partial f_\vartheta}{\partial\varphi} \right]\hat{e}_r + \left [\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial f_r}{\partial\varphi} -\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left( r f_\varphi\right) \right]\hat{e}_\vartheta + \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r} \left( r f_\vartheta\right) -\frac{\partial f_r}{\partial\vartheta}\right]\hat{e}_\varphi $

Integrabilitätsbedingung[4]: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:

$ \operatorname{div}(\vec{f})=0 \quad\rightarrow\quad \exists\vec{g}\colon\vec{f}=\operatorname{rot}(\vec{g}) $.

Koordinatenfreie Darstellung:

  • Volumen $ v $ mit
  • Oberfläche $ a $ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $ \mathrm{d}\vec{a} $
$ \mathrm{rot}(\vec{f}) =-\lim_{v\rightarrow 0}\left( \frac{1}{v}\int_{a}\vec{f}\times\mathrm{d}\vec{a}\right) $

Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:

$ \begin{array}{rcl} \operatorname{rot}(f\vec{c}) &=&\operatorname{grad}(f)\times\vec{c} \\ \operatorname{rot}(\vec{f}) &=& -\mathbf{I}\cdot\!\!\times\operatorname{grad}(\vec{f}) \end{array} $

Produktregel:

$ \begin{array}{rcl} \operatorname{rot}(f\vec{g}) &=&\displaystyle \hat{e}_i\times(f_{,i}\vec{g}+f\vec{g}_{,i}) = \operatorname{grad}(f)\times\vec{g} + f\operatorname{rot}(\vec{g}) \\ \operatorname{rot}(\vec{f}\times\vec{g}) &=&\displaystyle \hat{e}_i\times\left(\vec{f}_{,i}\times\vec{g} +\vec{f}\times\vec{g}_{,i}\right) = (\hat{e}_i\cdot\vec{g})\vec{f}_{,i} -\left(\hat{e}_i\cdot\vec{f}_{,i}\right)\vec{g} + \left(\hat{e}_i\cdot\vec{g}_{,i}\right)\vec{f} - (\hat{e}_i\cdot\vec{f})\vec{g}_{,i} \\ &=&\displaystyle \operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\vec{g} -\operatorname{div}(\vec{f})\vec{g} +\operatorname{div}(\vec{g})\vec{f} -\operatorname{grad}(\vec{g})\cdot\vec{f} \\ &=&\displaystyle \operatorname{div}(\vec{g}\otimes\vec{f})-\operatorname{div}(\vec{f}\otimes\vec{g}) \\ \operatorname{rot}(\vec{f}\otimes\vec{g}) &=&\displaystyle \hat{e}_i\times\left(\vec{f}_{,i}\otimes\vec{g} +\vec{f}\otimes\vec{g}_{,i}\right) = \operatorname{rot}(\vec{f})\otimes\vec{g}-\vec{f}\times\operatorname{grad}(\vec{g})^\top \\ \operatorname{rot}(\mathbf{T}\cdot\vec{f}) &=&\displaystyle \hat{e}_k\times(\mathbf{T}_{,k}\cdot\vec{f} + (\mathbf{T}\cdot\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_i\cdot\vec{f}_{,k}) = \operatorname{rot}(\mathbf{T})\cdot\vec{f} -\left(\hat{e}_i\cdot\vec{f}_{,k}\right) (\mathbf{T}\cdot\hat{e}_i)\times\hat{e}_k \\ &=& \operatorname{rot}(\mathbf{T})\cdot\vec{f} -\mathbf{T}\cdot\!\!\times\operatorname{grad}(\vec{f}) \\ \operatorname{rot}(f\mathbf{T}) &=&\displaystyle \hat{e}_k\times(f_{,k}\mathbf{T} + f\mathbf{T}_{,k}) =\operatorname{grad}(f)\times\mathbf{T} + f\operatorname{rot}(\mathbf{T}) \\ \operatorname{rot}(\mathbf{T}\times\vec{f}) &=&\displaystyle \hat{e}_k\times(\mathbf{T}_{,k}\times\vec{f} + (\mathbf{T}\cdot\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_i\times\vec{f}_{,k}) =\operatorname{rot}(\mathbf{T})\times\vec{f} -\hat{e}_k\times(\mathbf{T}\cdot\hat{e}_i)\otimes \vec{f}_{,k}\times\hat{e}_i \\ &=& \operatorname{rot}(\mathbf{T})\times\vec{f} -\operatorname{grad}(\vec{f})\times\!\!\times\mathbf{T} \\ \operatorname{rot}(\vec{f}\times\mathbf{C}) &=&\displaystyle \hat{e}_k\times\left(\vec{f}_{,k}\times(\mathbf{C}\cdot\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_i\right) = (\hat{e}_k\cdot\mathbf{C}\cdot\hat{e}_i)\vec{f}_{,k}\otimes\hat{e}_i -\left(\hat{e}_k\cdot\vec{f}_{,k}\right)\mathbf{C}\cdot\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i \\ &=& \operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\mathbf{C} -\operatorname{div}(\vec{f})\mathbf{C} \end{array} $

Beliebige Basis:

$ \operatorname{rot}(f^{i}\vec{b}_i ) =\operatorname{grad}(f^{i})\times\vec{b}_i +f^{i}\,\operatorname{rot}(\vec{b}_i ) $

Produkt mit Konstanten:

$ \begin{array}{rcl} \operatorname{rot}(c\vec{f}) &=&\displaystyle c\,\operatorname{rot}(\vec{f}) \\ \operatorname{rot}(f\vec{c}) &=&\displaystyle\operatorname{grad}(f)\times\vec{c} \\ \operatorname{rot}(\vec{c}\times\vec{f}) &=&\displaystyle -\operatorname{rot}(\vec{f}\times\vec{c}) =\operatorname{div}(\vec{f})\vec{c} -\operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\vec{c} =\operatorname{div}(\vec{f}\otimes\vec{c}) -\operatorname{div}(\vec{c}\otimes\vec{f}) \\ \operatorname{rot}(\vec{c}\otimes\vec{f}) &=&\displaystyle -\vec{c}\times\operatorname{grad}(\vec{f})^\top \\ \operatorname{rot}(\vec{f}\otimes\vec{c}) &=&\displaystyle \operatorname{rot}(\vec{f})\otimes\vec{c} \\ \operatorname{rot}(\mathbf{C}\cdot\vec{f}) &=&\displaystyle -\mathbf{C}\cdot\!\!\times\operatorname{grad}(\vec{f}) \quad\rightarrow\quad \operatorname{rot}(\vec{f}) =\operatorname{rot}(\mathbf{I}\cdot\vec{f}) = -\mathbf{I}\cdot\!\!\times\operatorname{grad}(\vec{f}) \\ \operatorname{rot}(\mathbf{T}\cdot\vec{c}) &=&\displaystyle \operatorname{rot}(\mathbf{T})\cdot\vec{c} \\ \operatorname{rot}(c\mathbf{T})&=& c\operatorname{rot}(\mathbf{T}) \\ \operatorname{rot}(f\mathbf{C})&=&\operatorname{grad}(f)\times\mathbf{C} \\ \operatorname{rot}(\mathbf{C}\times\vec{f}) &=& -\operatorname{grad}(\vec{f})\times\!\!\times\mathbf{C} \\ \operatorname{rot}(\mathbf{T}\times\vec{c}) &=& \operatorname{rot}(\mathbf{T})\times\vec{c} \\ \operatorname{rot}(\vec{f}\times\mathbf{I}) &=&\operatorname{grad}(\vec{f}) -\operatorname{div}(\vec{f})\mathbf{I} \end{array} $

Satz über rotationsfreie Felder

$ \begin{array}{rrcll} \textsf{I}:&\operatorname{rot}(\vec{u}):=\hat{e}_k\times\vec{u}_{,k}=\vec{0}&\rightarrow&\exists f\colon&\vec{u}=\operatorname{grad}(f) \\ \textsf{II}: &\operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top)=\mathbf{0} &\rightarrow&\exists\vec{u}\colon&\mathbf{T} =\operatorname{grad}(\vec{u}) \\ \textsf{III}: &\operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top)=\mathbf{0}\wedge\operatorname{Sp}(\mathbf{T}) = 0&\rightarrow&\exists\mathbf{W}\colon&\mathbf{T} =\operatorname{rot}(\mathbf{W}) \,\wedge\; \mathbf{W} = -\mathbf{W}^\top \end{array} $

Laplace-Operator

$ \Delta:=\nabla\cdot\nabla =\nabla^2 $

Kartesische Koordinaten:

$ \begin{align} \Delta f=&\frac{{\partial f}^{2}}{\partial x_{1}^{2}} +\frac{{\partial f}^{2}}{\partial x_{2}^{2}} +\frac{{\partial f}^{2}}{\partial x_{3}^{2}} = f_{,kk} \\ \Delta\vec{f} =&\nabla^2\vec{f} = (\nabla\cdot\nabla)\vec{f}=\Delta f_i\hat{e}_i = f_{i,kk}\hat{e}_i \\ \Delta\mathbf{T} =&\nabla^2\mathbf{T} = (\nabla\cdot\nabla)\mathbf{T} =\Delta T_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j= T_{ij,kk}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j \end{align} $

