Gromov-Witten-Invariante

Gromov-Witten-Invariante

Gromov-Witten-Invarianten sind eine spezielle Form topologischer Invarianten, welche eine Verbindung zwischen Topologie und Algebra herstellen.

Genauer bezeichnen sie in der symplektischen Topologie und algebraischen Geometrie rationale Zahlen, die pseudoholomorphe Kurven (mit gewissen Zusatzbedingungen) auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit zählen und zur Unterscheidung symplektischer Mannigfaltigkeiten dienen. Sie können als Homologie oder Kohomologieklasse eines zugehörigen Raumes oder als deformiertes Cup-Produkt einer Quantenkohomologie aufgefasst werden. Die Gromov-Witten-Invarianten sind nach Michail Gromow und Edward Witten benannt. Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der topologischen Stringtheorie.

Die genaue mathematische Konstruktion wird in einem eigenen Artikel „Stabile Abbildung“ behandelt.

Definition

Sei $ X $ eine geschlossene symplektische Mannigfaltigkeit der Dimension $ 2k $, $ A $ eine 2-dimensionale Homologieklasse in $ X $ und $ g $, $ n $ beliebige natürliche Zahlen einschließlich Null. Weiter sei

$ \bar M_{g, n} $

der Deligne-Mumford-Modulraum von Kurven des Geschlechts $ g $ mit $ n $ markierten (ausgezeichneten) Punkten, und

$ M := \bar M_{g, n}(X, A) $

der Modulraum stabiler Abbildungen nach $ X $ der Klasse $ A $, der die reelle Dimension

$ d := 2 c_1^X (A) + (2k - 6) (1 - g) + 2 n. $

hat. Schließlich sei

$ Y := \bar M_{g, n} \times X^n, $

mit der reellen Dimension $ 6g - 6 + 2 k n $. Die Ausführungsabbildung bildet die Fundamentalklasse von $ M $ auf eine $ d $-dimensionale rationale Homologieklasse in $ Y $ ab:

$ GW_{g, n}^{X, A} \in H_d(Y, \mathbb{Q}). $

Diese Homologieklasse ist in gewisser Weise die Gromov-Witten-Invariante von $ X $ zu den Werten $ g $, $ n $ und $ A $. Sie ist eine Invariante der symplektischen Isotopie der symplektischen Mannigfaltigkeit $ X $.

Um die Gromov-Witten-Invariante geometrisch zu interpretieren, sei $ \gamma $ eine Homologieklasse in $ \bar M_{g, n} $ und $ \alpha_1, \ldots, \alpha_n $ Homologieklassen in $ X $, so dass die Summe der Kodimensionen von $ \gamma, \alpha_1, \ldots, \alpha_n $ gleich $ d $ ist. Das schließt Homologieklassen in $ Y $ über die Künnethformel mit ein. Sei

$ GW_{g, n}^{X, A}(\gamma, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) := GW_{g, n}^{X, A} \cdot \gamma \cdot \alpha_1 \cdot \cdots \cdot \alpha_n \in H_0(Y, \mathbb{Q}), $

wobei $ \cdot $ das Schnittprodukt (intersection product) in der rationalen Homologie von $ Y $ bezeichnet. Dieses ist eine rationale Zahl, die Gromov-Witten-Invariante für diese Klassen. Sie zählt die pseudoholomorphen Kurven (in der Klasse $ A $ mit Geschlecht $ g $, mit Definitionsgebiet im „$ \gamma $-Teil“ des Deligne-Mumford-Raumes) „virtuell“ ab, wobei die $ n $ ausgezeichneten Punkte auf die durch die $ \alpha_i $ repräsentierten Zyklen abgebildet werden.

Vereinfacht ausgedrückt zählt die Gromov-Witten-Invariante, wie viele Kurven $ n $ ausgewählte Untermannigfaltigkeiten von $ X $ schneiden. Wegen der mit der Bezeichnung „virtuell“ angedeuteten Natur dieser Abzählung müssen diese aber keine natürlichen Zahlen sein, da der Raum der stabilen Abbildungen eine Orbifaltigkeit ist, an dessen Isotropiepunkten nichtganze Zahlen zur Invarianten beitragen können.

