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[[Datei:Bessek beam intensity.svg|mini|Querschnitt durch die [[Intensität (Physik)|Intensitäts]]<nowiki />verteilung eines Bessel-Strahls]]
Ein '''Bessel-Strahl''' (nach dem deutschen [[Astronom]]en, [[Mathematiker]], [[Geodät]]en und [[Physiker]] [[Friedrich Wilhelm Bessel]]) bezeichnet in der [[Wellenoptik]] eine spezielle, ideale Form [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischer Wellen]]. Eine ihrer wichtigsten anwendungsbezogenen Eigenschaften ist, dass sie nicht[[Beugung (Physik)|beugend]] sind: ihre Form ändert sich – anders als bei den [[Gauß-Strahl]]en – während der Ausbreitung ''nicht''. Ein Besselstrahl pflanzt sich immer mit Unter[[lichtgeschwindigkeit]] fort.

Mathematisch ist ein Bessel-Strahl ein Satz von Lösungen der [[Paraxiale Optik|paraxialen]] [[Helmholtz-Gleichung]], die in der Wellenoptik die Form von paraxialen Strahlen beschreibt.

Bessel-Strahlen wurden 1987 von Jim Durnin theoretisch konstruiert und von Durnin und [[Joseph H. Eberly]] experimentell demonstriert.<ref>J. Durnin, J. H. Eberly, J. J. Miceli: ''Diffraction Free Beams.'' In: ''Phys. Rev. Lett.'' Band 58, 1987, S. 1499–1501.</ref>

== Mathematische Beschreibung ==
In der paraxialen Optik werden Lichtstrahlen, die zur <math>z</math>-Achse parallel sind, beschrieben als elektromagnetische Welle in der Form:

:<math>U(\vec{r}, t) = A(x,y,z)\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,k_z\, z}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\omega\, t},</math>

wobei
* <math>\vec{r}=(x,y,z)</math> der Ort und
* <math>t</math> die Zeit ist.
* Die [[Amplitude]]nfunktion <math>A(x,y,z)</math> soll höchstens schwach von <math>z</math> abhängen, so dass die Welle längs der z-Achse näherungsweise [[Periodische Funktion|periodisch]] ist mit der [[Wellenlänge]] <math>\lambda_z = 2 \pi / k_z</math>.
* Für die Schwingungs-[[Kreisfrequenz]] muss gelten <math>\omega \ge k_z\,c</math>.
* Für die Größe <math>k = \frac{\omega}{c}</math>, die bei einer [[Ebene Welle|ebenen Welle]] die zur Kreisfrequenz <math>\omega</math> gehörige [[Wellenzahl]] ist, gilt damit <math>k \ge k_z</math>.<br />Die Größe <math>k_T = \sqrt{k^2 - k_z^2}</math> wird als transversale Wellenzahl bezeichnet.

Ist die Amplitude sogar vollständig unabhängig von <math>z</math> ([[Dispersion (Physik)|dispersions]]<nowiki />freier Strahl):

:<math>A = A(x,y) \neq f(z)</math>,

so muss <math>A(x,y)</math> der paraxialen Helmholtz-[[Differentialgleichung]] genügen:

:<math>\nabla_T^2 \, A(x,y) + k_T^2 \, A(x,y) = 0</math>

mit dem [[Laplace-Operator #In zwei Dimensionen|auf die x-y-Ebene eingeschränkte Laplace-Operator]] <math>\nabla_T^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}</math>. Entsprechend gilt in [[Polarkoordinaten]] <math>x = \rho \cdot \cos(\phi), \ \ y = \rho \cdot \sin(\phi)</math>:

::<math>\nabla_T^2 = \frac{\partial^2 }{\partial \rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}.</math>

Die Lösung der o.&nbsp;g. Differentialgleichung ergibt unter Annahme von [[Zylinderkoordinaten|Zylindersymmetrie]]:<ref name="salehteich">Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich: ''Fundamentals of photonics.'' 2007, ISBN 978-0-471-35832-9.</ref>

:<math>\Rightarrow A(x,y) = A \cdot J_m(k_T \cdot \rho) \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i} \, m \, \phi},\ \ m=0, \pm1, \pm2,...</math>

Dabei ist <math>J_m(\cdot)</math> die [[Besselfunktion #Bessel-Funktionen erster Gattung Jν|Besselfunktion 1.&nbsp;Art]] der Ordnung <math>m</math>.

Üblicherweise bezeichnet man den [[Rotationssymmetrie|rotationssymmetrischen]] Spezialfall <math>m=0</math> auch einfach als '''Bessel-Strahl'''.