Zylinderkoordinaten:

$ \begin{align} \Delta f =&\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left(\rho\,\frac{\partial f}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \\ \Delta\vec f =& \left(\Delta f_\rho-\frac{1}{\rho^2}f_\rho-\frac{2}{\rho^2}f_{\varphi,\varphi}\right)\hat{e}_\rho +\left(\Delta f_\varphi-\frac{1}{\rho^2} f_\varphi +\frac{2}{\rho^2}f_{\rho,\varphi}\right)\hat{e}_\varphi +\Delta f_z\hat{e}_z \end{align} $

Kugelkoordinaten:

$ \begin{align} \Delta f =&\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta} \left(\sin\vartheta\,\frac{\partial f}{\partial\vartheta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2} \\ \Delta\vec f =& \left(\Delta f_r-\frac{2}{r^2}f_r-\frac{2}{r^2\sin\vartheta}f_{\varphi,\varphi} -\frac{2}{r^2}f_{\vartheta,\vartheta} -\frac{2}{r^2}f_{\vartheta}\cot\vartheta \right)\hat{e}_r \\& +\left(\Delta f_\vartheta+\frac{2}{r^2}f_{r,\vartheta} -\frac{2}{r^2\sin\vartheta}f_{\varphi,\varphi} -\frac{f_\vartheta}{r^2\sin^2\vartheta} \right)\hat{e}_\vartheta \\& +\left(\Delta f_\varphi-\frac{f_\varphi}{r^2\sin^2\vartheta} +\frac{2}{r^2\sin^2\vartheta}f_{r,\varphi} +\frac{2\cos\vartheta}{r^2\sin^2\vartheta}f_{\vartheta,\varphi} \right)\hat{e}_\varphi \end{align} $

Zusammenhang mit anderen Differentialoperatoren:

$ \begin{array}{rclcl} \Delta f &=&\nabla\cdot(\nabla f) &=&\operatorname{div(grad}(f)) \\ \Delta\vec{f} &=&\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{f}) &=&\operatorname{div(grad}(\vec{f})^\top) \end{array} $

Verknüpfungen

Wegen der in der Literatur teilweise abweichenden Definitionen der Differentialoperatoren, kann es in der Literatur zu abweichenden Formeln kommen. Wenn die Definitionen der Literatur hier eingesetzt werden, gehen die hiesigen Formeln in die der Literatur über.

$ \begin{array}{rclcl} \operatorname{div(rot}(\vec{f})) &=&\displaystyle\nabla\cdot(\nabla\times\vec{f}) &=& 0 \\ \operatorname{div(rot}(\mathbf{T})) &=&\nabla\times\mathbf{T} &=&\vec{0} \\ \operatorname{div(rot(rot}(\mathbf{T})^\top)) &=&\nabla\cdot(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{T})^\top) &=&\vec{0} \\ \operatorname{rot(grad}(f)) &=&\displaystyle\nabla\times\nabla f &=&\vec{0} \\ \operatorname{rot(grad}(\vec{f})^\top) &=&\displaystyle\nabla\times(\nabla\otimes\vec{f}) &=&\mathbf{0} \\ \operatorname{div(grad}(f)\times\operatorname{grad}(g)) &=&\displaystyle \nabla\cdot(\nabla f\times\nabla g) =\nabla g\cdot(\nabla\times\nabla f) &=& 0 \\[2ex] \operatorname{div(grad}(f)) &=&\nabla\cdot(\nabla f) = (\nabla\cdot\nabla)f &=&\Delta f \\ \operatorname{div(grad}(\vec{f})^\top) &=&\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{f}) = (\nabla\cdot\nabla)\vec{f} &=&\Delta\vec{f} \\[2ex] \operatorname{div(grad}(\vec{f})) &=&\nabla\cdot(\vec{f}\otimes\nabla) = (\nabla\cdot\vec{f})\nabla &=&\operatorname{grad(div}(\vec{f})) \\ \operatorname{rot(grad}(\vec{f})) &=& \displaystyle\nabla\times(\vec{f}\otimes\nabla ) = (\nabla\times\vec{f})\otimes\nabla &=&\operatorname{grad(rot}(\vec{f})) \\[2ex] \operatorname{rot(rot}(\vec{f})) &=&\displaystyle \nabla\times(\nabla\times\vec{f}) =\nabla(\nabla\cdot\vec{f}) -\Delta\vec{f} &=& \operatorname{grad(div}(\vec{f})) -\Delta\vec{f} \\ \operatorname{rot(rot}(\mathbf{T})) &=& \nabla\times[\nabla\times (\mathbf{T}\cdot\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_i] \\ &=& [\operatorname{div}(\mathbf{T})\cdot\hat{e}_i]\nabla\otimes\hat{e}_i -\Delta\mathbf{T} \\ &=& (\nabla\otimes\operatorname{div}(\mathbf{T}))\cdot\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i -\Delta\mathbf{T} &=&\operatorname{grad(div}(\mathbf{T}))^\top -\Delta\mathbf{T} \end{array} $
$ \begin{array}{rcl} \operatorname{rot(rot}(\mathbf{T})^\top) &=& -\Delta\mathbf{T} -\operatorname{grad(grad(Sp}(\mathbf{T}))) +\operatorname{grad(div}(\mathbf{T})) +\operatorname{grad(div}(\mathbf{T}))^\top \\ && + [\Delta\operatorname{Sp}(\mathbf{T}) -\operatorname{div(div}(\mathbf{T}))]\mathbf{I} \end{array} $

