Landau-Symbole

Landau-Symbole

Landau-Symbole werden in der Mathematik und in der Informatik verwendet, um das asymptotische Verhalten von Funktionen und Folgen zu beschreiben. In der Informatik werden sie bei der Analyse von Algorithmen verwendet und geben ein Maß für die Anzahl der Elementarschritte oder der Speichereinheiten in Abhängigkeit von der Größe der Eingangsvariablen an. Die Komplexitätstheorie verwendet sie, um verschiedene Probleme danach zu vergleichen, wie „schwierig“ oder aufwendig sie zu lösen sind. Man sagt, „schwere Probleme“ wachsen exponentiell mit der Instanz oder schneller und für „leichte Probleme“ existiert ein Algorithmus, dessen Laufzeitzuwächse sich durch das Wachstum eines Polynoms beschränken lassen. Man nennt sie (nicht) polynomiell lösbar.

Notation Anschauliche Bedeutung
$ f \in \hbox{o}(g) $

oder

$ f = \hbox{o}(g) $

$ f $ wächst langsamer als $ g $
$ f \in \mathcal{O}(g) $

oder

$ f = O(g) $

$ f $ wächst nicht wesentlich schneller als $ g $
$ f \in \Theta(g) $ $ f $ wächst genauso schnell wie $ g $
$ f = \Omega(g) $ $ f $ wächst nicht immer langsamer als $ g $ (Zahlentheorie)
$ f \in \Omega(g) $ $ f $ wächst nicht wesentlich langsamer als $ g $ (Komplexitätstheorie)
$ f \in \omega(g) $ $ f $ wächst schneller als $ g $

Geschichte des O-Symbols

Der Großbuchstabe $ O $ als Symbol für Ordnung von wurde erstmals vom deutschen Zahlentheoretiker Paul Bachmann in der 1894 erschienenen zweiten Auflage seines Buchs Analytische Zahlentheorie verwendet. Bekannt gemacht wurde diese Notation durch den ebenfalls deutschen Zahlentheoretiker Edmund Landau, mit dessen Namen sie insbesondere im deutschen Sprachraum heute in Verbindung gebracht wird.[1]

Sonderfall: Omega-Symbol

Zwei unvereinbare Definitionen

Es gibt in der Mathematik zwei sehr häufige und inkonsistente Definitionen für

$ f(x)=\Omega(g(x))\ (x\rightarrow a), $

wobei $ a $ eine reelle Zahl, $ \infty $ oder $ -\infty $ ist, wo die reellen Funktionen $ f $ und $ g $ auf einer Umgebung von $ a $ definiert sind und $ g $ in dieser Umgebung positiv ist.

Die erste wird in der analytischen Zahlentheorie benutzt und die andere in der Komplexitätstheorie. Diese Situation kann zu Verwechslungen führen.

Die Hardy-Littlewoodsche Definition

Im Jahr 1914 führten G. H. Hardy und J. E. Littlewood das Symbol $ \Omega $ mit der Bedeutung

$ f(x)=\Omega(g(x))\ (x\rightarrow\infty)\;\Leftrightarrow\;\limsup_{x \to \infty} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|> 0 $

ein.[2] Also ist $ f(x)=\Omega(g(x)) $ die Negation von $ f(x)=o(g(x)) $.

Im Jahr 1918 führten dieselben Verfasser zwei neue Symbole $ \Omega_R $ und $ \Omega_L $ mit den Bedeutungen

$ f(x)=\Omega_R(g(x))\ (x\rightarrow\infty)\;\Leftrightarrow\;\limsup_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}> 0 $;
$ f(x)=\Omega_L(g(x))\ (x\rightarrow\infty)\;\Leftrightarrow\;\liminf_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}< 0 $

ein.[3] Also ist $ f(x)=\Omega_R(g(x)) $ die Negation von $ f(x)<o(g(x)) $ und $ f(x)=\Omega_L(g(x)) $ die Negation von $ f(x)>o(g(x)) $.

Im Gegensatz zu einer späteren Aussage von D. E. Knuth[4] verwendete Edmund Landau diese drei Symbole im Jahre 1924 mit den gleichen Bedeutungen.[5]

Diese Hardy-Littlewood-Symbole sind Prototypen, sie werden nie genau so verwendet. $ \Omega_R $ ist zu $ \Omega_+ $ und $ \Omega_L $ zu $ \Omega_- $ geworden.