Im Grenzfall <math>k_T \rightarrow 0</math> ergibt sich <math>A(x,y)=const</math>, also eine ebene Welle mit dem [[Wellenvektor]] <math>\vec{k}=(0,0,k_z)</math> und <math>k_z = \omega / c </math>.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Bessel gauss.svg|mini|Vergleich der radialen Intensität eines Gauß-Strahls (rot) und eines Bessel-Strahls mit ''m=0'' (blau). Im oberen Diagramm stimmt die 1/e²-Breite des zentralen Peaks und im unteren die über den Plot-Bereich integrierte Intensität überein.]]
=== Profil ===
Die radiale Amplitude und damit auch die radiale [[Intensität (Physik)|Intensitäts]]<nowiki />verteilung

:<math>I_m(\rho,\phi,z) = |A_0|^2\cdot J_m^2(k_T\cdot\rho)</math>

hängen ''nicht'' von der Position <math>z</math> in Ausbreitungsrichtung ab:

:<math>I_m \neq f(z)</math>

Daher verändert sich ihre Breite im Gegensatz etwa zu Gauß-Strahlen ''nicht'' während der Ausbreitung. Man spricht daher von nichtbeugenden Strahlen. Dies bedeutet auch, dass Bessel-Strahlen keinen [[Fokus]] im Sinne eines Punktes höchster Intensität entlang der Ausbreitungsrichtung besitzen.

Bessel-Strahlen werden auch als "selbstheilend" bezeichnet, da sie an einem Punkt der Ausbreitungsachse teilweise gestört oder blockiert werden können, zum Beispiel durch ein Streuzentrum, ihre Form aber später in der Ausbreitungsrichtung wiedergewinnen.

Die Intensität in radialer Richtung <math>\rho</math> fällt bei Bessel-Strahlen deutlich schwächer ab als bei Gauß-Strahlen,<ref name="salehteich" /> vgl. nebenstehende Abbildungen:

:<math>I_0^\text{Bessel}(\rho)\propto J_0^2(k_T\cdot\rho)\approx \frac{1}{\rho}\cdot\cos^2(k_T\rho-\pi/4)</math>

Für Gauß-Strahlen gilt jedoch:

:<math>I_0^\text{Gauß}(\rho,z)\propto \exp\left(-\frac{2\rho^2}{W(z)}\right)</math>

Aufgrund des <math>1/\rho</math>-Abfalls enthält ein idealer Bessel-Strahl auch unendlich viel Energie, da das Integral über die Intensität in radialer Richtung divergiert. Dies ist ein Grund, warum ideale Bessel-Strahlen in der Praxis nicht realisierbar sind.

Wie man weiter aus der Abbildung ersieht, weisen Bessel-Strahlen deutliche Nebenmaxima auf (auch im Vergleich zu einer [[Beugungsscheibchen|Airy-Scheibe]]), haben bei gleichem Energieinhalt aber ein deutlich schmaleres Hauptmaximum.

=== Geschwindigkeit ===
Die [[Phasengeschwindigkeit]] in Ausbreitungsrichtung <math>z</math> ist:

:<math>c_\text{Phase} = \frac{\omega}{k_z}</math>

und daher ''größer''&nbsp;(!) als die [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math>:

:<math>\Rightarrow c_\text{Phase} > c = \frac{\omega}{k}</math>

denn für gegebene Kreisfrequenz <math>\omega</math> ist

::<math>k_z^2 < k^2 = k_z^2 + k_T^2</math>

Sie zeigt aber eine [[Dispersion (Physik)|Dispersion]], die auf folgende [[Gruppengeschwindigkeit]] führt:

<math>\begin{align}
            c_\text{Gruppe} & = c \cdot \left( 1 - \frac{k_T^2}{2 \cdot k^2} \right)\\
\Rightarrow c_\text{Gruppe} & < c
\end{align}</math>

[[Wellenpaket]]e in Form eines Besselstrahls sind also im [[Vakuum]] langsamer als die Lichtgeschwindigkeit. Dies konnte 2015 sogar an einzelnen [[Photon]]en nachgewiesen werden, wobei der Effekt einige Millionstel der Lichtgeschwindigkeit erreichte.<ref>D. Giovannini u. a.: ''Spatially structured photons that travel in free space slower than the speed of light.'' Science, online 22. Januar 2015; [[doi:10.1126/science.aaa3035]]</ref>

Dies kann genutzt werden, um bei [[Nichtlineare Optik|nichtlinearen Effekten]] die Gruppengeschwindigkeit der Pumpwelle mit der Phasengeschwindigkeit einer rot-verschobenen z.&nbsp;B. [[Raman-Streuung #Beschreibung|Raman-Stokes]]-Welle anzugleichen und damit überhaupt erst einen effektiven [[Optisches Pumpen|Pumpprozess]] bei kurzen [[Puls (Elektrotechnik)|Pulsen]] zu ermöglichen.<ref>S. Klewitz, S. Sogomonian, M. Woerner, S. Herminghaus: ''Stimulated Raman scattering of femtosecond Bessel pulses.'' In: ''Optics Communications.'' Band 154, Nr. 4, 1998, S.&nbsp;186–190, [[doi:10.1016/S0030-4018(98)00317-4]].</ref>

