Poisson-Klammer

Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition

Die Poisson-Klammer ist definiert als

$ \left \{ f,g \right \} := \sum_{k=1}^{s}{\left ( \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k} - \frac{\partial f}{\partial p_k} \frac{\partial g}{\partial q_k} \right )} $

mit

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen $ F $ und $ G $ definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

$ \{F,G\}_{ab}:=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial F}{\partial a_k}\frac{\partial G}{\partial b_k}-\frac{\partial F}{\partial b_k}\frac{\partial G}{\partial a_k}\right) $.

Eigenschaften

  • Bilinearität
$ \,\{c_1 f_1+c_2 f_2,g\}=c_1 \{f_1,g\}+ c_2 \{f_2,g\} $
  • Antisymmetrie
$ \{f,g\}=-\{g,f\}\,\Rightarrow\, \{f,f\}=0 $
  • Produktregel
$ \,\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\} $
  • Jacobi-Identität
$ \,\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0 $
  • Invarianz
Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien $ (\mathbf{q},\mathbf{p}) $ und $ (\mathbf{Q},\mathbf{P}) $ zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt:
$ \{f,g\}_{\mathbf{qp}}=\{f,g\}_{\mathbf{QP}}=\{f,g\} $.
Der Beweis ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

$ \left \{ q_k, q_l \right \} = 0 $
$ \left \{ p_k, p_l \right \} = 0 $
$ \left \{ q_k, p_l \right \} = \delta_{kl} $ (Kronecker-Delta).

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

$ \begin{alignat}{2} & \frac{\partial q_k}{\partial q_l} = \delta_{kl} \quad && \frac{\partial p_k}{\partial q_l} = 0\\ & \frac{\partial q_k}{\partial p_l} = 0 \quad && \frac{\partial p_k}{\partial p_l} = \delta_{kl} \end{alignat} $.

Anwendung

Hamiltonsche Bewegungsgleichung

Mit Hilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen $ f(q_k,p_k,t) $ eines Hamiltonschen Systems $ H(q_k,p_k) $ ausgedrückt werden.

Diese Zeitevolution einer beliebigen Observablen wird beschrieben durch die totale Ableitung nach der Zeit:

$ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^s \left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\mathrm{d}q_k}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\mathrm{d}p_k}{\mathrm{d}t}\right)+\frac{\partial f}{\partial t} $.

Einsetzen der Hamiltonschen Gleichungen

$ \dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k} $

und

$ \dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k} $

ergibt

$ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}-\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial H}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial f}{\partial t} $.

Der vordere Teil entspricht der Definition der Poisson-Klammer:

$ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t} $.

Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn gilt:

$ \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t} = 0 $

Ist $ f $ nicht explizit zeitabhängig $ \left (f(q_k,p_k) \neq f(t) \right) $, so wird daraus:

$ \{f,H\} = 0 $

Weiteres

$ \dot{\rho}=\{H,\rho\}. $
$ \{H,f\}\rightarrow-\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{f}] $
Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator $ \hat{H} $ im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
  • Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
  • Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch $ \textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j $, die Poisson-Klammer der Funktionen $ f $ und $ g $ durch:
$ \{f, g\} = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,. $

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081


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