Vis-Viva-Gleichung

Vis-Viva-Gleichung

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Die himmelsmechanische Vis-Viva-Gleichung liefert die lokale Geschwindigkeit von Körpern auf Keplerbahnen um einen dominierenden Himmelskörper. Unter diesen Bedingungen ist die Summe aus der geschwindigkeitsabhängigen kinetischen Energie – das ist die Hälfte der historischen Vis viva – und der entfernungsabhängigen Energie im Gravitationsfeld zeitlich konstant (Energieerhaltungssatz). Bei gegebenem Gravitationsparameter ergeben verschiedene Werte dieser Summe verschiedene Bahnformen. Von den Bahnparametern geht lediglich die große Halbachse in die Gleichung ein.

Vis-Viva-Gleichung

Die Vis-Viva-Gleichung für die Momentangeschwindigkeit eines Körpers, der sich auf einer elliptischen (der Kreis als Spezialfall der Ellipse miteinbegriffen), parabolischen oder hyperbolischen Umlaufbahn um ein Zentralgestirn befindet, lautet:

(1)   $ v^2=\mu\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right) $

Dabei ist $ r $ der Abstand des Körpers vom Gravitationszentrum, $ v^2 $ das Quadrat seiner Geschwindigkeit, $ a $ die große Halbachse des Kegelschnittumlaufs ($ \ a=r $ für einen Kreis, $ r_P<a<r_A $ für eine Ellipse, $ a=\infty $ für eine Parabel und $ a<0 $ für eine Hyperbel) und $ \mu $ der Standardgravitationsparameter mit $ G $ als Gravitationskonstante und $ M $ als Masse des Zentralkörpers:

$ \mu = GM $

Zieht man die Quadratwurzel aus obigem Ausdruck für $ \ v^2 $, ergibt sich als Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers:

$ v=\sqrt { \mu \left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right) } $

Für eine Kreisbahn erhält man durch Einsetzen von $ \ a=r $ die folgende vereinfachte Beziehung, die man auch durch Gleichsetzen der Gravitations- und Zentripetalkraft erhalten kann:

$ v_1 = \sqrt{\frac{ \mu }{r}} $

Diese besondere Geschwindigkeit nennt man auch minimale Kreisbahngeschwindigkeit oder erste kosmische Geschwindigkeit: Bewegt sich ein umlaufender Körper mit dieser Geschwindigkeit um den Zentralkörper, so ist seine Umlaufbahn ein Kreis. Wird die Umlaufgeschwindigkeit dagegen (bei konstantem Abstand $ r $) kleiner oder größer als $ v_1 $, entsteht als Umlaufbahn eine Ellipse.

Wird deren große Halbachse unendlich groß, entsteht als „entartete“ Ellipse mit zweitem Brennpunkt im Unendlichen eine Parabel. Für solche Parabelbahnen erhält man dementsprechend durch Einsetzen von $ a=\infty $ als vereinfachte Form die Gleichung:

$ v_2=\sqrt {\frac {2 \mu}{r}} = v_1 \cdot \sqrt 2 $

Diese besondere Geschwindigkeit nennt man auch Fluchtgeschwindigkeit oder zweite kosmische Geschwindigkeit: Bewegt sich ein umlaufender Körper mit dieser oder einer höheren Geschwindigkeit, kann er damit die gravitative Bindung an den Zentralkörper überwinden und seine Umlaufbahn ist dann nicht mehr geschlossen, sondern offen. Ist die Umlaufgeschwindigkeit des Körpers dabei genau gleich $ v_2 $, ist die Umlaufbahn eine Parabel, bei größeren Umlaufgeschwindigkeiten dagegen (bei ansonsten gleichbleibendem Abstand $ r $) eine Hyperbel.