Es gibt viele Abwandlungen dieser Konstruktion, in denen z. B. statt Homologie Kohomologie verwendet wird oder statt Schnitten eine Integration. Manchmal werden die „pull-back“ (vom Deligne-Mumford-Raum) Chern-Klassen auch integriert.

Berechnungsverfahren

Gromov-Witten-Invarianten sind im Allgemeinen schwierig zu berechnen. Während sie zwar für jede generische fast-komplexe Struktur $ J $ definiert sind, für die die Linearisierung $ D $ des Operators $ \bar \partial_{j, J} $surjektiv ist, muss in der Praxis ein bestimmtes $ J $ gewählt werden. Meist wird ein $ J $ mit speziellen Eigenschaften gewählt, etwa speziellen Symmetrien oder Integrabilität. Tatsächlich werden die Rechnungen oft auf Kählermannigfaltigkeiten mit Techniken der algebraischen Geometrie ausgeführt.

Allerdings kann ein spezielles $ J $ zu einem nicht-surjektiven $ D $ führen und damit zu einem Modulraum pseudoholomorpher Kurven, der größer als erwartet ist. Grob gesagt korrigiert man diesen Effekt, indem man aus dem Kokern von $ D $ ein Vektorbündel formt, Obstruktionsbündel (engl. obstruction bundle) genannt, und die Gromov-Witten-Invariante dann als Integral auf der Eulerklasse dieses Bündels definiert. Technisch wird dabei die Theorie der polyfolds genutzt.

Die hauptsächliche Berechnungsmethode ist die Lokalisierung. Sie ist anwendbar, falls $ X $ eine Torus-Mannigfaltigkeit ist, das heißt, wenn auf ihr die Wirkung eines komplexen Torus vorhanden ist oder sie wenigstens lokal ein Torus ist. Dann kann man den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz (von Michael Atiyah und Raoul Bott) um die Berechnung der Invarianten auf eine Integration über den Ort der Fixpunkte der Wirkung reduzieren („lokalisieren“).

Ein anderer Zugang nutzt symplektische „Chirurgie“ (surgery) um $ X $ in Mannigfaltigkeiten zu zerlegen, auf denen die Berechnung der Gromov-Witten-Invarianten einfacher ist. Natürlich muss man dazu erst einmal das Verhalten der Mannigfaltigkeiten unter Chirurgie verstehen. Für diese Anwendungen nutzt man häufig die aufwendiger definierten „relativen Gromov-Witten-Invarianten“, die Kurven mit vorgeschriebenen Tangentialeigenschaften entlang symplektischer Untermannigfaltigkeiten von $ X $ mit reeller Kodimension 2 zählen.

Verwandte Invarianten und Konstruktionen

Die Gromov-Witten-Invarianten sind eng mit anderen geometrischen Konzepten wie den Donaldson-Invarianten und den Seiberg-Witten-Invarianten verbunden. Für kompakte symplektische 4-Mannigfaltigkeiten hat Clifford Taubes gezeigt, dass eine Variante der Gromov-Witten-Invarianten (Taubes’ Gromov-Invariante) äquivalent zu den Seiberg-Witten Invarianten ist. Es wird vermutet, dass sie dieselbe Information wie die Donaldson-Thomas-Invariante und die Gopakumar-Vafa-Invarianten, die beide ganzzahlig sind, beinhalten.

Gromov-Witten-Invarianten können auch in der Sprache der algebraischen Geometrie formuliert werden. In einigen Fällen stimmen sie mit den klassischen abzählenden Invarianten überein, zeichnen sich aber im Allgemeinen zusätzlich durch ein Kompositionsgesetz für das „Zusammenkleben“ von Kurven aus. Die Invarianten können im Quantenkohomologiering der Mannigfaltigkeit $ X $ zusammengefasst werden, einer Deformation der gewöhnlichen Kohomologie. Das Kompositionsgesetz der Invarianten macht dann das deformierte Cup-Produkt assoziativ.

Der Quantenkohomologiering ist isomorph zur symplektischen Floer-Homologie mit ihrem „pair of pants“-Produkt.

Anwendungen in der Physik

Gromov-Witten-Invarianten sind von Interesse in der Stringtheorie, in der die Elementarteilchen als Anregungen 1+1-dimensionaler Strings dargestellt werden. „1+1“ bezieht sich dabei auf die Raum-Zeit-Dimension des String-„World Sheets“, das sich in einem 10-dimensionalen Raum-Zeit-Hintergrund ausbreitet. Da der Modulraum solcher Flächen (die Zahl seiner Freiheitsgrade) unendlichdimensional ist und kein mathematisches Maß für ihn bekannt ist, fehlt der Pfadintegralbeschreibung dieser Theorie eine mathematisch strenge Grundlage.

