Reluktanzkraft

Reluktanzkraft

Prinzip

Die Reluktanzkraft oder auch Maxwellsche Kraft entsteht aufgrund der Änderung des magnetischen Widerstands, der auch als Reluktanz bezeichnet wird. Sie wirkt immer so, dass sich der magnetische Widerstand verringert und die Induktivität steigt und ist der Magnetostatik zuzurechnen. Diese Eigenschaft wird bei einigen Typen von elektrischen Maschinen benutzt, zum Beispiel bei geschalteten Reluktanzmaschinen, Transversalflussmaschinen, dem Synchron-Reluktanzmotor oder elektromagnetischen Lagern.

Eine verwandte Kraft ist die Lorentzkraft, welche die Kraftwirkung auf eine bewegte elektrische Ladung in einem äußeren elektromagnetischen Feld beschreibt.

Beweglicher Kern

Die Kraft kann aus der Energieänderung, die sich aus einer infinitesimalen Verschiebung ergibt, hergeleitet werden:

$ F_R = \frac{dW}{dx} $,
$ W = \frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot L \Rightarrow F_R = \frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot \frac{d L(x)}{dx} $.

Die Induktivität eines magnetischen Kreises mit Luftspalt ist gegeben durch

$ L= \frac{N^2}{R_{m,\text{Kern}}+R_{m,\text{Luft}}}\approx \frac{N^2}{R_{m,\text{Luft}}} = N^2 \cdot \frac {\mu_0\cdot A}{l_\text{Luft}} $

mit $ N $ die Anzahl der Windungen, wobei für die Näherung der magnetische Widerstand $ R_{m} $ des Kerns gegenüber dem Luftspalt vernachlässigt wird. Dabei ist $ l_\text{Luft} $ die Summe der Breite beider Spalten.

Die (idealisierte) Fläche, die für den magnetischen Kreis zur Verfügung steht, ergibt sich zu

$ A = (x_0 - |x|) \cdot y_0\ = x_0 \cdot y_0 - |x| \cdot y_0\ ;\ \frac{dA}{d|x|} = \left\{ \begin{matrix}- y_0,\quad \text{wenn } |x|>0\\ 0,\quad \text{wenn } x=0 \end{matrix} \right. $

Dabei ist die Richtung der Auslenkung x unerheblich, daher die Betragsstriche. Die Größe $ y_0 $ bezeichnet die Tiefe.

Einsetzen liefert

$ \frac{dL}{d|x|}= N^2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{1}{l_\text{Luft}} \frac{dA}{d|x|}=- N^2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{ y_0}{l_\text{Luft}} $

so dass auf den beweglichen Teil des ausgelenkten Kerns eine Kraft

$ F_R = - \frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot N^2 \cdot \mu_0 \cdot \frac{y_0}{ l_\text{Luft}} $

wirkt, die ihn zur Mitte hin zieht. Diese ist unabhängig von der Größe der Auslenkung, außer natürlich, wenn die obige Ableitung $ \frac{dA}{d|x|} = - y_0 $ ihre Gültigkeit verliert. Dies ist der Fall, wenn $ |x| $ zu groß wird.

Luftspalt

Zugkraft im Luftspalt

Analog zu oben gilt

$ F_R = \frac{dW}{dl_\text{Luft}}=\frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot \frac{dL(l_\text{Luft})}{dl_\text{Luft}} $.

Für die Induktivität gilt auch hier näherungsweise

$ L\approx \frac{N^2}{R_{m,\text{Luft}}} = N^2\cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac {1}{l_\text{Luft}} $.

Mit der Potenzregel erhält man

$ \frac{dL}{dl_\text{Luft}} = N^2 \cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac{-1}{{l_\text{Luft}}^2} $.

Einsetzen in die Formel für $ F_R $ liefert das Ergebnis:

$ F_R = -\frac{1}{2} \cdot I^2 \cdot N^2 \cdot A \cdot \mu_0 \cdot \frac{1}{{l_\text{Luft}}^2} $.

Da bei einer Verkleinerung des Luftspalts die Induktivität steigt, wirkt die Reluktanzkraft in diese Richtung. Die Kraft nimmt mit der Breite des Luftspalts ab. Das Maximum der Reluktanzkraft ist erreicht, wenn der Luftspalt gegen null geht. Allerdings gilt bei sehr kleinem Luftspalt die Näherungsformel für die Induktivität nicht mehr, da dann der magnetische Widerstand des Kerns nicht mehr vernachlässigt werden kann.

Literatur

  • Hans-Dieter Stölting, Eberhard Kallenbach (Hrsg.): Handbuch Elektrische Kleinantriebe. 3. Auflage. Hanser, ISBN 3-446-40019-2, S. 460.

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