Bei symmetrischem $ \mathbf{T} =\mathbf{G} -\operatorname{Sp} (\mathbf{G})\mathbf{I} $ gilt außerdem:

$ \operatorname{rot(rot}(\mathbf{T})^\top) = -\Delta\mathbf{G} +\operatorname{grad(div}(\mathbf{G})) +\operatorname{grad(div}(\mathbf{G}))^\top -\operatorname{div(div}(\mathbf{G}))\mathbf{I} $

Der #Laplace-Operator kann wie ein Skalar behandelt werden, also an beliebiger Stelle in die Formeln eingesetzt werden, z. B.:

$ \begin{array}{l} \Delta\operatorname{rot(rot}(\vec{f})) =\operatorname{rot(\Delta rot}(\vec{f})) =\operatorname{rot(rot}(\Delta\vec{f})) =\ldots \\ \ldots =\Delta\operatorname{grad(div}(\vec{f})) -\Delta\Delta\vec{f} =\operatorname{grad}(\Delta\operatorname{div}(\vec{f})) -\Delta\Delta\vec{f} =\operatorname{grad(div}(\Delta\vec{f})) -\Delta\Delta\vec{f} \end{array} $

Grassmann-Entwicklung

$ \vec{f}\times\operatorname{rot}(\vec{f}) = \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{f}\cdot\vec{f}) -\operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\vec{f} = (\operatorname{grad}(\vec{f})^\top -\operatorname{grad}(\vec{f}))\cdot\vec{f} $
$ \operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\vec{f} = \frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{f}\cdot\vec{f}) -\vec{f}\times\operatorname{rot}(\vec{f}) $

Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation

  • Helmholtz-Theorem: Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.
    $ \begin{array}{rclccl} \vec{f} =\vec{f}_1 +\vec{f}_2:&&&\operatorname{div}(\vec{f}_1) = 0 &\wedge&\operatorname{rot}(\vec{f}_2) =\vec{0} \\ \leftrightarrow\exists g,\vec{g}: && \vec{f} =&\operatorname{rot}(\vec{g}) &+&\operatorname{grad}(g) \end{array} $
  • Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwindet, ist harmonisch:
    $ \operatorname{div}(\vec{f}) = 0 \;\wedge\; \operatorname{rot}(\vec{f}) =\vec{0} \quad\rightarrow\quad \Delta\vec{f} =\vec{0} $.
  • Siehe auch Satz über rotationsfreie Felder

Integralsätze

Gaußscher Integralsatz

  • Volumen $ v $ mit Volumenform $ \mathrm{d}v $ und
  • Oberfläche $ a $ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $ \mathrm{d}\vec{a} $
  • Ortsvektoren $ \vec{x}\in v $
  • Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion $ f,\vec{f},\mathbf{T} $ des Ortes $ \vec{x} $ :
$ \begin{array}{rcl} \int_{v}\operatorname{grad}(f)\,\mathrm{d}v &=&\int_{a} f\,\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\operatorname{grad}(\vec{f})\,\mathrm{d}v &=&\int_{a}\vec{f}\otimes\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\operatorname{div}(\vec{f})\,\mathrm{d}v &=&\int_{a}\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\operatorname{rot}(\vec{f})\,\mathrm{d}v &=& -\int_{a}\vec{f}\times\mathrm{d}\vec{a} \\ \int_{v}\operatorname{div}(\mathbf{T})\,\mathrm{d}v &=&\int_{a}\mathbf{T}^\top\cdot\mathrm{d}\vec{a} \end{array} $

Klassischer Integralsatz von Stokes

Gegeben:

  • Fläche $ a $ mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement $ \mathrm{d}\vec{a} $
  • Berandungskurve $ b $ der Fläche $ a $ mit Linienelement $ \mathrm{d}\vec{b} $
  • Ortsvektoren $ \vec{x}\in a $

Vektorwertige Funktion $ \vec{f}(\vec{x},t) $ :

$ \int_{a}\operatorname{rot}(\vec{f})\cdot\mathrm{d}\vec{a} =\oint_{b}\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{b} $

Kontinuumsmechanik

Kleine Deformationen

Ingenieursdehnungen:

$ \boldsymbol{\varepsilon} =\varepsilon_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =\frac{1}{2}( u_{i,j} + u_{j,i})\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j $

Kompatibilitätsbedingungen:

$ \begin{array}{rcl} 2\varepsilon_{12,12} -\varepsilon_{22,11} -\varepsilon_{11,22} &=& 0 \\ 2\varepsilon_{13,13} -\varepsilon_{33,11} -\varepsilon_{11,33} &=& 0 \\ 2\varepsilon_{23,23} -\varepsilon_{33,22} -\varepsilon_{22,33} &=& 0 \\ \varepsilon_{11,23} +\varepsilon_{23,11} -\varepsilon_{12,13} -\varepsilon_{13,12} &=& 0 \\ \varepsilon_{22,13} +\varepsilon_{13,22} -\varepsilon_{12,23} -\varepsilon_{23,12} &=& 0 \\ \varepsilon_{12,33} +\varepsilon_{33,12} -\varepsilon_{13,23} -\varepsilon_{23,13} &=& 0 \end{array} $

Starrkörperbewegung

Orthogonaler Tensor $ \mathbf{Q} $ beschreibt die Drehung.

$ \mathbf{\Omega} : =\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top ={(\mathbf{Q}\cdot{\dot{\mathbf{Q}}}^\top)}^\top =-\mathbf{Q}\cdot{\dot{\mathbf{Q}}}^\top $

Vektorinvariante oder axialer Vektor $ \vec{\omega} $ des schiefsymmetrischen Tensors $ \mathbf{\Omega} $ :

$ \mathbf{\Omega}\vec{r} =\vec{\omega}\times\vec{r}{\quad\forall\;}\vec{r} $

Starrkörperbewegung mit $ \vec{r}=\mathrm{const.} $ :

$ \vec{x} =\vec{f}+\mathbf{Q}\cdot\vec{r} \quad\rightarrow\quad \vec{r} =\mathbf{Q}^\top\cdot(\vec{x}-\vec{f}) $
$ \vec{v} =\dot{\vec{f}}+\dot{\mathbf{Q}}\cdot\vec{r} =\dot{\vec{f}}+\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top\cdot(\vec{x}-\vec{f}) =\dot{\vec{f}}+\mathbf{\Omega}\cdot (\vec{x}-\vec{f}) =\dot{\vec{f}}+\vec{\omega}\times (\vec{x}-\vec{f}) $

Ableitungen der Invarianten

$ \frac{\partial\operatorname{I}_{1}(\mathbf{T})}{\partial\mathbf{T}} =\frac{\partial\mathrm{Sp}(\mathbf{T})}{\partial\mathbf{T}} =\mathbf{I} $
$ \frac{\partial\operatorname{I}_{2}(\mathbf{T})}{\partial\mathbf{T}} =\operatorname{I}_{1}(\mathbf{T})\mathbf{I}-\mathbf{T}^\top $
$ \frac{\partial\operatorname{I}_{3}(\mathbf{T})}{\partial\mathbf{T}} =\frac{\partial\mathrm{det}(\mathbf{T})}{\partial\mathbf{T}} =\mathrm{det}(\mathbf{T})\mathbf{T}^{\mathrm{T}-1} $

mit der transponiert inversen $ \mathbf{T}^{\mathrm{T}-1} $ des Tensors $ \mathbf{T} $.

$ \frac{\partial\parallel\mathbf{T}\parallel}{\partial\mathbf{T}} =\frac{\mathbf{T}}{\parallel\mathbf{T}\parallel} $

Eigenwerte (keine Summe über $ i $):

$ \mathbf{T}\cdot\vec{v}_i =\lambda_i\vec{v}_i \quad\rightarrow\quad \frac{\partial\lambda_i}{\partial\mathbf{T}} =\vec{v}_i\otimes\vec{v}_i $

Funktion $ f $ der Invarianten:

$ \frac{\partial f}{\partial\mathbf{T}} (\operatorname{I}_{1}(\mathbf{T}),\,\operatorname{I}_{2}(\mathbf{T}), \,\operatorname{I}_{3}(\mathbf{T})) =\left( \frac{\partial f}{\partial\operatorname{I}_{1}} +\operatorname{I}_{1}\frac{\partial f}{\partial\operatorname{I}_{2}} +\operatorname{I}_{2}\frac{\partial f}{\partial\operatorname{I}_{3}} \right)\mathbf{I} - \left( \frac{\partial f}{\partial\operatorname{I}_{2}} +\operatorname{I}_{1}\frac{\partial f}{\partial\operatorname{I}_{3}} \right)\mathbf{T}^\top + \frac{\partial f}{\partial\operatorname{I}_{3}}\mathbf{T}^\top\cdot \mathbf{T}^\top $

Zeitableitungen der Invarianten

$ \frac{\mathrm{D}\operatorname{I}_{1}(\mathbf{T})}{\mathrm{D}t} =\operatorname{Sp}(\dot{\mathbf{T}}) $
$ \frac{\mathrm{D}\operatorname{I}_{2}(\mathbf{T})}{\mathrm{D}t} =\operatorname{Sp}(\mathbf{T})\,\operatorname{Sp}(\dot{\mathbf{T}})-\operatorname{Sp}(\mathbf{T}\cdot\dot{\mathbf{T}}) $
$ \frac{\mathrm{D}\operatorname{I}_{3}(\mathbf{T})}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathrm{D}\mathrm{det}(\mathbf{T})}{\mathrm{D}t} =\mathrm{det}(\mathbf{T})\, \operatorname{Sp}(\dot{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{T}^{-1}) $
$ \frac{\mathrm{D}\parallel\mathbf{T}\parallel}{\mathrm{D}t} =\frac{\mathbf{T}\cdot\dot{\mathbf{T}}}{\parallel\mathbf{T}\parallel} $

Zeitableitung von inversen Tensoren

$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\mathbf{T}^{-1}) =-\mathbf{T}^{-1}\cdot\dot{\mathbf{T}}\cdot\mathbf{T}^{-1} $
$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\mathbf{T}^{\top-1}) =-\mathbf{T}^{\top-1}\cdot\dot{\mathbf{T}}^\top\cdot\mathbf{T}^{\top-1} $

Orthogonale Tensoren:

$ {\dot{\mathbf{Q}}}^\top =-\mathbf{Q}^\top\cdot\dot{\mathbf{Q}}\cdot\mathbf{Q}^\top $

Konvektive Koordinaten

Hauptartikel: Konvektive Koordinaten

Konvektive Koordinaten $ y_{1},y_{2},y_{3}\in\mathbb{R} $

Kovariante Basisvektoren $ \vec{B}_i =\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}y_i} $,    $ \vec{b}_i =\frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}y_i} $

Kontravariante Basisvektoren $ \vec{B}^{i} =\frac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}\vec{X}} =\operatorname{grad}(y_i ) $,    $ \vec{b}^{i} =\frac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}\vec{x}} =\operatorname{grad}(y_i ) $

$ \vec{B}_i\cdot\vec{B}^{j} =\vec{b}_i\cdot\vec{b}^{j} =\delta_i^{j} $

Deformationsgradient $ \mathbf{F} =\vec{b}_i\otimes\vec{B}^{i} $

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient $ \mathbf{l} =\dot{\vec{b}}_i\otimes\vec{b}^{i} =-\vec{b}_i\otimes\dot{\vec{b}}^{i} $

Kovarianter Tensor $ \mathbf{T} =T_{ij}\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j} $

Kontravarianter Tensor $ \mathbf{T} =T^{ij}\vec{b}_i\otimes\vec{b}_j $

Geschwindigkeitsgradient

Hauptartikel: Geschwindigkeitsgradient

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient: $ \mathbf{l} =\operatorname{grad}(\vec{v}) $

Divergenz der Geschwindigkeit: $ \operatorname{div}(\vec{v}) =\operatorname{Sp}(\mathbf{l}) $

$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\mathrm{det}(\mathbf{F}) =\mathrm{det}(\mathbf{F})\,\operatorname{div}(\vec{v}) $
$ \mathbf{l} =\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1} =-\mathbf{F}\cdot\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\mathbf{F}^{-1}) $

Objektive Zeitableitungen

Hauptartikel: Euklidische Transformation

Bezeichnungen wie in #Konvektive Koordinaten.

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient $ \mathbf{l} =\dot{\vec{b}}_i\otimes\vec{b}^i = -\vec{b}_i\otimes\dot{\vec{b}}\,^i =\mathbf{d}+\mathbf{w} $

Räumliche Verzerrungsgeschwindigkeit $ \mathbf{d} =\frac{1}{2}(\mathbf{l}+\mathbf{l}^\top) $

Wirbel- oder Spintensor $ \mathbf{w} =\frac{1}{2}(\mathbf{l}-\mathbf{l}^\top) $

Objektive Zeitableitungen von Vektoren

Gegeben: $ \vec{v}=v_i\vec{b}^i=v^i\vec{b}_i $:

$ \begin{array}{rclcl} \stackrel{\Delta}{\vec{v}} &=&\dot{\vec{v}}+\mathbf{l}^\top\cdot\vec{v} &=&\dot{v}_i\vec{b}^i \\ \stackrel{\nabla}{\vec{v}} &=&\dot{\vec{v}}-\mathbf{l}\cdot\vec{v} &=&\dot{v}^i\vec{b}_i \\ \stackrel{\circ}{\vec{v}} &=&\dot{\vec{v}}-\mathbf{w}\cdot\vec{v} \end{array} $

Objektive Zeitableitungen von Tensoren

Gegeben: $ \mathbf{T}=T_{ij}\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j} =T^{ij}\vec{b}_{i}\otimes\vec{b}_{j} $

$ \begin{array}{rclcl} \stackrel\Delta{\mathbf{T}} &=&\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot l}+\mathbf{l}^\top\cdot\mathbf{T} &=&{\dot{T}}_{ij}\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j} \\ \stackrel{\nabla}{\mathbf{T}} &=&\dot{\mathbf{T}}-\mathbf{l\cdot T}-\mathbf{T\cdot l}^\top &=&\dot{T}^{ij}\vec{b}_i\otimes\vec{b}_j \\ \stackrel{\circ}{\mathbf{T}} &=&\dot{\mathbf{T}}+\mathbf{T\cdot w}-\mathbf{w\cdot T} \\ \stackrel{\diamond}{\mathbf{T}} &=&\dot{\mathbf{T}}+\operatorname{Sp}(\mathbf{l})\mathbf{T} -\mathbf{l\cdot T}-\mathbf{T\cdot l}^\top \end{array} $

Materielle Zeitableitung

Hauptartikel: Substantielle Ableitung
$ \dot{f}(\vec{x},t)=\frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial f}{\partial t}+\operatorname{grad}(f)\cdot\vec{v} $
$ \dot{\vec{f}}(\vec{x},t)=\frac{\mathrm{D}\vec f}{\mathrm{D}t} =\frac{\partial\vec{f}}{\partial t}+\operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\vec{v} $

Kartesische Koordinaten: $ \frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t} := \frac{\partial f}{\partial t} +v_x\frac{\partial f}{\partial x} +v_y\frac{\partial f}{\partial y} +v_z\frac{\partial f}{\partial z} $

Zylinderkoordinaten: $ \frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t} := \frac{\partial f}{\partial t} +v_\rho\frac{\partial f}{\partial\rho} +\frac{v_\varphi}{\rho}\frac{\partial f}{\partial\varphi} +v_z\frac{\partial f}{\partial z} $

Kugelkoordinaten: $ \frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t} := \frac{\partial f}{\partial t} +v_r\frac{\partial f}{\partial r} +\frac{v_\varphi}{r\sin\vartheta}\frac{\partial f}{\partial\varphi} +\frac{v_\vartheta}{r}\frac{\partial f}{\partial\vartheta} $

Materielle Zeitableitungen von Vektoren werden mittels $ \tfrac{\mathrm{D}\vec f}{\mathrm{D}t} =\tfrac{\mathrm{D}f_i}{\mathrm{D}t}\hat{e}_i $ daraus zusammengesetzt.

Transportsätze

Reynoldscher Transportsatz

Gegeben:

  • Zeit $ t $
  • Zeitabhängiges Volumen $ v $ mit Volumenform $ \mathrm{d}v $ mit
  • Die Oberfläche des Volumes $ a $ und äußerem vektoriellem Oberflächenelement $ \mathrm{d}\vec{a} $
  • Ortsvektoren $ \vec{x}\in v $
  • Geschwindigkeitsfeld: $ \vec{v}(\vec{x},t) $
  • Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit $ f(\vec{x},t) $, die mit den sich bewegenden Punkten transportiert wird.
  • Die Integrale Größe für das Volumen: $ \int_v\vec{f}(\vec{x},t)\,\mathrm{d}v $

Skalare Funktion $ f(\vec{x},t) $ :

$ \begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{v}f\,\mathrm{d}v &=&\displaystyle \int_{v}\frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}v +\int_{a} f (\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{a}) =\int_{v}\left( \frac{\partial f}{\partial t} +\operatorname{div}(f\vec{v})\right)\,\mathrm{d}v \\ &=&\displaystyle \int_{v}\left( \frac{\partial f}{\partial t} +\operatorname{grad}(f)\cdot\vec{v} +\operatorname{div}(\vec{v})\,f \right)\,\mathrm{d}v = \int_{v}\left(\dot{f} +\operatorname{div}(\vec{v})\,f\right)\,\mathrm{d}v \end{array} $