Diese drei Symbole $ \Omega, \Omega_+, \Omega_- $ sowie $ f(x)=\Omega_\pm(g(x)) $ (dies bedeutet, dass die beiden Eigenschaften $ f(x)=\Omega_+(g(x)) $ und $ f(x)=\Omega_-(g(x)) $ erfüllt sind) werden heute noch systematisch in der analytischen Zahlentheorie verwendet.

Einfache Beispiele

Wir haben

$ \sin x=\Omega(1)\ (x\rightarrow\infty) $

und speziell

$ \sin x=\Omega_\pm(1)\ (x\rightarrow\infty). $

Wir haben

$ \sin x+1=\Omega(1)\ (x\rightarrow\infty) $

und speziell

$ \sin x+1=\Omega_+(1)\ (x\rightarrow\infty) $

aber

$ \sin x+1\not=\Omega_-(1)\ (x\rightarrow\infty). $

Zahlentheoretische Notation

Die strenge Notation $ f \in \Omega(g) $ wird in der Zahlentheorie nie benutzt und man schreibt weniger streng immer $ f =\Omega(g) $. Dies bedeutet hier „$ f $ ist ein Omega von $ g $“ und nicht$ f $ ist gleich ein Omega von $ g $“.

Die Knuthsche Definition

Im Jahr 1976 veröffentlichte D. E. Knuth einen Artikel,[4] dessen Hauptziel es ist, eine andere Verwendung des $ \Omega $-Symbols zu rechtfertigen. Er bemüht sich, seine Leser zu überzeugen, dass die Hardy-Littlewoodsche Definition fast nie benutzt wird (auch im Jahr 1976 war es für mindestens 25 Jahre falsch[6]). Er schreibt, dass er bei Landau keine Anwendung finden konnte und dass George Pólya, der bei Landau studierte, seine, Knuths, Einschätzung bestätigte, dass Landau das $ \Omega $-Symbol wohl nicht verwendet hat. Knuth schreibt: “For all the applications I have seen so far in computer science, a stronger requirement […] is much more appropriate”. Es besteht kein Zweifel, dass er recht hat, wenn er das Symbol $ \Omega $ verwendet, um diese stärkere Anforderung zu beschreiben: “Unfortunately, Hardy and Littlewood didn't define $ \Omega(f(n)) $ as I wanted to”.

Unter der Gefahr von Missverständnissen und Verwirrung definiert er auch

$ f(x)=\Omega(g(x))\Leftrightarrow g(x)=O(f(x)) $.[7]

Definition

In der folgenden Tabelle bezeichnen $ f $ und $ g $ entweder

  • Folgen reeller Zahlen, dann ist $ x\in\N $ und der Grenzwert $ a=\infty $, oder
  • reellwertige Funktionen der reellen Zahlen, dann ist $ x\in\R $ und der Grenzwert aus den erweiterten reellen Zahlen: $ a\in\R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace $, oder
  • reellwertige Funktionen beliebiger topologischer Räume $ (X,\mathfrak{T}) $, dann ist $ x\in X $ und auch der Grenzwert $ a\in X $. Wichtigster Spezialfall ist dabei $ X=\R^n $.

Formal lassen sich die Landau-Symbole dann mittels Limes superior und Limes inferior folgendermaßen definieren:

Notation Definition Mathematische Definition
$ f \in \hbox{o}(g) $ asymptotisch gegenüber $ g $ vernachlässigbar $ \lim_{x \to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| = 0 $
$ f \in \mathcal{O}(g) $ asymptotische obere Schranke $ \limsup_{x \to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \infty $
$ f \in \Theta(g) $ asymptotisch scharfe Schranke, sowohl $ f\in\mathcal{O}(g) $ als auch $ g\in\mathcal{O}(f) $ $ 0 < \liminf_{x \to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \le \limsup_{x \to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|< \infty $
$ f = \Omega(g) $ (Zahlentheorie) asymptotische untere Schranke, $ f $ ist nicht in $ o(g) $ $ \limsup_{x \to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| >0 $
$ f \in \Omega(g) $ (Komplexitätstheorie) asymptotische untere Schranke, $ g\in\mathcal{O}(f) $ $ \liminf_{x \to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| >0 $
$ f \in \omega(g) $ asymptotisch dominant, $ g\in\hbox{o}(f) $ $ \lim_{x \to a} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| = \infty $

