Wannier-Darstellung

Wannier-Darstellung

Dreidimensionales Modell der Wannier-Funktion von BaTiO3

Die nach dem Schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung ist ein Begriff aus der Festkörperphysik. In der Tight-Binding-Näherung ist eine Beschreibung der elektronischen Wellenfunktionen in der gitterperiodischen Bloch-Basis nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die Zustandsfunktion aus atomaren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den Bloch-Funktionen lässt sich jedoch eine Orthonormalbasis lokalisierter Zustände konstruieren:

$ \omega_{i n}(\vec r - \vec R_i) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{-i \vec k \vec R_i} \cdot \psi_{n \vec k} (\vec r) $

Dabei ist

  • $ \psi_{n \vec k} (\vec r ) $ eine Bloch-Funktion
  • $ \omega_{i n} (\vec r - \vec R_i) $ der zugehörige Wannier-Zustand
  • $ e $ die Eulersche Zahl
  • $ i $ die imaginäre Einheit
  • $ \vec k $ der Wellenvektor
  • $ \vec r $ der Ortsvektor
  • $ n $ der Bandindex.

Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann

$ \psi_{n \vec k} (\vec r) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec R_i} e^{i \vec k \vec R_i} \cdot \omega_{i n}(\vec r - \vec R_i) $

Je größer die Gitterkonstante ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine Linearkombination von atomaren Zuständen (LCAO):

$ \omega_{i n}(\vec r -\vec R_i) = \sum_{n\in U} a_n \cdot \varphi_n (\vec r - \vec R_i) $

Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände $ \varphi_n(\vec r - \vec R_i) $ dar.

Literatur

  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4.
  • Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik. 6. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 3-8351-0144-7.
  • Gerd Czycholl: Theoretische Festkörperphysik. 3. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-74789-5.


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