Dirac-Notation

Dirac-Notation

Die Dirac-Notation ist eine Notation von Zustandsvektoren, die in der Quantenmechanik verwendet wird. Der Vorteil dieser Notation besteht darin, dass sie koordinatenfrei ist. Die Gleichungen lassen sich ganz allgemein aufschreiben und man kann später die Koordinaten wählen, die für die Lösung des Problems am besten geeignet sind.

Paul Dirac selbst erfand sowohl die Schreibweise als auch die Benennung, die auf die spitze Klammer (engl. angle bracket) anspielt, mit der man oft das Skalarprodukt $ \lang v,w \rang $ zweier Vektoren bezeichnet. Die Schreibweise wird daher auch Bra-Ket-Notation genannt.

In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums $ V $ auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket $ | v \rang $. Jedem Ket $ | v \rang $ entspricht ein Bra $ \lang v | \, , $ der dem Dualraum $ V^* $ angehört, also eine lineare Abbildung von $ V $ in den zu Grunde liegenden Körper $ K $ repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras $ \lang v | $ auf einen Ket $ | w \rang $ wird $ \lang v | w \rang $ geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.

In der Physik wird die Notation verwendet, gleich ob es sich dabei um Vektoren eines Vektorraumes oder um Funktionen in einem Hilbert-Raum handelt. Die mathematische Rechtfertigung für die Bra-Ket-Notation ergibt sich aus dem Satz von Fréchet-Riesz, den F. Riesz und M. Fréchet 1907 unabhängig voneinander bewiesen. Er besagt unter anderem, dass ein Hilbertraum und sein topologischer Dualraum isometrisch isomorph zueinander sind.

Darstellung

Sei $ v $ ein Vektor eines komplexen $ m $-dimensionalen Vektorraums $ \left(v \in \C^m\right) $. Der Ket-Ausdruck $ \left| v \right\rangle $ kann als vertikaler Vektor mit komplexen Elementen $ v_n $ ($ v_n \in \C $) dargestellt werden:

$ \left| v \right\rangle \doteq \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix} $

Wichtig ist dabei, dass $ \left| v \right\rangle $ und $ (v_1, v_2, v_3, \dots, v_m)^T $ nicht dasselbe mathematische Objekt sind und somit kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf[1]. Dies wird insbesondere daran deutlich, dass die Bra-Ket-Schreibweise von der Wahl einer Basis unabhängig ist, während die Darstellung durch Koordinatenvektoren die Wahl einer Basis voraussetzt. Stattdessen sollte deutlich gemacht werden, dass es sich bei $ (v_1, v_2, v_3, \dots, v_m)^T $ um die Darstellung von $ \left| v \right\rangle $ handelt. Dies kann durch die Verwendung von Zeichen wie $ \Rightarrow $, $ \doteq $[2], $ \leftrightarrow $[3], etc. erfolgen.

Der Bra-Ausdruck $ \left\langle v \right| $ kann demnach als horizontaler Vektor mit den konjugierten Werten dargestellt werden:

$ \left\langle v \right| \doteq \begin{pmatrix} v_1^* && v_2^* && v_3^* && \dotso && v_m^* \end{pmatrix} $

Beispiele

Durch die Notation

$ |e^{-}\rangle = |1s\uparrow \rangle $

kann ein Elektron im Zustand 1s mit Spin up des Wasserstoffatoms bezeichnet werden.


Der Polarisationszustand eines Photons kann als Überlagerung zweier Basiszustände, z. B. $ |V\rangle $ (vertikal polarisiert) und $ |H\rangle $ (horizontal polarisiert), interpretiert werden:

$ |\gamma\rangle = \alpha \cdot |V\rangle + \beta \cdot |H\rangle $,

wobei

$ \alpha,\beta \in \C $

und

$ \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $

Gegeben sei eine Anzahl von $ n $ Bosonen $ q_k $ mit jeweils einem bestimmten Impuls $ p_k = k\frac{2\pi}{L} $. Der Zustand lässt sich mittels der Dirac-Notation kompakt abbilden:

n Zustandsvektor Besetzungszahldarstellung Erläuterung
0 $ \left| 0 \right\rangle $ $ \left| 00 \right\rangle $ 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
1 $ \left| q_1 \right\rangle $ $ \left| 10 \right\rangle $ 1 Teilchen befindet sich im Zustand 1.
0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
1 $ \left| q_2 \right\rangle $ $ \left| 01 \right\rangle $ 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
2 $ \left| q_1 q_1 \right\rangle $ $ \left| 20 \right\rangle $ 2 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
2 $ \left| q_1 q_2 \right\rangle = \left| q_2 q_1 \right\rangle $ $ \left| 11 \right\rangle $ 1 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
1 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
2 $ \left| q_2 q_2 \right\rangle $ $ \left| 02 \right\rangle $ 0 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
2 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
3 $ \left| q_1 q_1 q_1 \right\rangle $ $ \left| 30 \right\rangle $ 3 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
0 Teilchen befinden sich im Zustand 2.
3 $ \left| q_1 q_1 q_2 \right\rangle = \left| q_1 q_2 q_1 \right\rangle = \left| q_2 q_1 q_1 \right\rangle $ $ \left| 21 \right\rangle $ 2 Teilchen befinden sich im Zustand 1.
1 Teilchen befindet sich im Zustand 2.
$ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt eines Bra $ \langle\phi| $ mit einem Ket $ |\psi\rangle $ wird in Bra-Ket-Notation geschrieben als

$ \langle\phi, \psi\rangle := \langle\phi| \psi\rangle := \langle\phi|(|\psi\rangle) $ = Anwendung des Bras $ \langle\phi| $ auf den Ket $ |\psi\rangle $.

Für beliebige komplexe Zahlen $ c_1 $ und $ c_2 $ gilt:

$ \langle\phi| \; \bigg( |c_1\cdot\psi_1\rangle + |c_2\cdot\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle. $ (Linearität)
$ \bigg(\langle c_1\cdot\phi_1| + \langle c_2\cdot\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1^*\langle\phi_1|\psi\rangle + c_2^*\langle\phi_2|\psi\rangle. $ (Antilinearität)

Aufgrund der Dualitätsbeziehung gilt weiterhin

$ \langle\psi|\varphi\rangle = \langle\varphi|\psi\rangle^* $ (komplexe Konjugation)

Tensorprodukt

Das Tensorprodukt eines Ket $ |\phi\rangle $ mit einem Bra $ \langle\psi| $ wird geschrieben als

$ \phi \otimes \psi \ \ =: \ \ |\phi\rangle\langle\psi| $

Im Fall gewöhnlicher Vektoren entspricht das Tensorprodukt einer Matrix.

Für eine vollständige Orthonormalbasis $ \{|1\rangle,|2\rangle,\dotsc,|N\rangle \} $ führt die Operation

$ |1\rangle \langle1| |\psi\rangle = \langle1|\psi \rangle |1\rangle = c_1 |1\rangle $

eine Projektion auf den Basiszustand $ |1 \rangle $ aus. Dies definiert den Projektionsoperator auf den Unterraum des Zustands $ |1 \rangle $:

$ |1\rangle \langle1| $

Eine besonders wichtige Anwendung der Multiplikation von Ket mit Bra ist der Einheitsoperator $ I $, der sich als Summe über die Projektionsoperatoren ergibt als

$ I=\sum_{n=1}^N |n\rangle \langle n|. $

(In unendlich-dimensionalen Hilberträumen ist bei diskreter Basis der Limes $ N\to\infty $ zu betrachten.)

Diese „Darstellung des Einheitsoperators“ ist insbesondere deshalb von so herausragender Bedeutung, da man damit jeden Zustand $ |a\rangle $ in einer beliebigen Basis entwickeln kann.

Ein Beispiel einer Basisentwicklung durch Einschieben der Eins:

$ |a\rangle = I | a\rangle = \sum_{n=1}^N |n\rangle \underbrace{\langle n| a\rangle}_{=:\alpha_n} = \sum_{n=1}^N \alpha_n | n \rangle $

Dies ist die Darstellung des Zustands-Kets $ |a\rangle $ in der $ n $-Basis durch das sogenannte Einschieben der Eins.

Dass dies immer funktioniert, ist eine unmittelbare Konsequenz der Vollständigkeit des Hilbertraums, in dem die Zustände, also die Kets, 'leben'.