In der Praxis existieren meist die Grenzwerte $ \lim \tfrac{f(x)}{g(x)} $, sodass die Abschätzung des limes superior oft durch die (einfachere) Berechnung eines Grenzwerts ersetzt werden kann.

Äquivalent zur Definition mit Limessymbolen können für einen metrischen Raum $ (X;d) $, insbesondere also für die Fälle $ X=\R $ und $ X=\N $, folgende Definitionen mit Quantoren verwendet werden:

Notation $ x\to a<\infty $
$ f \in \hbox{o}(g) $ $ \forall\ C > 0\ \exists\ \varepsilon > 0 \ \forall\ x \in \lbrace x: d(x, a)<\varepsilon\rbrace: |f(x)| \le C\cdot|g(x)| $
$ f \in \mathcal{O}(g) $ $ \exists\ C > 0\ \exists\ \varepsilon > 0 \ \forall\ x \in \lbrace x: d(x, a)<\varepsilon\rbrace: |f(x)| \le C\cdot|g(x)| $
$ f \in \Theta(g) $ $ \exists\ c > 0\ \exists\ C > 0\ \exists\ \varepsilon > 0 \ \forall\ x \in \lbrace x: d(x, a)<\varepsilon\rbrace: c\cdot|g(x)| \le |f(x)| \le C\cdot|g(x)| $
$ f = \Omega(g) $ (Zahlentheorie) $ \exists\ c > 0\ \forall\ \varepsilon > 0 \ \exists\ x \in \lbrace x: d(x, a)<\varepsilon\rbrace: c\cdot|g(x)| \le |f(x)| $
$ f \in \Omega(g) $ (Komplexitätstheorie) $ \exists\ c > 0\ \exists\ \varepsilon > 0 \ \forall\ x \in \lbrace x: d(x, a)<\varepsilon\rbrace: c\cdot|g(x)| \le |f(x)| $
$ f \in \omega(g) $ $ \forall\ c > 0\ \exists\ \varepsilon > 0 \ \forall\ x \in \lbrace x: d(x, a)<\varepsilon\rbrace: c\cdot|g(x)| \le |f(x)| $
Notation $ x\to\infty $
$ f \in \hbox{o}(g) $ $ \forall\ C > 0\ \exists\ x_0 > 0\ \forall\ x > x_0: |f(x)| \le C\cdot|g(x)| $
$ f \in \mathcal{O}(g) $ $ \exists\ C > 0\ \exists\ x_0 > 0\ \forall\ x > x_0: |f(x)| \le C\cdot|g(x)| $
$ f \in \Theta(g) $ $ \exists\ c > 0\ \exists\ C > 0\ \exists\ x_0 > 0\ \forall\ x > x_0: c\cdot|g(x)|\le|f(x)| \le C\cdot|g(x)| $
$ f = \Omega(g) $ (Zahlentheorie) $ \exists\ c > 0\ \forall\ x_0 > 0\ \exists\ x > x_0: c\cdot g(x)\le|f(x)| $ (die Test-Funktion g ist immer positiv)
$ f \in \Omega(g) $ (Komplexitätstheorie) $ \exists\ c > 0\ \exists\ x_0 > 0\ \forall\ x > x_0: c\cdot|g(x)|\le|f(x)| $
$ f \in \omega(g) $ $ \forall\ c > 0\ \exists\ x_0 > 0\ \forall\ x > x_0: c\cdot|g(x)|\le|f(x)| $

Analoge Definitionen lassen sich auch für den Fall $ x\to -\infty $ sowie für einseitige Grenzwerte geben.

