Isospin

Heute im PHYSIK-UNTERRICHT: : | Isospin ✔ |

Der (starke) Isospin ist in der Theorie der Elementarteilchen eine Flavour-Quantenzahl, die eine innere Symmetrie unter der starken Wechselwirkung beschreibt und zur Klassifizierung der Hadronen genutzt wird. Die Bezeichnung (iso-: „quantitativ gleich“, von altgriechisch ἴσος) verweist darauf, dass das System wie ein Spin-1/2-Teilchen erscheint, obwohl es sich nicht um einen Spin handelt.

Allgemeiner wird das Konzept (so auch in der Festkörperphysik) verwendet, um Zweizustandssysteme zu beschreiben. Die beiden quantenmechanischen Zustände werden als gegensätzliche Orientierungen des Isospins aufgefasst (±$ I_z $). Befindet sich das System in einer Überlagerung der beiden Zustände, so wird das durch die beiden anderen Komponenten ($ I_x, I_y $) beschrieben.

Entdeckung

Bei Streuprozessen an Spiegelkernen wurde festgestellt, dass die starke Wechselwirkung nicht zwischen den neutralen Neutronen und positiv geladenen Protonen unterscheidet, d. h. dass sie ladungsunabhängig wirkt. Bezüglich der Kernkraft sind Neutron und Proton also identisch, und ihr geringfügiger Massenunterschied hängt mit der elektrischen Ladung zusammen. Daraus folgerte Werner Heisenberg 1932,[1] dass Proton und Neutron zwei verschiedene Ladungszustände ein und desselben Teilchens, des Nukleons, sind.

Zur weiteren Beschreibung „entlieh“ er den quantenmechanischen Spinformalismus vom entsprechenden Verhalten der Elektronen. Auch bei ihnen gibt es zwei Zustände (Spin-up und Spin-down), die durch eine bestimmte Kraft – hier die rein elektrische Kraft - nicht unterscheidbar sind.

Der Name Isospin wurde 1937 von Eugene Wigner geprägt und stand zunächst für isotoper Spin. Da dies jedoch als Hinweis auf eine Änderung der Neutronenzahl missdeutet werden kann (vgl. Isotop), wird heute der Ausdruck isobarer Spin verwendet. Murray Gell-Mann kombinierte die Eigenschaften Isospin und Strangeness im Eightfold Way, einem direkten Vorläufer des Quarkmodells und der Quantenchromodynamik.

Formalismus

up
Quark / Antiquark u u
Isospin $ I_z $
down
Quark / Antiquark d d
Isospin $ I_z $

Wie der normale Spin der fundamentalen Fermionen (wie beispielsweise des Elektrons) hat die Quantenzahl des Isospins immer den Wert 1/2.

Die kanonisch verwendete dritte Komponente $ I_z $ (oft auch mit $ I_3 $ bezeichnet) des Isospins repräsentiert seine Einstellung und weist die zwei möglichen Werte +1/2 und −1/2 auf. Diese stehen im Quarkmodell für die beiden Quarks

  • u (up, engl.: oben): $ I_z = +1/2 $ und
  • d (down, engl.: unten): $ I_z = -1/2 $.

Die Quarks s, c, b und t tragen keinen Isospin. Für Antiquarks ändert sich das Vorzeichen von $ I_z $.

Damit ist $ I_z $ wie folgt durch die Anzahl der u- und d-Quarks sowie der zugehörigen Antiquarks gegeben:

$ I_z = \frac{1}{2}\Big((n_u - n_{\bar u}) - (n_d - n_{\bar d})\Big) $.

Der Unterschied zwischen Proton und Neutron resultiert aus ihrer Zusammensetzung:

  • Proton p = uud $ \Rightarrow I_z = +1/2 $
  • Neutron n = udd $ \Rightarrow I_z = -1/2 $.

Diese Zuweisung findet in manchen Büchern auch andersherum statt und ist nur eine Konvention, die unbedeutend ist, solange die Konsistenz gewahrt wird.

Hyperladung

Teilchen Bestandteile el. Ladung
$ Q $
Isospin
$ I_z $
Hyperldg.
$ Y $
Quarks Up u +2/3 +1/3
Anti-Up u -2/3 -1/3
Down d -1/3 +1/3
Anti-Down d +1/3 -1/3
Hadronen Proton uud +1 +1
Neutron udd 0 +1

Aufgrund ihres Isospins und ihrer elektrischen Ladung $ Q $ lässt sich vielen Teilchen mit Hilfe der Gell-Mann-Nishijima-Formel eine Hyperladung $ Y $ zuordnen:

$ Y = 2 (Q-I_z). $

Die Hyperladung ist

  • für Up- und Down-Quark jeweils: $ Y = +1/3 \!\, $
  • für Anti-Up- und Anti-Down-Quark jeweils: $ Y = -1/3 \!\, $
  • für die Nukleonen (Proton p, Neutron n) jeweils: $ Y = +1 \!\, $.

