Ward-Takahashi-Identität

Die Ward-Takahashi-Identität, benannt nach dem britischen Physiker John Clive Ward und dem japanischen Physiker Yasushi Takahashi ist eine Relation zwischen Korrelationsfunktionen in der Quantenelektrodynamik. Ihre allgemeine Form erhielten sie 1957 durch Takahashi[1]; der Spezialfall der Ward-Identität war bereits 1950 durch Ward aufgestellt worden[2]. Der Fall nichtabelscher Eichtheorien ist verwickelter, hier hat man die Slavnov-Taylor-Identitäten.[3]

Allgemein

Die Ward-Takahasi-Identität lässt sich aus den Dyson-Schwinger-Gleichungen herleiten und lautet:

$ \begin{align} k_\mu M^\mu \left(k; p_1, \dots, p_n; q_1, \dots, q_n\right) =&\ e \sum M_0\left(p_1, \dots, p_n; q_1, \dots, q_i - k, \dots, q_n \right) \\ &- e \sum M_0\left(p_1, \dots, p_i + k, \dots, p_n; q_1, \dots, q_n \right)\end{align} $

Dabei ist $ M^\mu $ die Fourier-Transformierte einer Korrelationsfunktion, die den Dirac-Strom enthält und $ M_0 $ die Korrelationsfunktionen, in denen der Impuls des Dirac-Stroms zum Impuls eines ein- bzw. ausgehenden Fermions addiert/subtrahiert wurde:

$ M^\mu(k;p;q) = \int \mathrm d^4 z \prod_{i,j=1}^n \mathrm d^4 x_i \mathrm d^4 y_j e^{-\mathrm i (zk + \sum y_jp_j - x_iq_i)} \left\langle \Omega \left| T j^\mu(z) \prod \Psi(x_i) \bar\Psi(y_j) \right| \Omega \right\rangle $
$ M_0(p;q) = \int \prod_{i,j=1}^n \mathrm d^4 x_i \mathrm d^4 y_j e^{-\mathrm i (\sum y_jp_j - x_iq_i )}\left\langle \Omega \left| T \prod \Psi(x_i) \bar\Psi(y_j) \right| \Omega \right\rangle $

Ward-Identität

Der Spezialfall der Ward-Identität lässt sich daraus ableiten, wenn auf der rechten Seite der Ward-Takahashi-Identität alle ein- sowie auslaufenden Fermionen on shell sind, also real, beobachtbar und der Energie-Impuls-Relation gehorchend und $ M^\mu $ ein Matrixelement der Streumatrix ist. Dann gilt unter Zuhilfenahme der LSZ-Reduktionsformel, dass beide Terme auf der rechten Seite sich wegheben und schließlich

$ k_\mu M^\mu = 0 $

übrig bleibt.

Die Ward-Identität liefert einen wichtigen Beitrag zur Renormierung der Quantenelektrodynamik, da sie als symmetrieerhaltende Eigenschaft den Divergenzgrad von Photonenschleifen herabsetzt. Dies führt dazu, dass in der Quantenelektrodynamik kein Hierarchieproblem auftritt.

Einzelnachweise

  1. Yasushi Takahashi, Nuovo Cimento, Ser 10, 6 (1957) 370.
  2. J.C. Ward, Phys. Rev. 78, (1950) 182
  3. Andrei Slavnov: Slavonov Taylor Identities, Scholarpedia