Für eine kontinuierliche Basis ist statt der Summe ein Integral zu bilden. So erhält man beispielsweise für den Ortsraum die Summe über das Ortskontinuum und damit den Einheitsoperator als Integral über den ganzen $ \mathbb{R}^3 $:

$ I= \sum_{\text{kont. Basis}} |\vec{x}\rangle \langle \vec{x}| = \int_{\mathbb R^3}\, \, \mathrm{d}^3\! x\, |\vec{x}\rangle \langle \vec{x}| $

Natürlich ist auch mit einer solchen kontinuierlichen Basis eine Basisentwicklung möglich, was in der Regel auf ein Fourierintegral führt. Technisch handelt es sich dabei nicht  um eine Entwicklung nach Basisvektoren des Hilbertraums, da es in den betrachteten separablen Räumen kein Kontinuum von paarweise orthogonalen Vektoren geben kann: Vektoren der Art $ |\vec{x}\rangle $ bilden vielmehr eine mathematisch nicht-triviale Erweiterung des betrachteten Hilbertraums, und man nennt sie daher auch manchmal „uneigentliche Vektoren“, weil sie wie die Deltafunktion oder wie monochromatische ebene Wellen nicht quadratintegrierbar sind. (Auch der Begriff der Orthogonalität muss hierbei verallgemeinert werden, indem man statt der sonst üblichen Kroneckersymbole $ \delta_{i,j} $ Deltafunktionen benutzt.)

Beachtet man bei Rechnungen diese Details, die im Grunde nur auf die „Rezepte“   $ \sum_i\to \int_{\mathbb R^3}\, \, \mathrm{d}^3\! x\, $  und $ \delta_{i,j} \to \delta (x_i- x_j) $ hinauslaufen, so bleibt die Basisentwicklung eine brauchbare Analogie.

Darstellungen in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik arbeitet man häufig mit Projektionen von Zustandsvektoren auf eine bestimmte Basis anstatt mit den Zustandsvektoren selbst.

Die Projektion auf eine bestimmte Basis wird Darstellung genannt. Ein Vorteil davon ist, dass die so erhaltenen Wellenfunktionen komplexe Zahlen sind, für die der Formalismus der Quantenmechanik als partielle Differentialgleichung geschrieben werden kann.

  • Darstellung in der Ortsraum-Basis (Ortsdarstellung):

Sei $ | \vec x \rangle $ ein Eigenzustand des Ortsoperators $ \hat{x} $ mit der Eigenschaft $ \hat{x} | \vec x \rangle = \vec x | \vec x \rangle $.

Die Wellenfunktion $ \psi(\vec x) $ ergibt sich durch Projektion als

$ \psi(\vec x)=\langle \vec{x}|\psi\rangle $

Das Skalarprodukt ist

$ \langle\psi_1|\psi_2\rangle\ = \int_{\mathbb R^3(\vec x)} \langle \psi_1 |\vec{x}\rangle\langle \vec{x}|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! x = \int_{\mathbb R^3(\vec x)} \psi_1(\vec x)^*\,\psi_2(\vec x)\, \mathrm{d}^3 \! x $
  • Darstellung in der Impulsraum-Basis (Impulsdarstellung):

Sei $ | \vec p \rangle $ ein Eigenzustand des Impulsoperators $ \hat{p} $ mit der Eigenschaft $ \hat{p} | \vec p \rangle = \vec p | \vec p \rangle $.

Die Wellenfunktion $ \psi(\vec p) $ ergibt sich durch Projektion als

$ \psi(\vec p)=\langle \vec{p}|\psi\rangle\,\,\left(\equiv\,\int \frac{e^{-i\vec p\cdot\vec x}}{(2\pi )^{3/2}}\,\psi (\vec x)\, \mathrm{d}^3 \! x\right) $

Das Skalarprodukt ist jetzt dasselbe wie zuvor

$ \langle\psi_1|\psi_2\rangle\ = \int_{\mathbb R^3(\vec p)}\langle \psi_1 |\vec{p}\rangle\langle \vec{p}|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! p = \int_{\mathbb R^3(\vec p)} \psi_1(\vec p)^*\,\psi_2(\vec p)\, \mathrm{d}^3 \! p $

Allgemein gilt, dass Skalarprodukte bei einem beliebigen Basiswechsel invariant sind. Beispiele sind die Übergänge („Darstellungswechsel“) von einem vollständigen Satz von Eigenvektoren und/oder uneigentlichen Eigenvektoren selbstadjungierter Operatoren des Systems zum anderen, z. B. der Übergang von einem Matrixsystem zum anderen oder der Übergang von einer Matrixdarstellung zur Orts- oder Impulsdarstellung.