Im Falle mathematischer Modelle, die topologische Stringtheorien genannt werden und die 6 Raum-Zeit-Dimensionen haben, die eine symplektische Mannigfaltigkeit bilden, ist die Situation besser. Die Weltflächen werden durch pseudoholomorphe Kurven parametrisiert, deren Modulräume endlichdimensional sind. Gromov-Witten-Invarianten sind hier Integrale über diese Modulräume, und entsprechen den Wegintegralen in diesen Theorien. Insbesondere ist die Zustandssumme der topologischen Stringtheorie zu Geschlecht $ g $ gleich der erzeugenden Funktion der Gromov-Witten-Invariante zu Geschlecht $ g $.

Literatur

  • Dusa McDuff, Dietmar Salamon: J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology (= American Mathematical Society. Colloquium Publications 52). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3485-1.
  • Sergei Piunikhin, Dietmar Salamon, Matthias Schwarz: Symplectic Floer-Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Hrsg.): Contact and Symplectic Geometry (= Publications of the Newton Institute 8). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1996, ISBN 0-521-57086-7, S. 171–200.

Diese Artikel könnten dir auch gefallen



Die letzten News


13.06.2021
Die Taktgeber der Sonne
Nicht nur der prägnante 11-Jahres-Zyklus, auch alle weiteren periodischen Aktivitätsschwankungen der Sonne können durch Anziehungskräfte der Planeten getaktet sein.
13.06.2021
Wenn Schwarze Löcher den Weg für die Sternentstehung in Satellitengalaxien freimachen
Eine Kombination von systematischen Beobachtungen mit kosmologischen Simulationen hat gezeigt, dass Schwarze Löcher überraschenderweise bestimmten Galaxien helfen können, neue Sterne zu bilden.
13.06.2021
Flüssiges Wasser auf Monden sternenloser Planeten
Monde sternenloser Planeten können eine Atmosphäre haben und flüssiges Wasser speichern. Münchner Astrophysiker haben berechnet, dass die Wassermenge ausreicht, um Leben auf diesen wandernden Mond-Planeten-Systemen zu ermöglichen und zu erhalten.
13.06.2021
Solar Orbiter: Neues vom ungewöhnlichen Magnetfeld der Venus
Solar Orbiter ist eine gemeinsame Mission der Europäischen Weltraumorganisation (ESA) und der NASA, die bahnbrechende neue Erkenntnisse über die Sonne liefern wird.
13.06.2021
Quantenbits aus Löchern
Wissenschafter haben ein neues und vielversprechendes Qubit gefunden – an einem Ort, an dem es nichts gibt.
07.06.2021
Gammablitz aus der kosmischen Nachbarschaft
Die hellsten Explosionen des Universums sind möglicherweise stärkere Teilchenbeschleuniger als gedacht: Das zeigt eine außergewöhnlich detaillierte Beobachtung eines solchen kosmischen Gammastrahlungsblitzes.
31.05.2021
Verblüffendes Quantenexperiment wirft Fragen auf
Quantensysteme gelten als äußerst fragil: Schon kleinste Wechselwirkungen mit der Umgebung können zur Folge haben, dass die empfindlichen Quanteneffekte verloren gehen.
31.05.2021
Symmetrie befördert Auslöschung
Physiker aus Innsbruck zeigen in einem aktuellen Experiment, dass auch die Interferenz von nur teilweise ununterscheidbaren Quantenteilchen zu einer Auslöschung führen kann.
31.05.2021
Wie Wasser auf Eisplaneten den felsigen Untergrund auslaugt
Laborexperimente erlauben Einblicke in die Prozesse unter den extremen Druck- und Temperatur-Bedingungen ferner Welten. Fragestellung: Was passiert unter der Oberfläche von Eisplaneten?
31.05.2021
Neues Quantenmaterial entdeckt
Auf eine überraschende Form von „Quantenkritikalität“ stieß ein Forschungsteam der TU Wien gemeinsam mit US-Forschungsinstituten. Das könnte zu einem Design-Konzept für neue Materialien führen.
