Zahlenwertgleichung

Zahlenwertgleichung

Die Zahlenwertgleichung ist eine Gleichung zwischen beobachtbaren (physikalischen, finanztechnischen usw.) Größen, in der nur die Maßzahlen der betreffenden Größen auftreten und nicht auch deren Maßeinheiten. Eine Zahlenwertgleichung ist als solche zu kennzeichnen und die jeweils geltenden Maßeinheiten sind (separat) anzugeben.

Die Nutzung von Zahlenwertgleichungen ist systematisch unbefriedigend, weshalb sie seit den 1930er Jahren als veraltet gelten und nicht mehr verwendet werden sollen.[1] Generell sind Größengleichungen, die eine Beziehung zwischen Größen ausdrücken, zu bevorzugen, da sie unabhängig von der Wahl bestimmter Einheiten gelten.

Im technischen und handwerklichen Bereich sind Zahlenwertgleichungen jedoch aus rein praktischen Gründen weit verbreitet, wobei von einheitlicher Wahl der Maßeinheiten ausgegangen wird. Fehlerträchtige Umrechnungen der in der technischen Praxis üblichen Einheiten auf physikalisch korrekte Basiseinheiten entfallen dann.

Begriff

Die Bezeichnungen „Zahlenwertgleichung“, „Größengleichung“ und „zugeschnittene Größengleichung“ gehen auf Julius Wallot zurück und werden in der Norm DIN 1313 „Größen“ (Erstausgabe 1931: „Schreibweise physikalischer Gleichungen“) behandelt.

Unzulänglichkeiten

Zahlenwertgleichungen sind allein nicht aussagekräftig, da stets die Zusatzinformation erforderlich ist, in welchen Einheiten bzw. Einheitengrößenordnungen die einzusetzenden Zahlenwerte vorliegen müssen. So können verschiedene Zahlenwertgleichungen einer Größengleichung existieren, die sich durch Zahlenfaktoren voneinander unterscheiden. Fehlt diese Information über die verwendeten Einheiten, ist eine Zahlenwertgleichung nutzlos und führt ggf. zu völlig falschen Ergebnissen.

Durch die Verwendung von Größengleichungen wird hingegen sichergestellt, dass es sich bei den enthaltenen Größen um SI-Einheiten bzw. kohärente SI-Einheiten handelt bzw. zumindest innerhalb der Formel selbst eindeutig beschrieben ist, welche Größen zu verwenden sind.

Somit werden durch den konsequenten Verzicht auf Zahlenwertgleichungen Missverständnisse und Fehlanwendungen vermieden.

Beispiele

Ohmsches Gesetz

Beispielsweise lautet die aus dem ohmschen Gesetz folgende Gleichung in Zahlenwertschreibweise:[2]

$ \{U\}= 10^{-3} \{R\}\cdot \{I\} \qquad \text{mit} \qquad \{U\}\text{ in Kilovolt, }\{R\}\text{ in Ohm, }\{I\}\text{ in Ampere} $

Wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind, kann aus Gründen der Übersichtlichkeit für die Zahlenwerte {G} einer Größe G einfach G geschrieben werden. Daraus folgt folgende alternative Zahlenwertschreibweise für das ohmsche Gesetz:

$ U= 10^{-3} R\cdot I \qquad \text{mit} \qquad U\text{ in Kilovolt, }R\text{ in Ohm, }I\text{ in Ampere} $

Früher existierte noch eine andere Schreibweise, bei der die Einheiten in eckigen Klammern gesetzt wurden.

$ U \lbrack \mathrm{kV} \rbrack = 10^{-3} \cdot R \lbrack \Omega \rbrack \cdot I \lbrack \mathrm{A} \rbrack $.

Diese Schreibweise führt heute vielfach zu Missverständnissen, da heute die eckigen Klammern um das Formelzeichen geschrieben werden mit der Bedeutung „Einheit von…“. Laut DIN 1313 dürfen »eckige Klammern […] nicht um Einheitenzeichen gesetzt werden«.[3] In der veralteten Form der Zahlenwertgleichung wird jedoch die Einheit geklammert.

