Pauli-Prinzip

Pauli-Prinzip

Das Pauli-Prinzip (auch Pauli-Verbot oder Paulisches Ausschließungsprinzip) ist ein physikalisches Gesetz, das sich in der Quantenphysik auswirkt. Es wurde 1925 von Wolfgang Pauli zur quantentheoretischen Erklärung des Aufbaus der Atome formuliert und besagte, dass je zwei Elektronen in einem Atom nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen können. In der modernen Formulierung besagt das Pauli-Prinzip, dass die Wellenfunktion eines Quantensystems in Bezug auf Vertauschung von identischen Fermionen antisymmetrisch ist. Da auch die Quarks als Bausteine von Protonen und Neutronen zu den Fermionen zählen, gilt das Pauli-Prinzip für die gesamte Materie im allgemein verstandenen Sinne: Fermionen „schließen sich gegenseitig aus“, können also nicht am selben Ort existieren. Nur so lässt sich der differenzierte Aufbau der Materie mit Atomen und Molekülen verstehen.[1] Das Pauli-Prinzip bestimmt demnach nicht nur den Aufbau des Atoms, sondern auch den größerer Strukturen. Eine Folge ist der Widerstand, den kondensierte Materie weiterer Kompression entgegensetzt.[2] Es ist nicht zu verwechseln mit dem Pauli-Effekt.

Vereinfachte Darstellung

Ausgangspunkt des Pauli-Prinzips ist die Tatsache, dass identische Teilchen in der Quantenmechanik ununterscheidbar sind: Der Verlauf eines Experiments oder allgemein die Entwicklung eines physikalischen Systems kann sich nicht ändern, wenn man darin zwei identische Teilchen vertauscht. Quantentheoretisch ergeben sich aber bei Vertauschung identischer Teilchen nur dann die gleichen Messwerte, wenn das Betragsquadrat der (Gesamt-)Wellenfunktion gleich bleibt, sich also allenfalls der Phasenanteil der Wellenfunktion ändert. Die experimentelle Erfahrung hat sogar die weitergehende Tatsache gezeigt, dass bei Vertauschung zweier identischer Teilchen je nach Teilchenart die Wellenfunktion entweder unverändert bleibt oder nur ihr Vorzeichen wechselt. Teilchen, bei denen sich das Vorzeichen ändert, nennt man Fermionen. Für sie ist also die Wellenfunktion antisymmetrisch bzgl. Teilchenvertauschung. Teilchen, bei denen die Wellenfunktion bei Vertauschung der Teilchen unverändert bleibt, nennt man Bosonen. Ihre Wellenfunktion ist symmetrisch bezüglich Teilchenvertauschung.

In seiner speziellen und zuerst beobachteten Form besagt das Pauli-Prinzip, dass in einem Atom keine zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen, die zu seiner Zustandsbeschreibung im Orbitalmodell notwendig sind, übereinstimmen. Wenn zwei Elektronen beispielsweise gleiche Haupt-, Neben- und magnetische Quantenzahlen haben, müssen sie sich in der vierten Quantenzahl, der Spin-Quantenzahl, unterscheiden. Da diese nur die Werte $ -\tfrac 1 2 $ und $ +\tfrac 1 2 $ annehmen kann, können sich in einem einzigen Atomorbital maximal zwei Elektronen aufhalten. Diese Tatsache bestimmt maßgeblich den Aufbau der chemischen Elemente (siehe Periodensystem).

Allgemeine Form (verallgemeinertes Pauli-Prinzip)

Formulierung

Die Gesamtwellenfunktion $ \psi(\vec r_1,s_1;\vec r_2,s_2; \dots) $ eines Systems von $ n $ identischen Fermionen muss total antisymmetrisch bezüglich jeder Vertauschung P zweier Teilchen sein:

$ \psi(\vec r_1,s_1;\ldots,\vec r_n,s_n)=-(P \psi)(\vec r_1, s_1;\ldots,\vec r_n,s_n)\,\,. $

Dabei ist $ \vec r_i $ der Ort, $ s_i $ der Spin des $ i $-ten Fermions und $ P $ jeder Permutationsoperator, der die Vertauschung jeweils zweier Teilchen bewirkt, also z. B. für die Vertauschung des ersten Teilchens mit dem zweiten:

$ (P\psi)(\vec r_1,s_1;\vec r_2,s_2;\dots)\,:=\psi (\vec r_2,s_2;\vec r_1,s_1;\dots)\,\,. $

Anschauliche Deutung

Betrachtet man ein System aus zwei nichtunterscheidbaren Fermionen, so gilt wegen der Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion

$ \psi(\vec r_1,s_1;\vec r_2,s_2)=-\psi(\vec r_2,s_2;\vec r_1,s_1). $

Für $ (\vec r_1,s_1)=(\vec r_2,s_2) $ ergibt sich daraus $ \psi(\vec r_1,s_1;\vec r_1,s_1)=-\psi(\vec r_1,s_1;\vec r_1,s_1) $, d.h. $ \psi(\vec r_1,s_1;\vec r_1,s_1)=0 $. Somit muss auch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion, also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Messung beide Fermionen am selben Ort $ \vec r_1 $ mit demselben Spin $ \!\,s_1 $ findet, null sein.