Folgerung

Für jede Funktion $ f $ werden durch

$ \Omega(f), \mathcal{O}(f), \Theta(f), \hbox{o}(f), \omega(f) $

jeweils Mengen von Funktionen beschrieben. Es gelten folgende Beziehungen zwischen diesen:

$ \begin{align} \Theta (f)&\subseteq \mathcal{O}(f) \\ \Theta (f)&\subseteq \Omega (f) \\ \Theta (f)&= \mathcal{O}(f) \cap \Omega (f) \\ \omega (f)&\subseteq \Omega (f) \\ \hbox{o}(f)&\subseteq\mathcal{O}(f) \\ \O \,&=\, \omega (f) \cap \hbox{o}(f) \end{align} $

Beispiele und Notation

Bei der Verwendung der Landau-Symbole wird die darin verwendete Funktion häufig verkürzt angegeben. Statt zum Beispiel $ \mathcal{O}(g) \text{ mit }g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto x^3 $ schreibt man häufig verkürzend $ \mathcal{O}(x^3). $ Dies wird auch in den folgenden Beispielen so gehandhabt.

Notation Bedeutung Anschauliche Erklärung Beispiele für Laufzeiten
$ f \in \mathcal{O}(1) $ $ f $ ist beschränkt. $ f $ überschreitet einen konstanten Wert nicht (unabhängig vom Wert des Arguments). Nachschlagen des $ x $-ten Elementes in einem Feld
$ f \in \mathcal{O}(\log x) $ $ f $ wächst logarithmisch. $ f $ wächst ungefähr um einen konstanten Betrag, wenn sich das Argument verdoppelt.

Die Basis des Logarithmus ist dabei egal.

Binäre Suche im sortierten Feld mit $ x $ Einträgen
$ f \in \mathcal{O}(\sqrt{x}) $ $ f $ wächst wie die Wurzelfunktion. $ f $ wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument vervierfacht. Naiver Primzahltest mittels Teilen durch jede ganze Zahl $ \leq \sqrt{x} $
$ f \in \mathcal{O}(x) $ $ f $ wächst linear. $ f $ wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument verdoppelt. Suche im unsortierten Feld mit $ x $ Einträgen (Bsp. Lineare Suche)
$ f \in \mathcal{O}(x \log x) $ $ f $ hat super-lineares Wachstum Fortgeschrittenere Algorithmen zum Sortieren von $ x $ Zahlen

Mergesort, Heapsort

$ f \in \mathcal{O}(x^2) $ $ f $ wächst quadratisch. $ f $ wächst ungefähr auf das Vierfache, wenn sich das Argument verdoppelt. Einfache Algorithmen zum Sortieren von $ x $ Zahlen

Selectionsort

$ f \in \mathcal{O}(x^n) $ $ f $ wächst polynomiell. $ f $ wächst ungefähr auf das $ 2^n $-Fache, wenn sich das Argument verdoppelt. „Einfache“ Algorithmen
$ f \in \mathcal{O}(2^x) $ $ f $ wächst exponentiell. $ f $ wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument um 1 erhöht. Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) mittels exhaustiver Suche
$ f \in \mathcal{O}(x!) $ $ f $ wächst faktoriell. $ f $ wächst ungefähr auf das $ (x+1) $-Fache, wenn sich das Argument um 1 erhöht. Problem des Handlungsreisenden (mit Enumerationsansatz)

Die Landau-Notation wird verwendet, um das asymptotische Verhalten bei Annäherung an einen endlichen oder unendlichen Grenzwert zu beschreiben. Das große $ \mathcal{O} $ wird verwendet, um eine maximale Größenordnung anzugeben. So gilt beispielsweise nach der Stirling-Formel für das asymptotische Verhalten der Fakultät

$ n! = \sqrt{2 \pi n}~{\left(\frac{n}{e} \right)}^n \left(1 + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n} \right) \right) $ für $ n\to \infty $

und

$ n! = \mathcal{O} \left(\sqrt{n} \sdot \left(\frac{n}{e} \right)^n \right) $ für $ n\to \infty $.

Der Faktor $ \sqrt{2\pi} $ ist dabei nur eine Konstante und kann für die Abschätzung der Größenordnung vernachlässigt werden.

