Liouville-Gleichung

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Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt.

Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, d.h. der Fluss durch den Phasenraum ist volumen- und sogar orientierungserhaltend.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $ \rho $ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Unabhängig vom gewählten Ensemble gilt für die zeitliche Entwicklung, dass die totale Ableitung dieser Dichte nach der Zeit verschwindet:

$ \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial \rho }{\partial t} + \sum_{i = 1}^{N} \left[ \frac{\partial \rho }{\partial q_{i}} \dot {q}_{i} + \frac{\partial \rho }{\partial p_{i}} \dot {p}_{i} \right] = 0 $

wobei

bezeichnen, jeweils des $ i $-ten Teilchens im Phasenraum.

Das bedeutet, dass sich die Phasenraumdichte entlang einer Phasenraumtrajektorie nicht verändert.

Ersetzt man $ \dot q_i $ und $ \dot p_i $ gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t} \rho(\tau,t) & = -\{\rho(\tau,t), H\}\\ & = +\{H, \rho(\tau,t)\} \end{align} $

wobei

  • H die Hamilton-Funktion
  • $ \tau $ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Bei Einführung des Liouvilleoperators

$ L = \sum_{i = 1}^{n} \left[ \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial}{\partial p_{i}} \right] = \{ \cdot, H \} $

kann die Liouvillegleichung auch wie folgt geschrieben werden:

$ \frac{\partial \rho }{\partial t} = -{L} \rho $

Quantenmechanische Gleichung

Die quantenmechanische Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}[\rho,H] $

Hier bezeichnet

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator $ L $ einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator $ A $:

$ L A = \frac{i}{\hbar}[A,H] $

Damit schreibt sich die Von-Neumann-Gleichung:

$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = L \rho $

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

$ \lim\limits_{\hbar \rightarrow 0}~ \frac{i}{\hbar} [\hat{A},\hat{B}] = \{{A}_w,{B}_w\} $

Literatur

Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004