Beschleunigtes Bezugssystem

Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die kein Inertialsystem sind.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen Trägheitskräfte berücksichtigt werden), können diese Bezugssysteme in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen.

Das ist meist dann der Fall, wenn das Bezugssystem so gewählt wird, dass die Bewegungen relativ dazu einfach werden:

  • Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
  • Das Foucaultsche Pendel wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt.
  • In einem Bezugssystem, das im freien fall ist, ist die Schwerkraft ausgeschaltet.

In der Klassischen Mechanik sind Zeitintervalle und räumliche Abstände in allen Bezugssystemen gleich. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird daher durch die Euklidische Transformation bewerkstelligt.

Kinematik

Hauptartikel: Kinematik
Datei:Koordinatensysteme Ortsvektoren.png
Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.

Bezeichnungen

Sei K ein Bezugssystem und $ \vec r(t) $ Ortsvektor eines Punktes P. Mit den Basisvektoren $ \hat{e}_{i} $ lässt sich der Ortsvektor so darstellen:

$ \vec{r} \,=\, \sum_{i}x_{i}(t)\,\hat{e}_{i} $

Geschwindigkeit $ \vec v $ und Beschleunigung $ \vec a $ des Punktes sind:

$ \vec{v} \,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r} \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}\hat{e}_{i} $
$ \vec{a} \,=\, \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\vec{r} \,=\, \sum_{i} \frac{\mathrm{d}^{2}x_{i}}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{e}_{i} $

Sei K' ein bewegtes Bezugssystem, dessen Koordinatenursprung bei $ \vec R(t) $ liegt und das die Basisvektoren $ \hat{e}'_{i} $ hat. Der Ortsvektor des Punktes P in K' sei $ \vec r\,' $. Seine Komponentendarstellung in Bezug auf K' ist:

$ \vec{r}' \,=\, \sum_{i}x_{i}'(t)\,\hat{e}_{i}' $.

Relativ zu K' sind die Geschwindigkeit $ \vec v' $ und die Beschleunigung $ \vec a' $ des Punktes:

$ \vec{v}' \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{r}' \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x_{i}'}{\mathrm{d}t}\hat{e}_{i}' $
$ \vec{a}' \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{v}' \,=\, \frac{\mathrm{d}'^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\vec{r}' \,=\, \sum_{i} \frac{\mathrm{d}^{2}x_{i}'}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{e}_{i}' $

Dabei bedeutet der Strich im Symbol $ \mathrm{d}' $, dass die Differentiation relativ zu K' ausgeführt werden soll, damit $ \vec v' $ und $ \vec a' $ die Größen bezeichnen, wie sie im Bezugssystem K' beobachtet werden.

Außerdem gilt:

$ \vec{r} \,=\, \vec{R}+\vec{r}\,' $.

Zur Vereinfachung der Darstellung werden, wie in der Technischen Mechanik üblich, die im Bezugssystem K beobachteten Größen als Absolutgeschwindigkeit bzw. Absolutbeschleunigung bezeichnet, und die auf K' bezogenen Größen als Relativgeschwindigkeit bzw. Relativbeschleunigung.[1]

Transformation der Geschwindigkeit

Im Folgenden soll die Absolutgeschwindigkeit von P in K durch die Relativgeschwindigkeit von P in K' und die Bewegung von K' in Bezug auf K ausgedrückt werden. Die momentane Bewegung von K' ist, wie bei jedem starren System, in jedem Moment eine Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung wird mittels der Änderungsgeschwindigkeit von $ \vec R(t) $ beschrieben:

$ \vec v_{trans}(t) \,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{R} $.

Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte von K' parallel, also bleiben auch die Basisvektoren $ \hat{e}'_{i} $ zeitlich konstant. Aufgrund der Rotationsbewegung ändern sie sich aber. Die Rotationsbewegung von K' hat eine Drehachse durch den Ursprung am Ort $ \vec R(t) $ und eine Winkelgeschwindigkeit $ \omega(t) $ und einen Drehsinn, die in der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit $ \vec \omega(t) $ zusammengefasst sind. Dann ist die Änderungsgeschwindigkeit der Basisvektoren

$ \frac{\mathrm{d}\hat{e}'_{i}}{\mathrm{d}t} \,=\, \vec{\omega}\times\hat{e}'_{i} $

(Herleitung siehe hier).

Damit kann die Zeitableitung des Vektors $ \vec r'(t) $, wie sie im Bezugssystem K erscheint, berechnet werden. Nach der Produktregel ist

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}\,' \,=\, \sum_{i}\frac{\mathrm{d}x'_{i}}{\mathrm{d}t}\hat{e}'_{i}+\sum_{i}x'_{i}\frac{\mathrm{d}\hat{e}'_{i}}{\mathrm{d}t} $.

Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{r}\,' \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{r}\,' \,+\, \sum_{i}x'_{i}\,(\vec{\omega}\times\hat{e}'_{i}) \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{r}\,'+\vec{\omega}\times\vec{r}\,' $.

Die gleiche Regel gilt auch für jeden anderen Vektor, wenn man seine Änderungsgeschwindigkeit in K durch die Änderungsgeschwindigkeit in K' und die Bewegung von K' in K ausdrücken will. Zum Beispiel für die Geschwindigkeit:

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{v}\,' \,=\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t}\vec{v}\,'+\vec{\omega}\times\vec{v}\,' $.

Für die Absolutgeschwindigkeit $ \vec v $ folgt dann:

$ \vec v\, \,=\, \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{R}+\vec r') \,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{R} \,+\, \frac{\mathrm{d}'}{\mathrm{d}t} \vec{r}' \,+ \, \vec{\omega} \times \vec r' \,=\,( \vec v_{trans} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}') \,+\, \vec{v}\,' $.

Der eingeklammerte Ausdruck auf der rechten Seite drückt den Anteil der Absolutgeschwindigkeit des Punktes P aus, der von seiner Relativgeschwindigkeit unabhängig ist und nur durch die Bewegung des Bezugssystems K' zustande kommt. Er wird als Führungsgeschwindigkeit bezeichnet.

Transformation der Beschleunigung

Die zeitliche Ableitung der letzten Formel ergibt die Absolutbeschleunigung des Punktes P in K, ausgedrückt durch die in K' beobachtbaren Größen $ \vec r' $ und $ \vec v' $ sowie die Bewegung von K' in K:

$ \frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\vec{v} \,=\, \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left( \vec v_{trans} \,+\, \vec{\omega} \times \vec{r}' \,+\, \vec{v}' \right) \,=\, \underbrace{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \vec v_{trans}}_{\vec{a}_{trans}} \,+\, \underbrace{ \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\vec{\omega}\right)}_{\dot{\vec{\omega}}} \times \vec{r}' \,+\, \vec{\omega} \times \underbrace{\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \vec{r}\,'\right)}_{\vec{v}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{r}\,'} \,+\, \underbrace{\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \vec{v}'}_{\vec{a}\,'+\,\vec{\omega}\times\vec{v}\,'} $

Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt und etwas umgeordnet:

$ \vec{a} \,=\, \vec a_{trans} \,+\,\vec a' \,+\, \vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,') \,+\, 2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,' \,+\, \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' $

oder

$ \vec{a} \,=\, \vec a_{trans} \,+\,\vec a' \,-\, \vec a_{Zentrifugal} \,-\, \vec a_{Coriolis } \,-\, \vec a_{Euler} $

Darin ist:

$ \begin{align} \vec a_{trans} \,&=&\, \frac{\mathrm d^2 }{\mathrm d t^2}\vec{R} &\ : \text{Translationsbeschleunigung von K' in K } \\ \vec a' \,&=&\, \frac{\mathrm d'^2 }{\mathrm d t^2}\vec{r}' &\ : \text{Relativbeschleunigung in Bezug zu K'} \\ \vec a_{Zentrifugal} \,&=&\, -\vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times\vec{r}\,') &\ : \text{Zentrifugalbeschleunigung} \\ \vec a_{Coriolis } \,&=&\, -2\,\vec{\omega} \times \vec{v}\,' &\ : \text{Coriolisbeschleunigung} \\ \vec a_{Euler} \,&=&\, -\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}' &\ : \text{manchmal als Eulerbeschleunigung bezeichnet} \end{align} $

Dynamik

Die newtonsche Bewegungsgleichung gilt nur für Inertialsysteme. Die Absolutbeschleunigung $ \vec a $ ist proportional zur äußeren Kraft $ \vec{F} $:

$ m\vec{a} = \vec{F} $

Einsetzen der Beschleunigung in obige Gleichung und Umstellen nach $ \vec{a}\,' $ liefert:

$ m\vec{a}\,'=\vec{F}-m\ddot{\vec{R}}\underbrace{-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\,'}_{\text{Corioliskraft}}\,\underbrace {- m\dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\,'}}_{\text{Eulerkraft}}\,\underbrace{-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right)}_{\text{Zentrifugalkraft}} $

Somit erhält man diese vier Trägheitskräfte als zusätzliche Terme in der Bewegungsgleichung bzgl. K'. Im Folgenden werden verschiedene Spezialfälle diskutiert.

Beschleunigte Translationsbewegung

Hier gilt $ \vec{\omega}=0 $, so dass sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu:

$ m\vec{a}\,'=\vec{F}-m\ddot{\vec{R}} $

Dies ist z. B. der Fall eines mit einem geradlinig bewegten Fahrzeug verbundenen Bezugssystems. Sei $ \vec{F}=\vec 0 $, also es soll keine äußere Kraft wirken. Bremst das Fahrzeug, so ist die Beschleunigung negativ (= Verzögerung) $ \ddot{\vec{R}} \dot {\vec{R}}<0 $ und somit $ \vec{a}\,' \dot {\vec{R}}>0 $. Ein im Fahrzeug sich befindlicher Körper wird also in Fahrtrichtung beschleunigt (z. B. Autofahren: „Kopfnicker“ beim kurzen starken Bremsen).