Die Landau-Notation kann auch benutzt werden, um den Fehlerterm einer Approximation zu beschreiben. Beispielsweise besagt

$ e^x=1+x+x^2/2+\mathcal{O}(x^3)\qquad $ für $ x\to 0 $,

dass der Absolutbetrag des Approximationsfehlers kleiner als eine Konstante mal $ x^3 $ für $ x $ hinreichend nahe bei Null ist.

Das kleine $ \hbox{o} $ wird verwendet, um zu sagen, dass ein Ausdruck vernachlässigbar klein gegenüber dem angegebenen Ausdruck ist. Für differenzierbare Funktionen gilt beispielsweise

$ f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\hbox{o}(h)\qquad $ für $ h\to 0 $,

der Fehler bei Approximation durch die Tangente geht also schneller als linear gegen $ 0 $.

Notationsfallen

Symbolisches Gleichheitszeichen

Oft wird in der Mathematik bei der Landau-Notation das Gleichheitszeichen verwendet. Es handelt sich dabei aber um eine rein symbolische Schreibweise und nicht um eine Gleichheitsaussage, auf die beispielsweise die Gesetze der Transitivität oder der Symmetrie anwendbar wären: Eine Aussage wie $ f(x)=\mathcal{O}(g(x)) $ ist keine Gleichung und keine Seite ist durch die andere bestimmt. Aus $ f_1(x)=\mathcal{O}(g(x)) $ und $ f_2(x)=\mathcal{O}(g(x)) $ folgt nicht, dass $ f_1 $ und $ f_2 $ gleich sind. Genauso wenig kann man aus $ f(x)=\mathcal{O}(g_1(x)) $ und $ f(x)=\mathcal{O}(g_2(x)) $ schließen, dass $ \mathcal{O}(g_1(x)) $ und $ \mathcal{O}(g_2(x)) $ dieselbe Klasse sind oder die eine in der anderen enthalten ist.

Tatsächlich handelt es sich bei $ \mathcal{O}(g(x)) $ um eine Menge, welche alle diejenigen Funktionen enthält, welche höchstens so schnell wachsen wie $ g(x) $. Die Schreibweise $ f(x) \in \mathcal{O}(g(x)) $ ist also formal korrekt.

Die Notation mit dem Gleichheitszeichen wie in $ f=\mathcal{O}(g) $ wird trotzdem in der Praxis ausgiebig genutzt. Beispielsweise soll der Ausdruck $ f(n)=h(n)+\Theta(g(n)) $ besagen, dass es Konstanten $ c_1 $ und $ c_2 $ gibt, sodass

$ h(n)+c_1\cdot g(n)\,\leq\, f(n)\,\leq\, h(n)+c_2\cdot g(n) $

für hinreichend große $ n $ gilt.

Vergessener Grenzwert

Eine weitere Falle besteht darin, dass oft nicht angegeben wird, auf welchen Grenzwert sich das Landausymbol bezieht. Der Grenzwert ist aber wesentlich; so ist beispielsweise $ \textstyle \tfrac{1}{x}\in\hbox{o}\left(\tfrac{1}{\sqrt{x}}\right) $ für $ x\to\infty $, nicht aber für den einseitigen Grenzwert $ x\downarrow 0 $. Normalerweise wird der betrachtete Grenzwert aber aus dem Zusammenhang klar, sodass hier Mehrdeutigkeiten nur selten auftreten.

Anwendung in der Komplexitätstheorie

Die Artikel Landau-Symbole#Anwendung in der Komplexitätstheorie, Komplexität (Informatik) und Komplexitätstheorie überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zusammenzuführen (→ Anleitung). Beteilige dich dazu an der betreffenden Redundanzdiskussion. Bitte entferne diesen Baustein erst nach vollständiger Abarbeitung der Redundanz und vergiss nicht, den betreffenden Eintrag auf der Redundanzdiskussionsseite mit {{Erledigt|1=~~~~}} zu markieren. Accountalive 03:47, 1. Jan. 2010 (CET)

In der Komplexitätstheorie werden die Landau-Symbole vor allem verwendet, um den (minimalen, mittleren oder maximalen) Zeit- oder Speicherplatzbedarf eines Algorithmus zu beschreiben. Man spricht dann von Zeitkomplexität bzw. Platzkomplexität. Die Komplexität kann vom verwendeten Maschinenmodell abhängen. In der Regel nimmt man jedoch ein „normales“ Modell an, zum Beispiel ein der Turingmaschine äquivalentes.

