Weyl-Gleichung

Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin -1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

$ \Psi = \begin{pmatrix} \Psi_L\\ \Psi_R \end{pmatrix} $

Die 2er-Spinoren $ \Psi_L $ und $ \Psi_R $ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse $ m $ gekoppelt:

$ \left(\mathrm i\gamma^n \part_n-m\right)\Psi= \begin{pmatrix} -m& \mathrm i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\\ \mathrm i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)&-m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Psi_L\\ \Psi_R \end{pmatrix} = 0 $

Hierbei sind $ \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 $ die Pauli-Matrizen.

Verschwindet die Masse $ \left( m = 0 \right), $ so zerfällt die Diracgleichung in je eine Weyl-Gleichung für den links- und den rechtshändigen Spinor:

$ \mathrm i\left(\part_0-\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_L = 0 $
$ \mathrm i\left(\part_0+\vec{\sigma}\vec{\nabla}\right)\Psi_R = 0 $

Chirale Kopplung

Zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber lorentzinvariant, an Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

$ D_n = \partial_n - \mathrm i \, e \, T_a \, A^a_n $

Dabei bezeichnet

  • $ e $ ist die Kopplungskonstante
  • $ T_a $ Matrizen, die die Lie-Algebra der Eichgruppe darstellen
  • $ A^a_n $ die Komponenten der Vektorfelder.

Bei den rechtshändigen Spinoren verschwinden die Matrizen $ \left( T_a = 0 \right), $ sie haben keine schwache Wechselwirkung.



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