Zerfallsgesetz

Exponentielle Abnahme einer Größe vom anfängliches Wert N – z. B. der Zahl radioaktiver Atomkerne in einer gegebenen Substanzprobe – mit der Zeit t.

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl $ N $ der zu einem Zeitpunkt $ t $ noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe an. Diese Anzahl beträgt

$ N(t)=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t} $,

wobei $ N_{0} $ die Anzahl der am Anfang ($ t=0 $) vorhandenen Atomkerne und $ \lambda $ die Zerfallskonstante des betreffenden Nuklids ist.

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich $ N_{0} $ Atomkernen und der Aktivität $ A $, so gilt für die Anzahl $ N $ der in der Zeit $ t $ noch nicht zerfallenen Kerne:

$ {\begin{aligned}A&=-{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\qquad {\text{mit }}A=\lambda \cdot N\\-\lambda \cdot N&={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\\-\lambda \cdot \mathrm {d} t&={\frac {1}{N}}\cdot \mathrm {d} N\\\int _{0}^{t}-\lambda \cdot \mathrm {d} t'&=\int _{N_{0}}^{N}{\frac {1}{N'}}\cdot \mathrm {d} N'\\-\lambda t-(-\lambda \cdot 0)&=\ln(N)-\ln(N_{0})\\-\lambda t&=\ln \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\\\mathrm {e} ^{-\lambda t}&={\frac {N}{N_{0}}}\\N(t)&=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}\end{aligned}} $

Nach der Zeit $ t $ sind also von $ N_{0} $ Ausgangskernen noch $ N(t) $ übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante $ \lambda $ (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer $ \tau =1/\lambda $, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor $ \mathrm {e} =2{,}71828\dotso $ verringert hat. $ \tau $ (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit $ T_{1/2} $ nur um den konstanten Faktor $ \ln 2 $:

$ T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \cdot \ln 2\approx 0{,}693\cdot \tau $

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

$ N(t)=N_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln(2)}{T_{1/2}}}t} $

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