== Erzeugung ==
[[Datei:Bessel beam.svg|mini|Ein [[Axicon]] erzeugt einen Bessel-ähnlichen Strahl]]
[[Datei:Bessel beam reform.svg|mini|Die zentrale helle Stelle des Besselstrahls heilt sich nach einer Störung selbst, aber verschoben, vgl. Bild darüber.]]
Reale Bessel-Strahlen lassen sich ebenso wenig erzeugen wie eine ideale [[ebene Welle]], da beides eine unendliche Menge an Energie erfordern würde. Gute Näherungen lassen sich aber durch [[Fokus]]sierung eines [[Gauß-Strahl]]s mit Hilfe eines [[Axicon]]s, einer speziellen, [[konisch]] geschliffenen [[Linse (Optik)|Linse]], erzeugen. Die daraus resultierenden '''Bessel-Gauß-Strahlen''' weisen die selbstheilenden Eigenschaften eines idealen Bessel-Strahls immer noch über einen gewissen Bereich auf.<ref name="DOI10.1103/PhysRevLett.58.1499">{{Literatur |Autor=J. Durnin, J. J. Miceli |Titel=Diffraction-free beams |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=58 |Nummer=15 |Datum=1987-04 |Seiten=1499–1501 |DOI=10.1103/PhysRevLett.58.1499}}</ref><ref name="DOI10.1016/0030-4018(87)90276-8">{{Literatur |Autor=F. Gori, G. Guattari, C. Padovani |Titel=Bessel-Gauss beams |Sammelwerk=Optics Communications |Band=64 |Nummer=6 |Datum=1987-12 |Seiten=491–495 |DOI=10.1016/0030-4018(87)90276-8}}</ref>

== Anwendung ==
Bessel-Strahlen werden aufgrund ihrer selbstheilenden Eigenschaften für [[Optische Pinzette]]n eingesetzt.<ref name="DOI10.1016/S0030-4018(01)01479-1">{{Literatur |Autor=J. Arlt, V. Garces-Chavez, W. Sibbett, K. Dholakia |Titel=Optical micromanipulation using a Bessel light beam |Sammelwerk=Optics Communications |Band=197 |Nummer=4–6 |Datum=2001-10 |ISSN=0030-4018 |Seiten=239–245 |Online=http://www.delmarphotonics.com/Axicon_StAndrews_Besseltweezers.pdf |DOI=10.1016/S0030-4018(01)01479-1}}</ref>

Außerdem bieten sie bei [[Lichtscheibenmikroskopie]] Vorteile: Die Lichtscheibe wird dann durch das [[Scannen]] eines Bessel-Gauß-Strahls erzeugt, was zu einem schmaleren zentralen [[Peak]] führt und daher auch bei gleicher eingebrachter Energie zu besserer axialer [[Auflösung (Mikroskopie)|Auflösung]] als mit einer gaußschen Lichtscheibe. Außerdem ermöglicht die Selbstheilung eine größere [[Eindringtiefe #Elektromagnetische Wellen|Eindringtiefe]].<ref name="PMID21164769">F. O. Fahrbach, A. Rohrbach: ''A line scanned light-sheet microscope with phase shaped self-reconstructing beams.'' In: ''Optics express.'' Band 18, Nr. 23, November 2010, S.&nbsp;24229–24244, {{ISSN|1094-4087}}. PMID 21164769.</ref><ref name="PMID21378978">T. A. Planchon, L. Gao, D. E. Milkie, M. W. Davidson, J. A. Galbraith, C. G. Galbraith, E. Betzig: ''Rapid three-dimensional isotropic imaging of living cells using Bessel beam plane illumination.'' In: ''Nature methods.'' Band 8, Nr. 5, Mai 2011, S.&nbsp;417–423, {{ISSN|1548-7105}}. [[doi:10.1038/nmeth.1586]]. PMID 21378978.</ref>

== Literatur ==
* Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich: ''Fundamentals of photonics.'' 2007, ISBN 978-0-471-35832-9.

* S. Klewitz: ''Stimulierte Lichtstreuung mit Besselstrahlen.'' Dissertation. 1. Auflage. UFO, Atelier für Gestaltung und Verlag, Allensbach 1998, ISBN 3-930803-34-8.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Besselstrahl}}
[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Paraxiale Optik]]
[[Kategorie:Friedrich Wilhelm Bessel als Namensgeber]]
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