Oft ist es sehr aufwendig oder ganz unmöglich, für ein Problem $ L $ eine Funktion $ f_L\colon w \rightarrow f_L(w) $ anzugeben, die allgemein jeder beliebigen Eingabe für ein Problem die zugehörige Anzahl der Rechenschritte (bzw. der Speicherzellen) zuordnet. Daher begnügt man sich in der Regel damit, statt jede Eingabe einzeln zu erfassen, sich lediglich auf die Eingabelänge $ n = |w| $ zu beschränken. Es ist aber meist ebenfalls zu aufwendig, eine Funktion $ f_L\colon n \rightarrow f_L(n), n = |w| $ anzugeben.

Daher hat man die Landau-Notation entwickelt, die sich auf das asymptotische Verhalten der Funktion $ f_L $ beschränkt. Man betrachtet also, in welchen Schranken sich der Rechenaufwand (der Bedarf an Speicher und Rechenzeit) hält, wenn man die Eingabe vergrößert. Das wichtigste Landau-Symbol ist $ \mathcal{O} $ (großer lateinischer Buchstabe „O“), mit dem man obere Schranken angeben kann; untere Schranken sind im Allgemeinen viel schwieriger zu finden. Dabei bedeutet $ f \in \mathcal{O}(g) $ (oft auch $ f(n)=\mathcal{O}(g(n)) $), dass eine Konstante $ c > 0 $ und ein $ n_0 \in \Bbb N $ existieren, so dass für alle $ n > n_0 $ gilt: $ f(n) \le c\cdot g(n) $. In anderen Worten: Für alle Eingabelängen ist der Rechenaufwand $ f(n) $ nicht wesentlich größer – d. h. höchstens um einen konstanten Faktor $ c $ – als $ g(n) $.

Dabei ist die Funktion $ f $ nicht immer bekannt; als Funktion $ g $ wird hingegen meist eine Funktion gewählt, deren Wachstum gut bekannt ist (wie $ g(x)=x^2 $ oder $ g(x)=2^x $). Die Landau-Notation ist gerade dazu da, den Rechenaufwand (Platzbedarf) abzuschätzen, wenn es zu aufwendig ist, die genaue Funktion anzugeben, bzw. wenn diese zu kompliziert ist.

Die Landau-Symbole erlauben es dadurch, Probleme und Algorithmen nach ihrer Komplexität in Komplexitätsklassen zusammenzufassen.

In der Komplexitätstheorie lassen sich die verschiedenen Probleme und Algorithmen dann folgendermaßen vergleichen: Man kann für Problemstellungen mit $ \Omega $ eine untere Schranke für beispielsweise die asymptotische Laufzeit angeben, mit $ \mathcal{O} $ entsprechend eine obere Schranke. Bei $ \mathcal{O}(f) $ wird die Form von $ f $ (z. B. $ f(n)=n^2 $) auch als die Komplexitätsklasse oder Aufwandsmaß bezeichnet (also z. B. quadratisch).

Bei dieser Notation werden, wie die Definitionen der Landau-Symbole zeigen, konstante Faktoren vernachlässigt. Dies ist gerechtfertigt, da die Konstanten zu großen Teilen vom verwendeten Maschinenmodell bzw. bei implementierten Algorithmen von der Qualität des Compilers und diversen Eigenschaften der Hardware des ausführenden Computer abhängig sind. Damit ist ihre Aussagekraft über die Komplexität des Algorithmus sehr beschränkt.