Vektorwertige Funktion $ \vec{f}(\vec{x},t) $ :

$ \begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\int_{v}\vec{f}\,\mathrm{d}v &=&\displaystyle\displaystyle \int_{v}\frac{\partial\vec{f}}{\partial t}\,\mathrm{d}v +\int_{a}\vec{f}(\vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{a}) = \int_{v} \left(\frac{\partial\vec{f}}{\partial t}+\operatorname{div}(\vec{v}\otimes\vec{f})\right) \,\mathrm{d}v \\ &=&\displaystyle \int_{v}\left( \frac{\partial\vec{f}}{\partial t} +\operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\vec{v} +\operatorname{div}(\vec{v})\vec{f} \right)\,\mathrm{d}v = \int_{v}(\dot{\vec{f}}+\operatorname{div}(\vec{v})\vec{f})\,\mathrm{d}v \end{array} $

Transportsatz für Kurvenintegrale

Gegeben:

  • Zeit $ t $
  • Zeitabhängige Kurve $ b\colon [0,1)\mapsto v $, entlang derer mit räumlichem, vektoriellem Linienelement $ \mathrm{d}\vec{b} $ im Volumen v integriert wird
  • Ortsvektoren $ \vec{x}\in v $
  • Geschwindigkeitsfeld: $ \vec{v}(\vec{x},t) $
  • Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße $ f(\vec{x},t) $, die mit den sich bewegenden Punkten transportiert wird.
  • Die Integrale Größe entlang des Weges: $ \int_b f(\vec{x},t)\cdot\mathrm{d}\vec{b} $

Skalare Funktion $ f(\vec{x},t) $ :

$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\oint_b f\,\mathrm{d}\vec{b} =\oint_b(\dot{f}+f\,\operatorname{grad}\vec{v})\cdot\mathrm{d}\vec{b} $

Vektorwertige Funktion $ \vec{f}(\vec{x},t) $:

$ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\oint_b\vec{f}\cdot\mathrm{d}\vec{b} =\oint_b(\dot{\vec{f}}+\vec{f}\cdot\operatorname{grad}\vec{v})\cdot\mathrm{d}\vec{b} $

Fußnoten

  1. In der Literatur (z. B. Altenbach 2012) wird auch die transponierte Beziehung benutzt:
    $ \tilde{\operatorname{grad}}(\vec{f}) =\nabla\otimes\vec{f} =\hat{e}_i\otimes\frac{\partial\vec{f}}{\partial x_i} =\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j =\operatorname{grad}(\vec{f})^\top $
    Dann muss, um die Formeln zu vergleichen, $ \tilde{\operatorname{grad}}(\vec{f}) $ und $ \operatorname{grad}(\vec{f})^\top $ vertauscht werden.
  2. In der Literatur (z. B. Truesdell 1972) wird auch die transponierte Beziehung benutzt:
    $ \tilde{\operatorname{div}}(\mathbf{T}) =\mathbf{T}\cdot\nabla =\frac{\partial\mathbf{T}}{\partial x_k}\cdot\hat{e}_k =T_{ik,k}\hat{e}_i =\operatorname{div}(\mathbf{T}^\top) $
    Dann muss, um die Formeln zu vergleichen, $ \tilde{\operatorname{div}}(\mathbf{T}) $ und $ \operatorname{div}(\mathbf{T}^\top) $ vertauscht werden.
  3. In der Literatur (z. B. Truesdell 1972) wird auch die transponierte Beziehung benutzt:
    $ \tilde{\operatorname{rot}}(\mathbf{T}) =\nabla\times\mathbf{T}^\top =\hat{e}_k\times\frac{\partial\mathbf{T}^\top}{\partial x_k} =\hat{e}_k\times T_{ij,k}\hat{e}_j\otimes\hat{e}_i =\operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top) $
    Dann muss, um die Formeln zu vergleichen, $ \tilde{\operatorname{rot}}(\mathbf{T}) $ und $ \operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top) $ vertauscht werden.
  4. R. Greve (2003), S. 111

Literatur

  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
  • M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6.
  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6., unveränderte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.
  • Konrad Königsberger: Analysis. überarbeitete Auflage. Band 2. 4. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-43580-8.
  • Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1.
  • C. Truesdell: Festkörpermechanik II. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VIa/2. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.

Das könnte dich auch interessieren