Rückstoßantrieb

Rückstoßantrieb

Datei:Rueckstossantrieb.png
Rückstoßprinzip einer Rakete

Der Rückstoßantrieb oder Reaktionsantrieb ist eine praktische Anwendung des 3. Newtonschen Axioms. Der Rückstoßantrieb führt sein Antriebsmedium mit; Rückstoßantriebe, die auf Verbrennung beruhen, führen sowohl ihren Treibstoff als auch ihren Oxidator mit. Das angetriebene Objekt, zum Beispiel eine Rakete, wird durch den Rückstoß mit der gleichen Kraft nach vorn beschleunigt, mit der das Antriebsmedium nach hinten ausgestoßen wird.

Im Weltraum ist der Rückstoßantrieb die einzige Möglichkeit, ein Raumschiff abseits von massereichen Himmelskörpern und starken Strahlungsquellen zu beschleunigen.

Physikalischer Hintergrund

Entsprechend dem 3. Newtonschen Axiom (actio = reactio, auch „Reaktionsprinzip“ oder „Wechselwirkungsprinzip“), werden zwei Massen, die eine Kraft aufeinander ausüben, beschleunigt. Somit ergibt sich für beide Massen (nach Beendigung der Krafteinwirkung) eine Geschwindigkeit. Entsprechend der Definition für den Impuls

$ \vec p = m \cdot \vec v $

ergeben sich für diesen Fall folgende Relationen der Impulse zueinander:

$ \vec{p}_1 = -\vec{p}_2 \qquad \mathrm{oder} \qquad m_1 \cdot \vec v_1 = m_2 \cdot -\vec v_2 $

(Hierbei stellt $ \vec{p}_1 $ zum Beispiel bei einer Rakete den Impuls der ausgestoßenen Verbrennungsprodukte dar, und $ -\vec{p}_2 $ den dadurch entstehenden entgegengesetzten Impuls der Rakete)

Dabei ist zu berücksichtigen, dass zur Erzeugung dieser Impulse eine definierte Energie zur Verfügung stehen muss, welche die entsprechende Beschleunigungsarbeit verrichten kann. Hat eine Masse einen Impuls, verfügt sie über eine kinetische Energie.

Bei der Berechnung der anteiligen Energiemengen gilt:

$ E_{m_1} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cdot E_\mathrm{ges} \qquad \mathrm{und} \qquad E_{m_2} = \frac{m_1}{m_1 + m_2}\cdot E_\mathrm{ges} $

Bei einem kontinuierlichen Prozess ergibt sich folgender, auch als Raketengrundgleichung bekannter, mathematischer Zusammenhang:

$ v_n(t) = v_s \cdot \ln\left(\frac{m(0)}{m(t)}\right) $

oder auch:

$ \vec{v}_n(t) = -\vec{v}_s \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right)= \vec{v}_s \cdot \ln \left(\frac{m(t)}{m(0)}\right) $

Wobei $ v_s $ gleich der Relativgeschwindigkeit der Stützmasse zur eigentlichen Nutzmasse ist. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass bei Fortschreiten des Prozesses die Stützmasse kontinuierlich abnimmt und schlussendlich nur noch die Nutzmasse mit ihrer Endgeschwindigkeit $ v_n $ (relativ zum Startort) verbleibt.

Ein erstaunlicher Effekt stellt sich bei einem Verhältnis von $ 1 = \ln\left(\frac{m(0)}{m(t)}\right) $ ein. Ab diesem Zeitpunkt bewegt sich die Rakete sowie die von ihr ausgeworfenen Stützmasse von einem am Startort der Rakete verbliebenen Beobachter in die gleiche Richtung weg, allerdings mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.

Rückstoßantriebe, die auf der Basis von Fluiden arbeiten

Ausströmgeschwindigkeit

In der Rückstoßkammer ist der Druck ($ p_i $) höher als der Umgebungsdruck ($ p_a $). Das in der Kammer befindliche Medium tritt auf Grund dieser Druckdifferenz mit einer bestimmten Geschwindigkeit ($ v_s $) aus der Düse aus. Von Bedeutung ist weiterhin die Dichte ($ \rho $) des ausströmenden Mediums (innerhalb der Kammer, also unter dem Druck $ p_i $ stehend).

