Rollersatzmasse

Die Rollersatzmasse $ m_{RE} $ ist eine Rechengröße, die der realen physikalischen Masse eines rotationssymmetrischen starren Körpers hinzuzufügen ist, um seine Rotationsenergie rechnerisch durch zusätzliche translatorische kinetische Energie zu ersetzen.

Die kinetische Energie eines Körpers, der eine Translation und eine Rotation ausführt (z.B. Entlangrollen eines Rades auf einer Oberfläche), entspricht der kinetischen Energie eines Körpers mit größerer Masse $ m_2 > m_1 $, der nur die Translation ausführt:

$ \begin{alignat}{2} E_\text{kin1} & && = E_\text{kin2}\\ \Leftrightarrow E_\text{trans1} & + E_\text{rot} && = E_\text{trans2}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v^2 & + \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2 && = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2 \end{alignat} $

Mit bekanntem Trägheitsmoment $ J $ und indem man die Winkelgeschwindigkeit $ \omega = \frac{v}{r} $ ersetzt (da die äußere Bahngeschwindigkeit beim Rollen genau der Translationsgeschwindigkeit $ v $ entspricht), erhält man die Rollersatzmasse:

$ E_\text{rot} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot m_{RE} \cdot v^2 $
$ \Rightarrow $$ m_{RE} = \frac{J}{r^2} $

Daraus folgt für die kinetische Energie:

$ \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot m_{RE} \cdot v^2 = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2 $

bzw. für die rechnerische Gesamtmasse:

$ \Rightarrow m_1 + m_{RE} = m_2 $

Beispiel

Am Beispiel einer Kugel $ \left( J = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 \right) $ sieht das wie folgt aus:

$ \begin{align} E_\text{rot} & = \frac{1}{2} \cdot J \cdot \omega^2\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 \right) \cdot \left( \frac{v}{r} \right)^2\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2 \end{align} $

also ist

$ \Rightarrow m_\text{Ersatz} = \frac{2}{5} \cdot m $

Die kinetische Energie der Kugel ist somit:

$ \begin{align} \Rightarrow E_\text{kin} & = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( m + \frac{2}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{7}{5} \cdot m \right) \cdot v^2\\ & = \frac{7}{10} \cdot m \cdot v^2 \end{align} $