  • Matrixelemente einer invariant definierten „Messgröße“, mit zugeordnetem, von der benutzten Basis abhängigen Operator $ \hat A\,, $ sind in allen Basen gleich, obwohl die Operatoren selbst i.a. unterschiedliche Darstellungen besitzen. So berechnet man etwa in der Ortsdarstellung
$ \langle\psi_1|\hat A|\psi_2\rangle\ = \iint_{\mathbb R^3(\vec x)\,\mathbb R^3(\vec x')} \langle \psi_1|\vec{x}\rangle\langle\vec{x}|\hat A|\vec{x}'\rangle\langle \vec{x}'|\psi_2\rangle\, \mathrm{d}^3 \! x \, \mathrm{d}^3 \! x'\ $ $ = \iint_{\mathbb R^3(\vec x)\,\mathbb R^3(\vec x')} \psi_1(\vec x)^* \hat{A}(\vec{x}, \, \vec{x}')\psi_2(\vec{x}')\, \mathrm{d}^3 \! x \, \mathrm{d}^3 \! x' $
Die Diagonalelemente, also die mit $ |\psi_1\rangle=|\psi_2\rangle $, sind zugleich die Erwartungswerte des Operators in den jeweiligen Zuständen.

Einzelnachweise

  1. Modern Quantum Mechanics Revised Revision, Sakurai, S. 20
  2. Modern Quantum Mechanics Revised Revision, Sakurai
  3. Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar, Springer London, Limited, 2012

Siehe auch


Diese Artikel könnten dir auch gefallen



Die letzten News


07.04.2021
Myon g-2: Kleines Teilchen mit großer Wirkung
Das Myon g-2-Experiment des Fermilab in den USA steht vor einem Sensationsmoment, der die Geschichte der Teilchenphysik neu schreiben könnte. Und vielleicht sogar Hinweise auf noch unbekannte Teilchen im Universum gibt.
02.04.2021
Zwei merkwürdige Planeten
Uranus und Neptun habe beide ein völlig schiefes Magnetfeld.
02.04.2021
Der erste interstellare Komet könnte der ursprünglichste sein, der je gefunden wurde
Neue Beobachtungen mit dem Very Large Telescope (VLT) der Europäischen Südsternwarte (ESO) deuten darauf hin, dass der abtrünnige Komet 2I/Borisov einer der ursprünglichsten ist, die je beobachtet wurden.
02.04.2021
Erstmals Atominterferometer im Weltraum demonstriert
Atominterferometer erlauben hochpräzise Messungen, indem sie den Wellencharakter von Atomen nutzen. Sie werden zum Beispiel für die Vermessung des Schwerefelds der Erde eingesetzt oder um Gravitationswellen aufzuspüren. Weitere Raketenmissionen sollen folgen.
02.04.2021
Sendungsverfolgung für eine Quantenpost
Quantenkommunikation ist abhörsicher, aber bislang nicht besonders effizient.
25.03.2021
Astronomen bilden Magnetfelder am Rand des Schwarzen Lochs von M 87 ab
Ein neuer Blick auf das massereiche Objekt im Zentrum der Galaxie M 87 zeigt das Erscheinungsbild in polarisierter Radiostrahlung.
24.03.2021
Die frühesten Strukturen des Universums
Das extrem junge Universum kann nicht direkt beobachtet werden, lässt sich aber mithilfe mathematischer Theorien rekonstruieren.
24.03.2021
Können Sternhaufen Teilchen höher beschleunigen als Supernovae?
Ein internationales Forschungsteam hat zum ersten Mal gezeigt, dass hochenergetische kosmische Strahlung in der Umgebung massereicher Sterne erzeugt wird. Neue Hinweise gefunden, wie kosmische Strahlung entsteht.
24.03.2021
Neue Resultate stellen physikalische Gesetze in Frage
Forschende der UZH und des CERN haben neue verblüffende Ergebnisse veröffentlicht.
21.03.2021
Elektronen eingegipst
Eine scheinbar einfache Wechselwirkung zwischen Elektronen kann in einem extremen Vielteilchenproblem zu verblüffenden Korrelationen führen.
21.03.2021
Chromatischer Lichtteilcheneffekt für die Entwicklung photonischer Quantennetzwerke enthüllt
Es ist ein weiterer Schritt auf dem Weg zur Entwicklung von Anwendungen der Quanteninformationsverarbeitung. In einem Schlüsselexperiment ist es gelungen, die bislang definierten Grenzen für Photonenanwendungen zu überschreiten.
18.03.2021
Stratosphärische Winde auf Jupiter erstmals gemessen
Mit dem Atacama Large Millimeter/submillimeter Array (ALMA) hat ein Team von Astronomen zum ersten Mal die Winde in der mittleren Atmosphäre des Jupiters direkt gemessen.
18.03.2021
Was Gravitationswellen über Dunkle Materie verraten
Die NANOGrav-Kollaboration hat kürzlich erste Hinweise auf sehr niederfrequente Gravitationswellen beobachtet.
18.03.2021
Filamente des kosmischen Netzwerks entdeckt
Einem internationalen Team von Astronominnen und Astronomen gelang zum ersten Mal die direkte Kartierung kosmischer Filamente im jungen Universum, weniger als zwei Milliarden Jahre nach dem Urknall. Die Beobachtungen zeigen sehr leuchtschwache Galaxien, und geben Hinweise auf deren Vorfahren.
18.03.2021
Blaupausen für das Fusionskraftwerk
Am 21 März 1991 erzeugte die Experimentieranlage ASDEX Upgrade im Max-Planck-Institut für Plasmaphysik (IPP) in Garching das erste Plasma.
12.03.2021
Was die reflektierte Strahlung von Exoplaneten verraten könnte
Als 1995 der erste Planet außerhalb unseres Sonnensystems gefunden wurde, war das eine Sensation, die später mit dem Physik-Nobelpreis gewürdigt wurde.
12.03.2021
Theoretische Lösung für Reisen mit Überlichtgeschwindigkeit
Wenn Reisen zu fernen Sternen innerhalb der Lebenszeit eines Menschen möglich sein sollen, muss ein Antrieb gefunden werden, der schneller als Lichtgeschwindigkeit ist.
12.03.2021
Quantenkontrolle mit Fernbedienung
Quantentechnologien basieren auf der präzisen Kontrolle des Zustands und der Wechselwirkung einzelner Quantenteilchen.
12.03.2021
Wie Gesteine die Bewohnbarkeit von Exoplaneten beeinflussen
Die Verwitterung von Silikatgesteinen trägt massgeblich dazu bei, dass auf der Erde ein gemässigtes Klima herrscht.
12.03.2021
Roboter lernen schneller mit Quantentechnologie
Künstliche Intelligenz ist Teil unseres modernen Lebens und eine entscheidende Frage für praktische Anwendungen ist, wie schnell solche intelligenten Maschinen lernen können.
11.03.2021
Mikroskopisch kleine Wurmlöcher als theoretische Möglichkeit
In vielen Science-Fiction-Filmen spielen Wurmlöcher eine wichtige Rolle – als Abkürzung zwischen zwei weit entfernten Orten des Weltalls.
09.03.2021
Das am weitesten entfernte Radio-Leuchtfeuer im frühen Universum
Quasare sind die hellen Zentren von Galaxien, die von schwarzen Löchern angetrieben werden, und aktiv Materie ansammeln.
06.03.2021
Eine nahe, glühend heiße Super-Erde
In den vergangenen zweieinhalb Jahrzehnten haben Astronomen Tausende von Exoplaneten aus Gas, Eis und Gestein aufgespürt.
06.03.2021
Vulkane könnten den Nachthimmel dieses Planeten erhellen
Bisher haben Forschende keine Anzeichen auf globale tektonische Aktivität auf Planeten ausserhalb unseres Sonnensystems gefunden.
03.03.2021
„Ausgestorbenes Atom“ lüftet Geheimnisse des Sonnensystems
Anhand des „ausgestorbenen Atoms“ Niob-92 konnten Forscherinnen Ereignisse im frühen Sonnensystem genauer datieren als zuvor.