NOON-Zustand

NOON-Zustand

Ein NOON-Zustand (Kunstwort entsprechend der Formel, s.u.) ist ein verschränkter quantenmechanischer Vielteilchenzustand. Die Bezeichnung ist insbesondere in der Quantenoptik gebräuchlich. Hier bezeichnet ein NOON-Zustand einen Überlagerungszustand von $ N $ Photonen, die sich entweder alle in dem einen oder dem anderen von zwei voneinander unterscheidbaren Einteilchenzuständen befinden. Photonen, die in einem solchen Zustand präpariert werden, erlauben (für große Teilchenzahl $ N $) sehr präzise Phasenmessungen und wurden daher für Anwendungen in der Quanten-Metrologie und hochaufgelösten Lithographie vorgeschlagen.

Definition

Mathematisch sind NOON-Zustände $ |\psi_\text{NOON} \rangle $ als Vektoren im Hilbertraum $ \mathcal{F}_+(\C^2)=\mathcal{F}_+(\C)\otimes\mathcal{F}_+(\C) $, dem symmetrischen (bosonischen) Fockraum über zwei Moden, gegeben:

$ |\psi_\text{NOON} \rangle = \frac{|N \rangle_a \otimes |0\rangle_b + e^{i N \theta}|{0}\rangle_a \otimes |{N}\rangle_b}{\sqrt{2}} $

Dieser Zustand beschreibt die Überlagerung von $ N $ Teilchen in der Mode $ a $ und keinem Teilchen in Mode $ b $ und umgekehrt (mit relativer Phase $ \theta $).

In der Praxis werden meist photonische NOON-Zustände betrachtet, aber allgemein kann jedes bosonische Feld in einem NOON-Zustand präpariert werden.

Anwendungen

NOON-Zustände wurden im Zusammenhang mit Anwendungen der Quanten-Metrologie untersucht, da sie es erlauben, mit optischen Interferometern sehr genaue Phasenmessungen durchzuführen. Zum Beispiel gilt für die Observable

$ A = |N,0 \rangle \langle 0,N| + |0,N \rangle \langle N,0| $

dass ihr Erwartungswert $ \langle A\rangle $ für ein System im NOON-Zustand sich von $ +1 $ zu $ -1 $ verändert, wenn die Phase $ \theta $ des Zustands von 0 auf $ \pi/N $ anwächst. D. h. für große $ N $ führt schon eine sehr kleine Phase zu einer großen Änderung der Observablen.

Für die Ungenauigkeit (Standardabweichung) der Messung von $ A $ gilt:

$ \Delta \theta = \frac{\Delta A}{|d\langle A\rangle / d\theta|} = \frac{1}{N}. $

Diese Skalierung mit der Teilchenzahl ist das beste mit quantenmechanischen Messungen erreichbare Verhalten und wird auch als Heisenberg-Limit bezeichnet. Es stellt eine quadratische Verbesserung gegenüber den standard quantum limit ($ \propto\sqrt{N} $) dar, das die beste mit $ N $ unabhängigen (nicht verschränkten) Teilchen erreichbare Messung beschreibt.

NOON-Zustände sind eng verwandt mit Schrödinger-Katzen-Zuständen und Greenberger-Horne-Zeilinger Zuständen. Wie diese sind auch die NOON-Zustände sehr fragil: auch kleine unkontrollierte Wechselwirkungen zerstören die Kohärenz der Überlagerung und führen zu einem Verlust der vorteilhaften Eigenschaften des Zustands (Dekohärenz). Dies stellt den praktischen Nutzen von NOON-Zuständen für metrologische Zwecke in vielen realistischen Situationen in Frage. [1]

Experimentelle Erzeugung

NOON-Zustände wurden für kleine Teilchenzahlen in verschiedenen Experimenten erzeugt, z. B. für $ N=5 $ mit optischen Photonen[2] und für $ N=2 $ mit Mikrowellen-Photonen[3].

Geschichte und Terminologie

NOON-Zustände wurden von Barry Sanders im Zusammenhang mit der Untersuchung der Dekohärenz von Schrödinger-Katzen-Zuständen eingeführt[4] und später von Jonathan P. Dowling wiederentdeckt, der sie als Grundlage der Quanten-Lithographie vorschlug.[5] Der englische Ausdruck „NOON state“ wurde erstmals in einem Artikel von Lee, Kok und Dowling über Quanten-Metrologie[6] verwendet (geschrieben als „N00N“, mit Nullen statt Os).

Referenzen

  1. B. M. Escher, R. L. de Matos Filho, L. Davidovich: General framework for estimating the ultimate precision limit in noisy quantum-enhanced metrology. In: Nature Physics. Band 7, Nr. 5, Mai 2011, S. 406–411, doi:10.1038/nphys1958.
  2. Itai Afek, Oron Ambar, Yaron Silberberg: High-NOON States by Mixing Quantum and Classical Light. In: Science. Band 328, Nr. 5980, 14. Mai 2010, S. 879–881, doi:10.1126/science.1188172, PMID 20466927.
  3. C. Lang u. a.: Correlations, indistinguishability and entanglement in Hong-Ou-Mandel experiments at microwave frequencies. In: Nature Physics. Band 9, Nr. 6, Juni 2013, S. 345–348, doi:10.1038/nphys2612.
  4. Barry C. Sanders: Quantum dynamics of the nonlinear rotator and the effects of continual spin measurement. In: Physical Review A. Band 40, Nr. 5, 1. September 1989, S. 2417–2427, doi:10.1103/PhysRevA.40.2417.
  5. Agedi N. Boto, Pieter Kok, Daniel S. Abrams, Samuel L. Braunstein, Colin P. Williams, Jonathan P. Dowling: Quantum Interferometric Optical Lithography: Exploiting Entanglement to Beat the Diffraction Limit. In: Physical Review Letters. Band 85, Nr. 13, 25. September 2000, S. 2733–2736, doi:10.1103/PhysRevLett.85.2733.
  6. Hwang Lee, Pieter Kok, Jonathan P. Dowling: A quantum Rosetta stone for interferometry. In: Journal of Modern Optics. Band 49, Nr. 14–15, 2002, S. 2325–2338, doi:10.1080/0950034021000011536.


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