Ist die Masse $ m $ des umlaufenden Körpers im Verhältnis zu der Masse $ M $ des Zentralkörpers nicht vernachlässigbar, so kann man nicht mehr davon ausgehen, dass das Gravitationszentrum (Baryzentrum) des Systems in der Mitte des Zentralkörpers liegt. Die Masse des Umlaufenden Körpers (der damit eben kein „Probekörper“ mehr ist) muss dann berücksichtigt werden, wodurch sich die Vis-Viva-Gleichung folgendermaßen ändert:

(2)   $ v^2 = G(M\!+\!m) \left({{ 2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right) $

Die damit beschriebene Umlaufgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der jeweilige Körper auf seiner Umlaufbahn für einen außenstehenden Beobachter bzw. im Bezug auf einen gegebenen Fixpunkt (beispielsweise dem Baryzentrum) bewegt.

Die relative Geschwindigkeit der beiden Körper im Bezug zueinander ist dann die Umlaufgeschwindigkeit des entsprechenden Probekörpers um den Zentralkörper, die mit der herkömmlichen Vis-Viva-Gleichung (1) beschrieben wird.

Herleitung

Für die Herleitung der Vis-Viva-Gleichung gibt es verschiedene Ansätze bzw. Herangehensweisen. Im Folgenden sind drei Möglichkeiten dargestellt, die sich speziell auf Ellipsenbahnen beziehen und daher im entscheidenden Schritt auf die Beziehungen $ \ 2a = r_P + r_A $ bzw. $ \ r_P = 2a-r_A $ sowie die sich aus dem 2. Keplerschen Gesetz ergebende Gleichung $ \ r_P v_P = r_A v_A $ zurückgreifen, in denen $ a $ die große Halbachse der Ellipsenbahn, $ r_P $ und $ r_A $ deren Peri- und Apoapsisdistanz sowie $ v_P $ und $ v_A $ die zugehörigen Bahngeschwindigkeiten sind.

Die Herleitungen sind unter der Annahme durchgeführt, dass die Masse des umlaufenden Körpers im Verhältnis zum Zentralkörper vernachlässigbar ist (1). Soll die Masse des umlaufenden Körpers berücksichtigt werden (2), so muss bei der kinetischen Energie anstelle der normalen Körpermasse $ m $ die reduzierte Masse $ m_\text{red} $ eingesetzt werden:

$ m_\text{red} = \frac{ M m }{M\!+\!m} \Rightarrow E_\mathrm{kin} = \frac{v^2}{2} \cdot \frac{ M m }{M\!+\!m} $

Dies ist ein Resultat dessen, dass die gesamte kinetische Energie der beiden beteiligten Körper die Summe der einzelnen kinetischen Energien ist:

$ E_\mathrm{kin} = \frac{M (v_M)^2 }{2} + \frac{m (v_m)^2}{2} $

$ v_{M}\,\! $ ist dabei die Geschwindigkeit des Zentralkörpers relativ zum Inertialsystem des Baryzentrums, $ v_{m}\,\! $ die entsprechende Relativgeschwindigkeit des umlaufenden Körpers und $ v $ die Relativgeschwindigkeit der beiden Körper zueinander.

Erste Möglichkeit

Im Schwerkraftfeld einer Zentralmasse ist laut dem Energieerhaltungssatz die Summe der potentiellen Energie $ E_\mathrm{pot} $ und kinetischen Energie $ E_\mathrm{kin} $ eines Körpers der Masse $ m $ konstant.

Die durch die Masse $ M $ des Zentralkörpers verursachte Gravitationskraft $ F_\mathrm{G} $, die auf einen Körper der Masse $ m $ wirkt, ist dabei gemäß nachfolgender Formel abhängig von der Entfernung $ x $ des Körpers vom Gravitationszentrum des Zentralkörpers, im Falle einer homogenen Kugel also von ihrem Mittelpunkt:

$ F_\mathrm{G}(x) = G \frac{M m}{x^2} $

Die potentielle Energie, die der Körper gewinnt, wenn er von der Oberfläche des Zentralkörpers bis zu einer Position im Abstand $ r $ vom Gravitationszentrum gebracht wird, ergibt sich dementsprechend aus der Integration der auf ihn wirkenden Gravitationskraft entlang des von ihm dabei zurückgelegten Weges, wobei, da die Gravitationskraft radial wirkt, die Zunahme der potentiellen Energie allein vom überwundenen Höhenunterschied abhängt, eventuelle Seitwärtsbewegungen hier also keinerlei Rolle spielen:

$ E_\mathrm{pot}=\int_{r_0}^r F_\mathrm{G}(x)\,\mathrm dx=\int_{r_0}^r G \frac{M m}{x^2}\,\mathrm dx $

Dabei ist $ r_0 $ der Ausgangsradius, $ x $ die momentane Entfernung des Körpers vom Gravitationszentrum, über die integriert wird, und $ r $ die am Ende erreichte Entfernung des Körpers vom Gravitationszentrum.