Siehe auch

  • Grenzwert (Limes)
  • Konvergenzgeschwindigkeit

Quellen

  1. Earliest Uses of Symbols of Number Theory, 22. September 2006: (Memento vom 19. Oktober 2007 im Internet Archive) According to Wladyslaw Narkiewicz in The Development of Prime Number Theory: “The symbols O(·) and o(·) are usually called the Landau symbols. This name is only partially correct, since it seems that the first of them appeared first in the second volume of P. Bachmann’s treatise on number theory (Bachmann, 1894). In any case Landau (1909a, p. 883) states that he had seen it for the first time in Bachmann's book. The symbol o(·) appears first in Landau (1909a).”
  2. Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood: Some problems of Diophantine approximation. Part II. The trigonometrical series associated with the elliptic ϑ-functions. In: Acta Mathematica. Bd. 37, 1914, S. 193–239, hier S. 225, doi:10.1007/BF02401834.
  3. Godfrey H. Hardy, John E. Littlewood: Contribution to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes. In: Acta Mathematica. Bd. 41, 1916, S. 119–196, doi:10.1007/BF02422942.
  4. 4,0 4,1 Donald Knuth: Big Omicron and big Omega and big Theta. SIGACT News, Apr.–June 1976, 18–24 (PDF; 348 kB).
  5. Edmund Landau: Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. (Vierte Abhandlung). In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1924, S. 137–150 (Digitalisat (PDF; 437,39 kB)).
  6. Edward C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Clarendon Press, Oxford 1951.
  7. Mit dem Kommentar: “Although I have changed Hardy and Littlewood's definition of $ \Omega $, I feel justified in doing so because their definition is by no mean in wide use, and because there are other ways to say what they want to say in the comparatively rare cases when their definition applies”.

