Einsteinsche Mannigfaltigkeit

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Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $ (M,g) $ heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante $ \lambda $ existiert, so dass

$ \operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y) $

gilt. Dabei ist $ \operatorname{Ric}_p $ der (0,2)-Ricci-Tensor und $ X,Y \in T_pM $ für jedes $ p \in M. $ Die pseudo-riemannsche Metrik $ g $ heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften

  • Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen $ n \geq 4 $ von eigenständigem Interesse, da sie für $ n = 2 $ und $ n = 3 $ mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.
  • Sei $ n \geq 3. $ Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes $ p \in M $ eine Konstante $ \lambda_p $ (in Abhängigkeit von $ p\, $) existiert, so dass
$ \operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda_p \,g_p(X,Y) $
gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier $ \lambda $ vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.
  • Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante $ \lambda $ haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante $ \lambda $.
$ \operatorname{Ric}_p(X,Y) - \frac{1}{2}\,g_p(X,Y)\,s_p + g_p(X,Y)\,\Lambda = 0 $
mit der kosmologischen Konstante $ \Lambda $ und der Skalarkrümmung $ s_p $ ist. Durch Spurbildung in der Gleichung $ \operatorname{Ric}_p(X,Y) = \lambda \,g_p(X,Y) $ erhält man
$ s_p = n \lambda, $
dabei bezeichnet $ n\, $ die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur

  • Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).

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