Quantenfeldtheorie

Im Rahmen der Quantenfeldtheorie wird dem Isospin der zweidimensionale komplexe Vektorraum $ \mathbb{C}^2 $ zugeordnet, in dem sich die Quarks u und d als Basisvektoren darstellen lassen:

$ \mathbf{u} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \quad \mathbf{d} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right). $

Dadurch ist es möglich, die Umwandlung von Nukleonen zu beschreiben, wie sie im radioaktiven Zerfall stattfindet: $ \mathbf{n} \to \mathbf{p} + e^- + \bar \nu $. Dies ist eine Transformation der SU(2)-Symmetrie, die in der Theorie der schwachen Wechselwirkung beschrieben wird.

Mathematisch werden diese Transformationen durch Leiteroperatoren vermittelt, die den Eichbosonen der Feldtheorie zugeordnet werden. So wird beispielsweise der Übergang $ \mathbf{d} \rightarrow \mathbf{u} $ beschrieben durch die Matrixgleichung

$ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) . $

Erweiterung auf schwachen Isospin

Neben dem oben besprochenen starken Isospin lässt sich auch ein schwacher Isospin $ T $ für Leptonen und Quarks einführen. Nach ihm werden die einzelnen Familien in schwache Isospin-Dubletts gruppiert, innerhalb derer sich die Teilchen bezüglich der schwachen Wechselwirkung identisch verhalten und z. T. ineinander übergehen:

$ \left( \begin{matrix} \nu_e \\ e^- \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} \nu_{\mu} \\ \mu^- \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} \nu_{\tau} \\ \tau^- \end{matrix} \right)_L; \left( \begin{matrix} u \\ d' \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} c \\ s' \end{matrix} \right)_L, \left( \begin{matrix} t \\ b' \end{matrix} \right)_L $.

Hierbei sind d', s', b' die Eigenzustände der Quarks bezüglich der schwachen Wechselwirkung, welche durch die CKM-Matrix mit den Eigenzuständen der starken Wechselwirkung verknüpft sind. Der Index L deutet darauf hin, dass es nur für linkshändige Teilchen Übergänge innerhalb eines Dubletts gibt, welche durch geladene schwache Ströme vermittelt werden.

Der schwache Isospin der linkshändigen Dubletts hat den Betrag $ T_L = 1/2 $ und die dritte Komponente $ T_z $ (synonym $ T_3 $):

  • für die neutralen Leptonen $ \nu_e, \nu_{\mu}, \nu_{\tau} $ und die positiv geladenen Quarks $ u, c, t $:
$ T_z = +1/2 $
  • für die geladenen Leptonen $ e^-, \mu^-, \tau^- $ und die negativ geladenen Quarks $ d', s', b' $:
$ T_z = -1/2 $.

Rechtshändige Teilchen dagegen treten nur in Singuletts auf, da es einerseits keine rechtshändigen Neutrinos $ \nu $ gibt (Goldhaber-Experiment) und andererseits keine neutralen schwachen Ströme, die die Quarksorte ändern könnten:

$ e_R^-, \mu_R^-, \tau_R^-; u_R, d_R, \,\, c_R, s_R, \,\, t_R, b_R $.

Ihr Betrag des schwachen Isospins ist daher $ T_R = 0 $.

Schwache Hyperladung

Aufgrund ihres schwachen Isospins und ihrer elektrischen Ladung lässt sich allen Teilchen mit Hilfe einer abgewandelten Gell-Mann-Nishijima-Formel eine schwache Hyperladung $ Y_W $ zuordnen:

$ Y_W = 2 (Q-T_z) $.

Sie ist

  • für linkshändige Leptonen, egal ob geladen oder nicht: $ Y_{W} = -1 $
  • für linkshändige Quarks, egal ob positiv oder negativ geladen: $ Y_{W} = +1/3 $
  • für rechtshändige (geladene) Leptonen: $ Y_{W} = -2 $
  • für rechtshändige positiv geladene Quarks: $ Y_{W} = +4/3 $
  • für rechtshändige negativ geladene Quarks: $ Y_{W} = -2/3 $.
Linkshändig el. Ladung
$ Q $
schw. Isospin
$ T_z $
schw. Hyperldg.
$ Y_W $
Rechtshändig el. Ladung
$ Q $
schw. Isospin
$ T_z $
schw. Hyperldg.
$ Y_W $
Leptonen $ \nu_e, \nu_{\mu}, \nu_{\tau} $ 0 -1 - - - -
$ e^-, \mu^-, \tau^- $ -1 -1 $ e_R^-, \mu_R^-, \tau_R^- $ -1 0 -2
Quarks $ u, c, t $ +2/3 +1/3 $ u_R, c_R, t_R $ +2/3 0 +4/3
$ d', s', b' $ -1/3 +1/3 $ d_R, s_R, b_R $ -1/3 0 -2/3

Literatur

Einzelnachweise

  1. W. Heisenberg: Über den Bau der Atomkerne. In: Zeitschrift für Physik. Band 77, 1932, S. 1–11, doi:10.1007/BF01342433, bibcode:1932ZPhy...77....1H.

Das könnte Dich auch interessieren