Mechanische Leistungsformel

In der technischen Mechanik sind die gebräuchlichen Größen

  • Leistung $ P $ in Kilowatt; $ [P]=\mathrm{kW} $
  • Drehzahl $ n $ in Umdrehungen je Minute; $ [n]=\mathrm{min}^{-1} $
  • Drehmoment $ M $ in Newtonmeter; $ [M]=\mathrm{Nm} $

über die Gleichung

$ M=\frac P{2\pi\ n} $

verknüpft. Sind zwei Werte bekannt, kann der dritte Wert hinreichend genau mit der Zahlenwertgleichung

$ \{M\} = \frac{9550 \cdot \{P\}}{\{n\}} \qquad \text{mit} \qquad \{M\}\text{ in Nm, }\{P\}\text{ in kW, }\{n\}\mathrm{\ in\ min^{-1}} $

berechnet werden. Die neue internationale Normung[4] fasst das zusammen zur Schreibweise

$ \{M\}_\mathrm{Nm} = \frac{9550 \cdot \{P\}_\mathrm{kW}}{\{n\}_\mathrm{min^{-1}}} $

dabei ist

$ \{M\}_\mathrm{Nm} =\frac M\mathrm{Nm} $ usw.
  • Für die Leistung $ P $ ergibt sich umgestellt
$ \{P\} = \frac {\{M\} \cdot \{n\}} {9550} \qquad \text{mit} \qquad \{M\}\text{ in Nm, }\{P\}\text{ in kW, }\{n\}\mathrm{\ in\ min^{-1}} $
  • Die Drehzahl $ n $ ermittelt sich aus
$ \{n\} = \frac {9550 \cdot \{P\}} {\{M\}} \qquad \text{mit} \qquad \{M\}\text{ in Nm, }\{P\}\text{ in kW, }\{n\}\mathrm{\ in\ min^{-1}} $
Herleitung

Der gerundete Zahlenwert 9550 ist lediglich eine leicht zu merkende Konstante für die Berechnung. Die Umrechnungen der in der technischen Praxis üblichen Einheiten auf die SI-Einheiten entfallen.

Die Konstante beinhaltet zusätzlich zu dem Faktor $ \tfrac1{2\pi} $ die Umrechnung von Minute in Sekunde, Kilowatt in Watt und die Identität $ \mathrm{1\;Ws=1\;Nm} $. Damit ergibt sich:

$ \frac 1{2\pi} =\frac{60\,\mathrm{\frac s{min}}\cdot 1000\,\mathrm{\frac W{kW}}}{2\,\cdot \pi} =\frac{30\,000}\pi\ \mathrm{min}^{-1}\,\mathrm{\frac {Nm}{kW}} $

Die vereinbarten Einheiten werden dann in Zahlenwertgleichungen weggelassen.

Die Abweichung des Näherungswertes $ 9550 $ vom exakten Wert $ \tfrac{30\,000}\pi $ beträgt nur 0,007 %.

Größengleichungen

Die Größengleichung der oben genannten Zahlenwertgleichung sieht wie folgt aus:

$ U = R \cdot I $

Möchte man diese Gleichung nur mit Zahlenwerten aufbauen, kann die zugeschnittene Größengleichung verwendet werden, in der die physikalischen Größen durch ihre Einheiten geteilt werden:

$ \frac{U}{\left[ U \right]} = \frac{R}{\left[ R \right]} \cdot \frac{I}{\left[ I \right]} $

Dies folgt aus der Schreibweise einer physikalischen Größe:

$ U = \left\{U\right\} \cdot [U] $

(sprich: Die Spannung U ist der Zahlenwert von U mal die Einheit von U)

Zu beachten: es steht das Formelzeichen in der eckigen Klammer, nicht die Einheit selbst, da das Formelzeichen in eckigen Klammern die Einheit selbst darstellt, also [U] = V!

Obige Gleichung nach dem Zahlenwert aufgelöst ergibt:

$ \left\{U\right\} = \frac{U}{\left[ U \right]} $

Daraus folgt direkt die Zahlenwertgleichung in heutiger Form:

$ \left\{ U \right\} = \left\{ R \right\} \cdot \left\{ I \right\} $

also eine Gleichung, die nur aus Zahlen besteht!

Diese Gleichung führt aber nur dann zu einem richtigen Ergebnis, wenn zuvor, wie bereits oben angedeutet, mit den zugehörigen Einheiten gerechnet wurde.

Die oben zuerst angeführte Gleichung sieht demnach als zugeschnittene Größengleichung folgendermaßen aus:

$ \frac{U}{\mathrm{kV}} = 10^{-3} \cdot \frac{R}{\Omega} \cdot \frac{I}{\mathrm{A}} $.

Es wird jeweils ein Quotient aus der Größe und der gewünschten Einheit geschrieben. Diese Darstellung kann daher so gelesen werden, wie Benutzer der Zahlenwertgleichungen es gewöhnt sind. Sie ist aber nach den heute üblichen Konventionen gültig und verständlich.

Einzelnachweise

  1. Klaus H. Blankenburg (ITG-Fachausschuss 9.1): Der korrekte Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen. Dezember 1999.
  2. DIN 1313 Dezember 1998 - Größen. S. 13.
  3. DIN 1313 Dezember 1998 - Größen. S. 5.
  4. Deutsche Fassung als DIN EN ISO 80000-1:2013 Größen und Einheiten – Teil 1: Allgemeines, Kap. 6.3

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