27.05.2021
Wenden bei Höchstgeschwindigkeit
Physiker:innen beobachten neuartige Lichtemission. und zwar wenn Elektronen in topologischen Isolatoren ihre Bewegungsrichtung abrupt umdrehen.
27.05.2021
Mit Klang die Geschichte der frühen Milchstraße erkunden
Einem Team von Astronominnen und Astronomen ist es gelungen, einige der ältesten Sterne in unserer Galaxie mit noch nie dagewesener Präzision zu datieren.
11.05.2021
Teleskop zur Erforschung von Objekten höchster Dichte im Universum
Eine internationale Gruppe von Astronomen hat erste Ergebnisse eines groß angelegten Programms vorgestellt, bei dem Beobachtungen mit dem südafrikanischen MeerKAT-Radioteleskop dazu verwendet werden, die Theorien von Einstein mit noch nie dagewesener Genauigkeit zu testen.
11.05.2021
Quantencomputing einfach erklärt
„Quantencomputing kompakt“ lautet der Titel eines aktuellen Buchs, das Bettina Just veröffentlicht hat. Die Mathematikerin und Informatikerin, die an der Technischen Hochschule Mittelhessen (THM) lehrt und forscht, behandelt darin ein Teilgebiet der Informationstechnik mit großem Entwicklungspotenzial.
11.05.2021
Auf dem Weg zum kleinstmöglichen Laser
Bei extrem niedrigen Temperaturen verhält sich Materie oft anders als gewohnt.
07.05.2021
Die Entdeckung von acht neuen Millisekunden-Pulsaren
Eine Gruppe von Astronomen hat mit dem südafrikanischen MeerKAT-Radioteleskop acht Millisekunden-Pulsare entdeckt, die sich in Kugelsternhaufen mit hoher Sterndichte befinden.
04.05.2021
Handfeste Hinweise auf neue Physik
Das Fermilab (USA) hat heute erste Daten aus dem Myon g-2 Experiment veröffentlicht, welche die Messwerte des gleichnamigen, 2001 durchgeführten Experiments am Brookhaven National Laboratory bestätigen.
04.05.2021
Neuer Exoplanet um jungen sonnenähnlichen Stern entdeckt
Astronomen aus den Niederlanden, Belgien, Chile, den USA und Deutschland bilden neu entdeckten Exoplaneten „YSES 2b“ direkt neben seinem Mutterstern ab.
07.04.2021
Myon g-2: Kleines Teilchen mit großer Wirkung
Das Myon g-2-Experiment des Fermilab in den USA steht vor einem Sensationsmoment, der die Geschichte der Teilchenphysik neu schreiben könnte. Und vielleicht sogar Hinweise auf noch unbekannte Teilchen im Universum gibt.
02.04.2021
Zwei merkwürdige Planeten
Uranus und Neptun habe beide ein völlig schiefes Magnetfeld.
02.04.2021
Der erste interstellare Komet könnte der ursprünglichste sein, der je gefunden wurde
Neue Beobachtungen mit dem Very Large Telescope (VLT) der Europäischen Südsternwarte (ESO) deuten darauf hin, dass der abtrünnige Komet 2I/Borisov einer der ursprünglichsten ist, die je beobachtet wurden.
02.04.2021
Erstmals Atominterferometer im Weltraum demonstriert
Atominterferometer erlauben hochpräzise Messungen, indem sie den Wellencharakter von Atomen nutzen. Sie werden zum Beispiel für die Vermessung des Schwerefelds der Erde eingesetzt oder um Gravitationswellen aufzuspüren. Weitere Raketenmissionen sollen folgen.
02.04.2021
Sendungsverfolgung für eine Quantenpost
Quantenkommunikation ist abhörsicher, aber bislang nicht besonders effizient.
25.03.2021
Astronomen bilden Magnetfelder am Rand des Schwarzen Lochs von M 87 ab
Ein neuer Blick auf das massereiche Objekt im Zentrum der Galaxie M 87 zeigt das Erscheinungsbild in polarisierter Radiostrahlung.
24.03.2021
Die frühesten Strukturen des Universums
Das extrem junge Universum kann nicht direkt beobachtet werden, lässt sich aber mithilfe mathematischer Theorien rekonstruieren.