Weblinks


Diese Artikel könnten dir auch gefallen



Die letzten News


13.06.2021
Die Taktgeber der Sonne
Nicht nur der prägnante 11-Jahres-Zyklus, auch alle weiteren periodischen Aktivitätsschwankungen der Sonne können durch Anziehungskräfte der Planeten getaktet sein.
13.06.2021
Wenn Schwarze Löcher den Weg für die Sternentstehung in Satellitengalaxien freimachen
Eine Kombination von systematischen Beobachtungen mit kosmologischen Simulationen hat gezeigt, dass Schwarze Löcher überraschenderweise bestimmten Galaxien helfen können, neue Sterne zu bilden.
13.06.2021
Flüssiges Wasser auf Monden sternenloser Planeten
Monde sternenloser Planeten können eine Atmosphäre haben und flüssiges Wasser speichern. Münchner Astrophysiker haben berechnet, dass die Wassermenge ausreicht, um Leben auf diesen wandernden Mond-Planeten-Systemen zu ermöglichen und zu erhalten.
13.06.2021
Solar Orbiter: Neues vom ungewöhnlichen Magnetfeld der Venus
Solar Orbiter ist eine gemeinsame Mission der Europäischen Weltraumorganisation (ESA) und der NASA, die bahnbrechende neue Erkenntnisse über die Sonne liefern wird.
13.06.2021
Quantenbits aus Löchern
Wissenschafter haben ein neues und vielversprechendes Qubit gefunden – an einem Ort, an dem es nichts gibt.
07.06.2021
Gammablitz aus der kosmischen Nachbarschaft
Die hellsten Explosionen des Universums sind möglicherweise stärkere Teilchenbeschleuniger als gedacht: Das zeigt eine außergewöhnlich detaillierte Beobachtung eines solchen kosmischen Gammastrahlungsblitzes.
31.05.2021
Verblüffendes Quantenexperiment wirft Fragen auf
Quantensysteme gelten als äußerst fragil: Schon kleinste Wechselwirkungen mit der Umgebung können zur Folge haben, dass die empfindlichen Quanteneffekte verloren gehen.
31.05.2021
Symmetrie befördert Auslöschung
Physiker aus Innsbruck zeigen in einem aktuellen Experiment, dass auch die Interferenz von nur teilweise ununterscheidbaren Quantenteilchen zu einer Auslöschung führen kann.
31.05.2021
Wie Wasser auf Eisplaneten den felsigen Untergrund auslaugt
Laborexperimente erlauben Einblicke in die Prozesse unter den extremen Druck- und Temperatur-Bedingungen ferner Welten. Fragestellung: Was passiert unter der Oberfläche von Eisplaneten?
31.05.2021
Neues Quantenmaterial entdeckt
Auf eine überraschende Form von „Quantenkritikalität“ stieß ein Forschungsteam der TU Wien gemeinsam mit US-Forschungsinstituten. Das könnte zu einem Design-Konzept für neue Materialien führen.
27.05.2021
Wenden bei Höchstgeschwindigkeit
Physiker:innen beobachten neuartige Lichtemission. und zwar wenn Elektronen in topologischen Isolatoren ihre Bewegungsrichtung abrupt umdrehen.
27.05.2021
Mit Klang die Geschichte der frühen Milchstraße erkunden
Einem Team von Astronominnen und Astronomen ist es gelungen, einige der ältesten Sterne in unserer Galaxie mit noch nie dagewesener Präzision zu datieren.
11.05.2021
Teleskop zur Erforschung von Objekten höchster Dichte im Universum
Eine internationale Gruppe von Astronomen hat erste Ergebnisse eines groß angelegten Programms vorgestellt, bei dem Beobachtungen mit dem südafrikanischen MeerKAT-Radioteleskop dazu verwendet werden, die Theorien von Einstein mit noch nie dagewesener Genauigkeit zu testen.
11.05.2021
Quantencomputing einfach erklärt
„Quantencomputing kompakt“ lautet der Titel eines aktuellen Buchs, das Bettina Just veröffentlicht hat. Die Mathematikerin und Informatikerin, die an der Technischen Hochschule Mittelhessen (THM) lehrt und forscht, behandelt darin ein Teilgebiet der Informationstechnik mit großem Entwicklungspotenzial.
11.05.2021
Auf dem Weg zum kleinstmöglichen Laser
Bei extrem niedrigen Temperaturen verhält sich Materie oft anders als gewohnt.
07.05.2021
Die Entdeckung von acht neuen Millisekunden-Pulsaren
Eine Gruppe von Astronomen hat mit dem südafrikanischen MeerKAT-Radioteleskop acht Millisekunden-Pulsare entdeckt, die sich in Kugelsternhaufen mit hoher Sterndichte befinden.
04.05.2021
Handfeste Hinweise auf neue Physik
Das Fermilab (USA) hat heute erste Daten aus dem Myon g-2 Experiment veröffentlicht, welche die Messwerte des gleichnamigen, 2001 durchgeführten Experiments am Brookhaven National Laboratory bestätigen.
04.05.2021
Neuer Exoplanet um jungen sonnenähnlichen Stern entdeckt
Astronomen aus den Niederlanden, Belgien, Chile, den USA und Deutschland bilden neu entdeckten Exoplaneten „YSES 2b“ direkt neben seinem Mutterstern ab.
07.04.2021
Myon g-2: Kleines Teilchen mit großer Wirkung
Das Myon g-2-Experiment des Fermilab in den USA steht vor einem Sensationsmoment, der die Geschichte der Teilchenphysik neu schreiben könnte. Und vielleicht sogar Hinweise auf noch unbekannte Teilchen im Universum gibt.
02.04.2021
Zwei merkwürdige Planeten
Uranus und Neptun habe beide ein völlig schiefes Magnetfeld.
02.04.2021
Der erste interstellare Komet könnte der ursprünglichste sein, der je gefunden wurde
Neue Beobachtungen mit dem Very Large Telescope (VLT) der Europäischen Südsternwarte (ESO) deuten darauf hin, dass der abtrünnige Komet 2I/Borisov einer der ursprünglichsten ist, die je beobachtet wurden.
02.04.2021
Erstmals Atominterferometer im Weltraum demonstriert
Atominterferometer erlauben hochpräzise Messungen, indem sie den Wellencharakter von Atomen nutzen. Sie werden zum Beispiel für die Vermessung des Schwerefelds der Erde eingesetzt oder um Gravitationswellen aufzuspüren. Weitere Raketenmissionen sollen folgen.
02.04.2021
Sendungsverfolgung für eine Quantenpost
Quantenkommunikation ist abhörsicher, aber bislang nicht besonders effizient.
25.03.2021
Astronomen bilden Magnetfelder am Rand des Schwarzen Lochs von M 87 ab
Ein neuer Blick auf das massereiche Objekt im Zentrum der Galaxie M 87 zeigt das Erscheinungsbild in polarisierter Radiostrahlung.
24.03.2021
Die frühesten Strukturen des Universums
Das extrem junge Universum kann nicht direkt beobachtet werden, lässt sich aber mithilfe mathematischer Theorien rekonstruieren.