Aus der Energieerhaltung folgt:

$ W=(p_i-p_a) \cdot dV=\tfrac{1}{2} \cdot dm \cdot v_s^2=\tfrac{1}{2} \cdot dV \cdot \rho \cdot v_s^2 $

$ \Rightarrow \frac{2(p_i-p_a)}{\rho}=v_s^2 $

$ \Rightarrow $ $ v_s = \sqrt {\frac {2 \cdot (p_i - p_a)}{\rho}} $

Diese Gleichung gilt nur bei hinreichend kleinen Düsen, bei denen der Kammerinhalt relativ zur Kammer nur gering beschleunigt wird. Zudem wurden mögliche Reibungsverluste vernachlässigt.

Bei Gasen ist zu beachten, dass deren Dichte ($ \rho $) abhängig vom Druck und der Temperatur ist. Diese lässt sich (näherungsweise) mittels der Thermischen Zustandsgleichung idealer Gase

$ p \cdot V = m \cdot R_s \cdot T $

durch Umstellung nach

$ \rho = \frac {m}{V} = \frac {p}{ R_s \cdot T} $

berechnen.

Da bei Gasen die Dichte proportional zum Druck ist, kann eine Erhöhung der Austrittsgeschwindigkeit nur durch eine Temperaturerhöhung erzielt werden.

Durchsatz

Entsprechend dem Querschnitt ($ A $) der Düse, der Dichte ($ \rho $) des austretenden Mediums und dessen Austrittsgeschwindigkeit ($ v_s $) lässt sich der oft auch als Massenstrom bezeichnete Durchsatz ($ \mu $) ermitteln.

$ \mu = A \cdot \rho \cdot v_s $

Schub

Die erzeugte Schubkraft ($ F_s $) kann durch die Multiplikation des Durchsatzes ($ \mu $) mit der Austrittsgeschwindigkeit ($ v_s $) des Mediums berechnet werden.

$ F_s = \mu \cdot v_s $

Oder durch Ersetzen von $ \mu = A \cdot \rho \cdot v_s $

$ F_s = A \cdot \rho \cdot v_s^2 $

und

$ F_s = A \cdot \rho \cdot \frac {2 \cdot \Delta p}{\rho} $

erhält man die massenunabhängige Beziehung

$ F_s = 2 \cdot \Delta p \cdot A $

Benötigte Triebwerksleistung

Hierbei ist nicht die Leistung ($ P_\mathrm{Nutz} $) gemeint, mit der ein solches Triebwerk eine Masse bewegen (beschleunigen) würde, sondern die Leistung, die benötigt wird, um die entsprechende Schubkraft zu erzeugen. Man ermittelt diese Leistung ($ P_\mathrm{Triebwerk} $) über den gegebenen Durchsatz ($ \mu $):

$ \mu=\frac {\Delta m}{\Delta t} $

Um die Masse der ausströmenden Gase $ \Delta m $ auf die Geschwindigkeit $ v_s $ zu beschleunigen, muss die Arbeit

$ W=\frac {1}{2} \cdot \Delta m \cdot v_s^2 $

verrichtet werden. Somit ergibt sich die Triebwerksleistung $ P_\mathrm{Triebwerk} $ zu

$ P_\mathrm{Triebwerk} = \frac {W}{\Delta t}=\frac {1}{2} \cdot \frac {\Delta m}{\Delta t} \cdot v_s^2=\frac {1}{2} \cdot \mu \cdot v_s^2 $

bzw. wegen $ F_s=\mu \cdot v_s $:

$ P_\mathrm{Triebwerk} = \frac {1}{2} \cdot v_s \cdot F_s $

Um bei einem hypothetischen Photonenantrieb die gleiche Schubkraft zu erzeugen, müsste die Triebwerksleistung erheblich höher liegen als bei einem herkömmlichen chemischen Raketenantrieb.

Nutzleistung

Die tatsächliche von einem solchen Rückstoßantrieb umsetzbare Leistung ($ P_{Nutz(t)} $) ergibt sich durch Umstellung der Formel für die Beschleunigungsarbeit:

$ W_\mathrm{Beschl.} = m \cdot \frac {v_2^2-v_1^2}{2} $
$ P_{\mathrm{Nutz}(t)} = m(t) \cdot \frac {v_2^2-v_1^2}{2 \cdot t} = m(t) \cdot a \cdot \frac {v_2 + v_1}{2} = F_s \cdot \frac {v_2 + v_1}{2} $

Dabei stellen $ v_1 $ die Anfangsgeschwindigkeit und $ v_2 $ die Endgeschwindigkeit des Beschleunigungsvorganges dar.

Anwendungen

Siehe auch

Weblinks

Belege

fa:پیشرانش

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