Rotierendes Bezugssystem

Es soll $ \ddot{\vec{R}}=0 $ gelten, d. h. der Ursprung von K' bewegt sich gleichförmig gegenüber dem Ursprung von K:

$ m\vec{a}\,'=\vec{F}-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\,'-m\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\,'-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right) $

Bezugssystem an der Erdoberfläche

Die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist konstant, d. h. $ \dot{\vec{\omega}}=\vec 0 $. Hier rotiert $ \vec R $ (= Vektor vom Erdmittelpunkt zum Ursprung von K' an der Erdoberfläche) mit derselben Winkelgeschwindigkeit wie K':

$ m\vec{a}\,'=\vec{F}-m\ddot{\vec{R}}-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\,'-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right) $

Stellt man $ \vec{R} $ bzgl. K' dar, so ergibt die zweite Zeitableitung ($ \vec{R} $ ist bzgl. K' konstant):

$ \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\vec{R}=\underbrace{\frac{\mathrm{d}'^{2}\vec{R}}{\mathrm{d}t^{2}}}_{=0}+2\vec{\omega}\times\underbrace{\frac{\mathrm{d}'\vec{R}}{\mathrm{d}t}}_{=0}+\underbrace{\frac{\mathrm{d}'\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}}_{=0}\times\vec{R}+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)=\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right) $

Somit ergibt sich die Bewegungsgleichung:

$ m\vec{a}\,'=\vec{F}-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)-2m\vec{\omega}\times\vec{v}\,'-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right) $

Für Bewegungen, die in der Nähe der Erdoberfläche verlaufen, kann man den letzten Term vernachlässigen, da hier $ |\vec{r}\,'| \ll |\vec{R}| $ gilt.

Setze als Kraft die Gewichtskraft $ \vec{F}=m\vec{g} $ ein:

$ \vec{a}\,'=\underbrace{\vec{g}-\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{R}\right)}_{\vec{g}_{\text{eff}}}-2\vec{\omega}\times\vec{v}\,'-\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\,'\right) $

Man fasst normalerweise die Gravitationsbeschleunigung ($ \vec{g} $ wirkt in radiale Richtung) und die Zentrifugalbeschleunigung ($ -\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{R}) $ wirkt senkrecht zur Erdachse) zusammen zu einer effektiven Schwerebeschleunigung (die Richtung folgt aus der Vektorsummenbildung). Da die Zentrifugalbeschleunigung von der geographischen Breite abhängt (an den Polen Null und am Äquator maximal), ist die effektive Schwerebeschleunigung von der geographischen Breite abhängig; die Erdoberfläche ist näherungsweise eine Äquipotentialfläche der effektiven Schwerebeschleunigung, nämliche ein Ellipsoid, das im Vergleich zur Kugel an den Polen abgeplattet ist. $ \vec{g}_{\text{eff}} $ bestimmt die Vertikale von der Erdoberfläche, die von der radialen Richtung etwas abweicht.

Man betrachte ein mitbewegtes Koordinatensystem K' auf der Erdoberfläche, das so ausgerichtet ist, dass $ \hat{e}'_{x} $ in Richtung Osten, $ \hat{e}'_{y} $ in Richtung Norden und $ \hat{e}'_{z} $ zum Zenit zeigt. Die Winkelgeschwindigkeit der Erde lautet in K', wobei $ \phi $ die geographische Breite ist,

$ \vec{\omega}=\Omega\sin\phi\,\hat{e}'_{z}+\Omega\cos\phi\,\hat{e}'_{y}=:\Omega_\mathrm{v}\,\hat{e}'_{z}+\Omega_\mathrm{h}\,\hat{e}'_{y} $

Somit lautet die Coriolisbeschleunigung

$ \vec{a}^{\,\prime}_{c}=-2\vec{\omega}\times\vec{v}\,'=-2\begin{pmatrix}0\\ \Omega_\mathrm{h}\\ \Omega_{v}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\dot{x}'\\ \dot{y}'\\ \dot{z}'\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}\Omega_\mathrm{v}\dot{y}'-\Omega_\mathrm{h}\dot{z}'\\ -\Omega_{v}\dot{x}'\\ \Omega_\mathrm{h}\dot{x}'\end{pmatrix} $

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. Diese Wortwahl bedeutet nicht, dass es in der klassischen Mechanik so etwas wie "absolute Ruhe" oder "absolute Geschwindigkeit" gäbe. Siehe Relativitätsprinzip#Klassische Mechanik.