Wenn wir zur Vereinfachung der Schreibweise anstelle des Produkts $ GM $ fortan den Gravitationsparameter $ \mu $ benutzen wollen, liefert die obige Integration als Ergebnis schließlich folgenden Ausdruck:

$ E_\mathrm{pot}= \mu m\left({{1 \over{r_0}} - {1 \over{r}}}\right) $

Die kinetische Energie des Körpers ist bekannterweise:

$ E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v^2 $

Der Energieerhaltungssatz für einen sich im Gravitationsfeld einer Zentralmasse bewegenden Körper sagt aus, dass die Summe seiner potentiellen und kinetischen Energie entlang der Flugbahn konstant bleibt, die Gesamtenergie $ E $ des Körpers also ganz allgemein wie folgt formuliert werden kann:

$ E = \frac{1}{2} m v^2 + \mu m\left({{1 \over{r_0}} - {1 \over{r}}}\right) $

Jetzt betrachten wir die Gesamtenergie an den beiden beliebigen Punkten $ P_1 $ und $ P_2 $ mit $ E_1 = {E_2} $:

$ \frac{1}{2} m v_1^2+ \mu m\left({{1 \over{r_0}} - {1 \over{r_1}}}\right) = \frac{1}{2} m v_2^2+ \mu m\left({{1 \over{r_0}} - {1 \over{r_2}}}\right) $

Division durch $ m/2 $ und Subtraktion von $ 2\mu/r_0 $ auf beiden Gleichungsseiten liefert:

$ {v_1^2}-{2\mu\over{r_1}}={v_2^2}-{2\mu\over{r_2}} $

Umgestellt nach $ v_1^2 $ ergibt sich dann:

$ v_1^2=v_2^2+2\mu\left({{1 \over{r_1}} - {1 \over{r_2}}}\right) $

Wenn wir nun diese zunächst einmal für zwei beliebige Punkte im Raum geltende Gleichung auf eine Ellipse übertragen, können wir für $ v_1 $ und $ v_2 $ sowie $ r_1 $ und $ r_2 $ auch beispielsweise die Geschwindigkeiten $ v_A $ und $ v_P $ im Apozentrum und Perizentrum sowie die Apoapsis- und Periapsis-Distanz $ r_A $ und $ r_P $ einsetzen:

$ v_A^2=v_P^2+2\mu\left({{1 \over{r_A}} - {1 \over{r_P}}}\right) $

Unter Zuhilfenahme der Beziehungen $ \ 2a = r_P + r_A $ bzw. $ \ r_P = 2a-r_A $ sowie der sich aus dem 2. Keplerschen Gesetz und der Drehimpulserhaltung ergebenden Gleichung $ \ r_P v_P = r_A v_A $ kann man die eben erhaltene Formel für $ v_A^2 $ noch einmal wie folgt vereinfachen:

$ v_A^2=\mu\left({{2 \over{r_A}} - {1 \over{a}}}\right) $

Ersetzen wir nun in der Gleichung für $ v_1^2 $ den Punkt $ P_1 $ durch den „wirklich“ beliebigen Ellipsenpunkt $ P $ ohne alle Indizes und die Parameter des zweiten Punktes $ P_2 $ durch die des Apozentrums, erhalten wir damit die folgende Gleichung, die sich problemlos zu der gesuchten Vis-Viva-Gleichung vereinfachen lässt:

$ v^2 = \mu\left({{2 \over{r_A}} - {1 \over{a}}}\right) + 2\mu\left({{1 \over{r}} - {1 \over{r_A}}}\right) \Leftrightarrow\ v^2=\mu\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right) $.