In vielen Fällen (ein solcher Fall ist z. B. für nichtentartete Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren ohne Spin-Bahn-Kopplung stets gegeben) ist die Gesamtwellenfunktion $ \!\,\psi $ als Produkt von Ortswellenfunktion $ \!\,\phi $ und Spinwellenfunktion $ \!\,\chi $ darstellbar, also

$ \psi(\vec r_1,s_1;\vec r_2,s_2)=\phi(\vec r_1,\vec r_2)\chi(s_1,s_2). $

Wegen der Antisymmetrie ist dann $ \phi(\vec r_2,\vec r_1)\chi(s_2,s_1)=-\phi(\vec r_1,\vec r_2)\chi(s_1,s_2) $. Ist etwa die Spinwellenfunktion symmetrisch, also $ \chi(s_1,s_2)\!\,=\chi(s_2,s_1) $, so folgt daraus die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion $ \!\,\phi $. Entsprechend gilt allgemein, dass die Symmetrie einer der Funktionen $ \!\,\phi $ oder $ \!\,\chi $ äquivalent zur Antisymmetrie der jeweils anderen ist. Sind also die zwei Fermionen etwa im selben Spinzustand $ \!\,s $, dann ist $ \chi(s_1,s_2)=\delta_{ss_1}\delta_{ss_2} $ symmetrisch und daher folgt die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion.

Diese Zusammenhänge gelten sinngemäß auch dann, wenn mehr als zwei nichtunterscheidbare Fermionen beteiligt sind.

Gültigkeit

In der Natur kommen Fermionen nur mit halbzahligem Spin und Bosonen nur mit ganzzahligem Spin vor, wie es das Spin-Statistik-Theorem beschreibt. Das Paulische Ausschließungsprinzip gilt also für alle Teilchen mit halbzahligem Spin und nur für diese.

Für Bosonen gilt das Paulische Ausschließungsprinzip hingegen nicht. Diese Teilchen genügen der Bose-Einstein-Statistik und können gleiche Quantenzustände einnehmen, im Extremfall bis hin zum Bose-Einstein-Kondensat.

Permutations- und Drehverhalten

Das verschiedene Permutationsverhalten von Fermionen und Bosonen passt zum verschiedenen Drehverhalten der jeweiligen Spinoren. In beiden Fällen ergibt sich ein Faktor von $ (-1)^{2s}=\mp 1 $, mit dem (+)-Zeichen für Bosonen (s ganzzahlig) und dem (−)-Zeichen für Fermionen (s halbzahlig), entsprechend einer Drehung um 360°. Der Zusammenhang liegt unter anderem deshalb nahe, weil eine Vertauschung der Teilchen 1 und 2 einer komplementären Drehung der beiden Teilchen um 180° entspricht (zum Beispiel Teilchen 1 zum Ort 2 auf dem oberen Halbkreis, Teilchen 2 zum Ort 1 auf dem unteren Halbkreis).

Konsequenzen

Das Pauli-Prinzip führt zur Austauschwechselwirkung und erklärt die Spinordnung in Atomen (Hundsche Regeln) und Festkörpern (Magnetismus).

In der Astrophysik wird durch das Pauli-Prinzip erklärt, dass alte Sterne mit Ausnahme der Schwarzen Löcher – zum Beispiel Weiße Zwerge oder Neutronensterne – nicht unter ihrer eigenen Gravitation zusammenbrechen. Die Fermionen erzeugen einen Gegendruck, den Entartungsdruck, der einer weiteren Kontraktion entgegenwirkt. Dieser Gegendruck kann so stark sein, dass es zu einer Supernova kommt.

Bei Streuprozessen zweier identischer Teilchen ergeben sich für das Trajektorienpaar durch Vertauschung stets zwei verschiedene, aber von außen nicht unterscheidbare Möglichkeiten. Dies muss bei der theoretischen Berechnung von Wirkungsquerschnitt und Streuwellenfunktion berücksichtigt werden.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Eintrag zu Pauli-Prinzip. In: Römpp Online. Georg Thieme Verlag, abgerufen am 28. Dezember 2014.
  2. Pauli-Prinzip im Lexikon der Physik, Spektrum.de, abgerufen am 28. Dezember 2014.

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