Abbesche Invariante

Abbesche Invariante

Die Abbesche Invariante (nach Ernst Abbe; auch Invariante der Brechung, Nullvariante)[1] stellt in der paraxialen Optik den Zusammenhang zwischen objektseitiger und bildseitiger Schnittweite von Lichtstrahlen dar, die an einer Fläche gebrochen werden:[2]

$ n \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{s} \right) = n' \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{s'} \right) $

mit

  • n, n' = Brechungsindex vor bzw. nach der brechenden Fläche (jeweils ' für die Bildseite)
  • r = Krümmungsradius der brechenden Fläche
  • s, s' = objektseitige bzw. bildseitige Schnittweite.

Die Gleichung besagt, dass die lineare Beziehung zwischen Brechungsindex, Krümmungsradius und Schnittweite vor und nach der Brechung eine konstante Größe behält.[3]

Diese Invariante ist eine Grundlage für die Ableitung aller Gesetzmäßigkeiten der optischen Abbildung im achsnahen Gebiet.[3]

Eine andere diesbezügliche Grundaussage ist die Helmholtz-Lagrangesche Invariante.

Herleitung

Herleitung der Abbeschen Invariante

In den Dreiecken ACO und ACO' bestehen folgende Beziehungen nach dem Sinussatz:

$ \frac{\sin\epsilon}{\sin(180^\circ-\phi)} = \frac{s - r}{l} $   und
$ \frac{\sin\epsilon'}{\sin(180^\circ-\phi)} = \frac{s' - r}{l'} $  .

Die erste durch die zweite Beziehung geteilt:

$ \frac{\sin\epsilon}{\sin\epsilon'} = \frac{l'(s-r)}{l(s'-r)} $  .

Mit dem Brechungsgesetz   n sinε = n' sinε' :

$ n\left(\frac{s-r}{l}\right) = n'\left(\frac{s'-r}{l'}\right) $  .

Im paraxialen Gebiet sind die Winkel σ und σ' so klein, dass für die Strahllängen l und l' die Schnittweiten s bzw. s' gesetzt werden können. Damit erhält man:

$ n\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s}\right) = n'\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{s'}\right) $  .

Einzelnachweise

  1. Lexikon der Physik, Abbesche Invariante. Spektrum.de, abgerufen am 6. April 2014.
  2. Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 185/86
  3. 3,0 3,1 Fritz Hodam: Technische Optik, VEB Verlag Technik, 2. Auflage, 1967, S. 42


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