Spezielle Lorentztransformation

Die spezielle Lorentztransformation $ L(\;) $ (auch Boost genannt) dient dazu, entsprechend der speziellen Relativitätstheorie von einem Koordinatensystem in ein anderes umzurechnen, wenn sich die beiden relativ zueinander mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen (das Koordinatensystem, in dem das zu beschreibende Objekt ruht, wird Ruhesystem genannt):

  • die Operation $ L(\vec v) $ wechselt in das Koordinatensystem, das sich relativ zum Ruhesystem mit der Geschwindigkeit $ \vec v $ bewegt
  • mit $ L(-\vec v) $ kann vom bewegten in das Ruhesystem zurückgerechnet werden.

Die Notationen sind nicht ganz einheitlich, es kann also durchaus vorkommen, dass bei $ \vec v $ ein anderes Vorzeichen auftritt.

Definition

Für einen Boost in Richtung $ \vec{e_1} $ (Einheitsvektor) lautet die Transformation in Matrixdarstellung:

$ x' = L(v \vec e_1) \cdot x $

mit

$ L(v \vec e_1) = \begin{pmatrix} \cosh \lambda & -\sinh \lambda & 0 & 0\\ -\sinh \lambda & \cosh \lambda & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ und $ x = \begin{pmatrix} c \, t \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, $

wobei

$ \tanh \lambda = \beta = \frac{v}{c}, $

also

$ \cosh \lambda = \gamma $

und

$ \sinh \lambda = \gamma \beta $

mit dem Lorentzfaktor

$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}; $

$ \tanh $, $ \cosh $ und $ \sinh $ stehen für die Hyperbelfunktionen Tangens Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus und Sinus Hyperbolicus.

Allgemein ist der Boost eines sich mit der Geschwindigkeit $ \vec v $ bewegenden Teilchens ins Ruhesystem gegeben durch

$ L(\vec v) = \begin{pmatrix} \gamma & -\frac{\vec{v}^T}{c}\gamma\\ -\frac{\vec{v}}{c}\gamma & I + \frac{\vec{v} \cdot \vec{v}^T}{v^2}(\gamma - 1) \end{pmatrix}, $

wobei $ I $ die Einheitsmatrix ist.

Diese Darstellung erhält man, wenn der Vektor $ \vec{x} $ in eine senkrechte und eine parallele Komponente bezüglich des Geschwindigkeitsvektors $ \vec{v} $ zerlegt wird:

$ \vec{x} = \vec{x}_\perp + \vec{x}_\|. $

Dann bleibt die senkrechte Komponente $ \vec{x}_\perp $ unverändert, während die parallele Komponente $ \vec{x}_\| $ entsprechend der obigen Formel für die 1-Richtung transformiert wird:

$ \begin{alignat}{2} ct' & = && \gamma \left( ct - \frac{\vec{v}}{c} \cdot \vec{x} \right)\\ \vec{x} \, ' & = \vec{x}_\perp + && \gamma \left(\vec{x}_\| - \vec{v} t \right). \end{alignat} $

Beachte: Die spezielle Lorentztransformation wechselt nur zwischen Koordinatensystemen, sie ist keine Beschleunigung oder Ähnliches. So gesehen ist die Bezeichnung Boost irreführend.

Eigenschaften

  • Die Lorentztransformationen bezüglich einer festen Richtung für $ \vec v $ bilden eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe in Analogie zu den Drehungen um eine feste Achse, welche eine Untergruppe der Drehgruppe bilden.
  • Die Gesamtheit der speziellen Lorentztransformationen bildet - anders als die Drehungen - keine Untergruppe der Lorentz-Gruppe. Dies wird durch den Kommutator der Erzeugenden ersichtlich:
$ [K_i,K_j] = - \epsilon_{ijk} \, L_k, $
wobei $ K_i $ die Erzeugenden der speziellen Lorentztransformation sind, $ L_k $ die Erzeugenden der Drehgruppe und $ \epsilon_{ijk} $ das Levi-Civita-Symbol.
  • Um die Untergruppe vollständig zu machen, müssen die Drehungen dazugenommen werden. Zusammen ergeben sie dann die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe.