Quantisierung (Signalverarbeitung)

Quantisierung (Signalverarbeitung)

Die Quantisierung ist in der digitalen Signalverarbeitung eine Abbildung, die bei der Digitalisierung von Analogsignalen und zur Komprimierung von Bildern und Videos verwendet wird.

Eine elektronische Komponente oder eine Funktion, die einen Wert bzw. ein Signal quantisiert, heißt Quantisierer. Der dabei entstehende Fehler wird Quantisierungsfehler genannt.

Allgemein

In der praktischen Verwendung wird bei der Quantisierung eine physikalische Größe im Rahmen einer Messung gemäß einem Messprinzip zur weiteren Verarbeitung oft in ein elektrisches Signal umgeformt und so quantitativ bestimmt. Früher erfolgte die Quantisierung im Bereich der Messtechnik durch Ablesen des Messgerätes mit zahlenmäßigem Bewusst-Machen der an einer Skale gesehenen Zeigerstellung. Durch Aufschreiben wurden die Messwerte einer Speicherung in Tabellen und numerischer Verarbeitung zugänglich (z. B. Berechnung der Monatsdurchschnittstemperatur aus stündlichen Einzelmessungen). Heute finden solche Berechnungen praktisch nur noch in Computern statt, und die Messgröße wird dazu gerätetechnisch in einem Analog-Digital-Umsetzer quantisiert. Hierbei treten verschiedene Arten von Messabweichungen auf wie Linearitäts- und Quantisierungsabweichungen; letztere können weiterhin Quantisierungsrauschen hervorrufen.

Ablauf

In Rot ein quantisierter Signalverlauf. In Grau der dazugehörige wertkontinuierliche Verlauf.

Zur Quantisierung eines analogen Signals muss dieses zuvor in ein zeitdiskretes, wertekontinuierliches Signal umgewandelt werden. Das kann signaltheoretisch durch die Multiplikation mit einem Dirac-Kamm dargestellt werden. In der Praxis können hierzu Sample-and-Hold-Schaltungen verwendet werden.

Zur Wertediskretisierung wird der Messbereich der Eingangsgröße in eine endliche Zahl aneinander grenzender Intervalle unterteilt und jedem eine Quantisierungsstufe zugewiesen. Das zeitdiskrete Signal wird nun über die Quantisierungskennlinie auf die einzelnen Stufen umgesetzt. Die Grenzen der Quantisierung sind im Rahmen des Quantisierungstheorems formuliert.

Oft wird das quantisierte Signal anschließend kodiert, d. h. jeder Quantisierungsstufe wird eine eindeutige Zahl zugeordnet. Dieser Vorgang ist, im Gegensatz zur eigentlichen Quantisierung, umkehrbar. Bei der Rekonstruktion werden die so kodierten Werte wieder in Werte aus dem Messbereich des ursprünglichen Signals abgebildet.

Das nun zeit- und wertediskrete Signal wird Digitalsignal genannt.

Eigenschaften

Wie ein Quantisierer die Eingangssignale im Einzelnen abbildet, kann aus der Quantisierungskennlinie abgelesen werden.

Die Auflösung des Quantisierers kann beschrieben werden durch

  • die Anzahl der Quantisierungsstufen,
  • die Wortbreite, i. S. v. Anzahl der Bits die zur Darstellung der quantisierten Werte mindestens nötig ist oder
  • bei einer linearen Quantisierung auch die Größe der Intervalle.

Der Zeitabstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abtastpunkten wird durch die Abtastrate festgelegt.

Da bei der Quantisierung von einer großen Menge an Eingabewerten auf eine kleinere Menge abgebildet wird, ist sie nichtlinear und auch nicht umkehrbar, denn verschiedene Eingabewerte können auf denselben Ausgabewert abgebildet werden.

Mit nichtlinearen Quantisierungskennlinien kann man bei nichtlinear wahrgenommenen Signalen (z. B. Audiosignalen) insbesondere bei geringen Auflösungen den Dynamikumfang verbessern.

Die Quantisierung ist neben der Abtastung ein Schritt der Digitalisierung (A/D-Umsetzung) von analogen Signalen. Die häufigste und auch einfachste Art ist die skalare Quantisierung. Dabei wird jeweils ein skalarer Eingabewert auf einen skalaren Ausgabewert abgebildet.

Verfahren

Der Eingangswert wird auf die nächstliegende Quantisierungsstufe ab- oder aufgerundet. Häufig wird auf die Stufe mit dem geringsten Abstand abgebildet und hat dadurch den niedrigsten Betrag des Quantisierungsfehlers. Die Quantisierungsfunktion lautet dann:

$ Q(x) = \sgn(x) \cdot \Delta \cdot \left\lfloor \frac{\left| x \right|}{\Delta} + \frac{1}{2} \right \rfloor $

Die Schrittweite $ \Delta $ ist bei gleichförmiger Quantisierung eine reale Konstante mit beliebigem Wert größer 0 und gibt die Länge des Intervalls an.

Für die Abbildung auf ganzzahlige Intervalle wird die Schrittweite $ \Delta $ auf den Wert 1 gesetzt. Wenn die Schrittweite in Relation zu dem Messbereich hinreichend klein ist, beträgt die mittlere quadratische Abweichung (MSE) zufolge der Quantisierung:[1]

$ \mathrm{MSE} = \sigma^2 \approx \frac{\Delta^2}{12} $

welche in diesem Fall gleich der Varianz $ \sigma^2 $ ist. In diesem Zusammenhang wird die mittlere quadratische Abweichung auch als ein Quantisierungsfehler bezeichnet.

Alternativ kann der Eingangswert auch auf- oder abgerundet werden, dann vergrößert sich jedoch der mittlere Fehler.

Verlustbehaftete Kompression

Bei verlustbehafteten Kompressionsverfahren rührt der Informationsverlust von der Quantisierung der Eingabedaten her. Dabei wird versucht „unwichtige“ Informationen zu entfernen, indem das Signal mit einer teilweise reduzierten Auflösung kodiert wird.

Populäre Vertreter für solche Kompressionstechniken sind MP3, JPEG sowie MPEG.

Einzelnachweise

  1. B. M. Oliver, J. R. Pierce, Claude E. Shannon: The Philosophy of PCM. Band 36. Proceedings of the IRE, November 1948, S. 1324–1331, doi:10.1109/JRPROC.1948.231941.

Weblinks

Literatur

  • John G. Proakis, Masoud Salehi: Communication Systems Engineering. 2. Auflage. Pearson Education International, 2002, ISBN 0-13-095007-6, Kapitel 6.5, S. 290.
  • John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis: Digital Signal Processing. 3. Auflage. Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-394289-9, Kapitel 9.2, S. 750 ff.

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