Zweite Möglichkeit

Die Schwer- oder Gravitationskraft $ F_\mathrm{G}(x) $ einer Masse $ m $, deren Mittelpunkt sich im Abstand $ x $ vom Mittelpunkt einer zweiten Masse $ M $ befindet, kann mithilfe des Gravitationsgesetzes wie folgt berechnet werden:

$ F_\mathrm{G}(x) = m g = G \frac{M m}{x^2} $

Betrachtet man einen Körper, dessen Masse $ m $ im Verhältnis zu der Masse $ M $ des Zentralgestirns vernachlässigbar klein ist, so stellt die potentielle Energie des Körpers diejenige Arbeit dar, welche gegen die Gravitationskraft $ F_\mathrm{G}(x) $ geleistet wird, wenn dieser Körper von einem Punkt im Abstand $ r $ vom Zentralkörper bis ins Unendliche verschoben wird.

Damit berechnet sich seine potentielle Energie mit:

$ E_\mathrm{pot}=-\int_r^\infty m g \,\mathrm dx = -\int_r^\infty \frac{GMm}{x^2} \,\mathrm dx $

Wird dabei der Faktor $ GM $ durch den Gravitationsparameter $ \mu $ ersetzt, liefert die Integration den Ausdruck:

$ E_\mathrm{pot}=-\frac{\mu m}{r} $

Die kinetische Energie des Körpers ist bekannterweise:

$ E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m v^2 $

Der Energieerhaltungssatz für einen sich im Gravitationsfeld einer Zentralmasse bewegenden Körper sagt aus, dass die Summe seiner potentiellen und kinetischen Energie entlang der Flugbahn konstant bleibt, die Gesamtenergie $ E $ des Körpers also ganz allgemein wie folgt formuliert werden kann:

$ E = \frac{1}{2} m v^2-\frac{\mu m}{r} $

Wenn wir diese Gleichung nun auf eine Ellipse übertragen und für $ v $ und $ r $ zum Beispiel die Geschwindigkeit im Apozentrum $ v_A $ sowie die Apoapsis-Distanz $ r_A $ einsetzen, erhalten wir folgende Beziehung:

$ E = \frac{1}{2} m v_A^2-\frac{\mu m}{r_A} $

Analog dazu erhalten wir für das Perizentrum die beiden einander gleichwertigen Gleichungen:

$ E = \frac{1}{2} m v_P^2-\frac{\mu m}{r_P} \Leftrightarrow\ v_P^2 = \frac{2E}{m} + \frac{2 \mu}{r_P} $

Unter Zuhilfenahme der sich aus dem 2. Keplerschen Gesetz und der Drehimpulserhaltung ergebenden Gleichung $ \ r_P v_P = r_A v_A $ kann man die eben erhaltene Formel für $ v_P^2 $ in eine für $ v_A^2 $ umformen und den gewonnenen Ausdruck anschließend in die obige Energiegleichung des Apozentrums einsetzen, die sich durch Umstellen nach $ E $ und Zuhilfenahme der Beziehungen $ \ 2a = r_P + r_A $ bzw. $ \ r_P = 2a-r_A $ noch einmal vereinfachen lässt:

$ E = E \frac{r_P^2}{r_A^2} + \mu m \left(\frac{r_P - r_A}{r_A^2}\right) \Leftrightarrow\ E = -\frac{\mu m}{2 a} $

Einsetzen des erhaltenen Ausdrucks für $ E $ in die allgemeine Gleichung der Gesamtenergie

$ -\frac{\mu m}{2 a} = \frac{1}{2} m v^2-\frac{\mu m}{r} $

und Umstellen nach $ v $ liefert auch in diesem Fall zu guter Letzt die Vis-Viva-Gleichung:

$ v^2=\mu\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) $

Dritte Möglichkeit

Die dritte Möglichkeit geht wieder von den beiden Formeln für die Gesamtenergie im Apo- bzw. Perizentrum aus, multipliziert diese aber anschließend mit dem Quadrat der jeweiligen Distanz $ r_A $ bzw. $ r_P $:

$ E = \frac{1}{2} m v_A^2-\frac{\mu m}{r_A} \Leftrightarrow\ E \cdot r_A^2 = \frac{1}{2} m v_A^2r_A^2 - \mu m r_A $
$ E = \frac{1}{2} m v_P^2-\frac{\mu m}{r_P} \Leftrightarrow\ E \cdot r_P^2 = \frac{1}{2} m v_P^2r_P^2 - \mu m r_P $

Abermals unter Zuhilfenahme der schon erwähnten Gleichung $ \ r_P v_P = r_A v_A $ kann man nun in der zweiten der beiden neu erhaltenen Gleichungen den Ausdruck $ v_P^2r_P^2 $ durch $ v_A^2r_A^2 $ ersetzen und anschließend die Differenz der beiden Gleichungen bilden:

$ E \cdot r_A^2 - E \cdot r_P^2 = - \mu m r_A + \mu m r_P = - \mu m(r_A - r_P) $

Division durch $ \ r_A^2-r_P^2 $ und Ersetzen des erhaltenen Nenners $ \ r_A + r_P $ durch $ \ 2a $ liefert für die Gesamtenergie

$ E = -\frac{\mu m}{2 a} $

und daraus über die allgemeine Gleichung der Gesamtenergie

$ -\frac{\mu m}{2 a} = \frac{1}{2} m v^2-\frac{\mu m}{r} $

die gesuchte Vis-Viva-Gleichung:

$ v^2=\mu\left({{2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right) $

Beispiel: Bahngeschwindigkeiten im Sonnensystem

Im Sonnensystem ist die Sonne der dominierende Zentralkörper. Die Masse der Erde beträgt z. B. nur 1/330.000 der Sonnenmasse und kann bei der Anwendung der Vis-Viva-Gleichung vernachlässigt werden – der Fehler ist kleiner als die Vernachlässigung von Bahnstörungen durch Jupiter. Mit vernachlässigtem m ist $ \mu $ konstant, und es liegt nahe, diese Konstante bis auf eine Längeneinheit aus der Wurzel herauszuziehen und als Vorfaktor auszurechnen.

Entfernungen im Sonnensystem liegen oft in Astronomischen Einheiten vor. Wir ziehen also $ GM_\text{Sonne}/1\,\textrm{AE} $ aus der Wurzel heraus. Der Vorfaktor hat dann nicht zufällig (siehe Gaußsche Gravitationskonstante) den Wert

$ \sqrt{GM/1\,\textrm{AE}} = 2\pi\,\text{AE pro Jahr} \approx 0{,}01720\,\text{AE pro Tag} \approx 29{,}785\,\textrm{km/s} \, $,

die mittlere Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne.

Wir wollen zunächst die Geschwindigkeit der Erde auch im Perihel und im Aphel berechnen. Die Entfernungen zur Sonne in diesen beiden Punkten der Bahn betragen 0,983 AE bzw. 1,017 AE und a ist per Definition 1 AE. Also

$ v_\text{Perihel} = 29{,}785 \textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{0{,}983} - \frac{1}{1}} = 30{,}296 \textrm{km/s} $
$ v_\text{Aphel} = 29{,}785 \textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{1{,}017} - 1} = 29{,}284 \textrm{km/s} $

Nun noch die Geschwindigkeiten des gerade von der Raumsonde Rosetta besuchten Kometen Tschurjumow-Gerassimenko im Perihel, im Aphel und in 3 AE Entfernung. a beträgt 3,503 AE.

$ v_\text{Perihel} = 29{,}785\,\textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{1{,}289} - \frac{1}{3{,}503}} = 33{,}51\,\textrm{km/s} $
$ v_\text{Aphel} = 29{,}785\,\textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{5{,}717} - \frac{1}{3{,}503}} = 7{,}56\,\textrm{km/s} $
$ v_\text{3 AE} = 29{,}785\,\textrm{km/s} \sqrt {\frac{2}{3} - \frac{1}{3{,}503}} = 18{,}39\,\textrm{km/s} $

Siehe auch

  • Spezifische Bahnenergie, relativ einfache Herleitung der Vis-Viva-Gleichung ausgehend von der Energieerhaltung

Literatur

  • Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas: Raumfahrtsysteme. Eine Einführung mit Übungen und Lösungen. 2., aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21037-7, S. 71–86.

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