Plastizitätstheorie

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Die Plastizitätstheorie ist das Teilgebiet der Kontinuumsmechanik, das sich mit irreversiblen Umformungen von Materie befasst. Sie beschreibt den Spannungs- und Verzerrungszustand von festen Körpern unter dem Einfluss einer Belastung, behandelt aber im Gegensatz zur Elastizitätstheorie keine reversible Verformung.

Jenseits der Proportionalitätsgrenze der Elastizitätstheorie treten verschiedene Formen von anelastischem Verhalten auf:

  • elastischen Hysterese: bei kompletter Entlastung bleibt eine Verformung, die aber durch eine Gegenspannung wieder rückgängig gemacht werden kann.
  • Plastizität: eine nach Krafteinwirkung bleibende irreversible Formveränderung (Beispiel: Knetmasse).
  • eine weitere Dehnung trotz teilweiser Entlastung wird als Fließen bezeichnet.
  • auch ein Bruch des Werkstücks ist meist mit einem elastischen Anteil verbunden, d. h. ein Teil der Dehnung (der Bruchstücke) geht nach dem Bruch wieder zurück.

Bekannte Wissenschaftler, die an der Entwicklung der Plastizitätstheorie beteiligt waren, waren zum Beispiel Barré de Saint-Venant und sein Schüler Maurice Lévy, sowie Ludwig Prandtl, Richard von Mises, Eugene Cook Bingham, Henri Tresca, Arpad Nadai, Heinrich Hencky, William Prager, Theodore von Kármán, Hilda Geiringer, Rodney Hill, Daniel Drucker, Wadim Sokolowski, Erastus Lee, Horst Lippmann und Lazar Katschanow (L. M. Kacanov).

Die plastische Deformation

In realen Medien ist jede Deformation nur bis zu einer gewissen Grenze elastisch. Wird diese Grenze überschritten, so tritt bei duktilen Materialien plastische Deformation (Plastisches Fließen) auf. Bei der plastischen Deformation kehrt der Körper mit dem Ausbleiben der für die Deformation verantwortlichen mechanischen Belastung nicht wieder in seine Ausgangsform zurück. In diesem Fall genügt die Angabe der Positionen von Punkten des Festkörpers nicht mehr zur Kennzeichnung des Zustands des Festkörpers, sondern es muss auch der Prozess berücksichtigt werden, d. h. $ \tilde\epsilon $ ist in diesem Fall keine Zustandsgröße.

Im allgemeinen Fall kann die Deformation durch $ \tilde\epsilon $ angegeben werden. Die Gesamtdeformation $ \tilde\epsilon $ setzt sich aus einem elastischen Anteil $ \tilde\epsilon^{\,\rm E} $, einem plastischen Anteil $ \tilde\epsilon^{\,\rm P} $ und dem temperaturbedingten Anteil zusammen:

$ \tilde\epsilon = \tilde\epsilon^{\,\rm E} + \tilde\epsilon^{\,\rm P} + \alpha \cdot T \,. $

Elastisch-plastisches Materialverhalten kann beschrieben werden durch eine Fließbedingung, ein Fließgesetz, und ein Verfestigungsgesetz.

Fließbedingung

Die Fließbedingung legt all diejenigen mehrachsigen Spannungszustände fest, an denen das Material plastisch fließt. Es ist üblich, die Fließbedingung als eine konvex gekrümmte Fläche im Spannungsraum anzugeben, die Fließortfläche heißt. Für Spannungszustände innerhalb des von der Fließortfläche umschlossenen Raums deformiert das Material rein elastisch. Liegt der aktuelle Spannungszustand auf der Fließortfläche, so kann plastisches Fließen eintreten. Spannungszustände außerhalb des umschlossenen Raums sind bei elasto-plastischen Materialverhalten unmöglich.

Gebräuchliche Fließbedingungen für metallische Werkstoffe wurden von Huber, von Mises und Tresca formuliert. Ihnen liegt die Annahme isotropen Verhaltens zu Grunde.

Die Fließbedingung nach R. v. Mises lautet:

$ 0 = \frac{3}{2} \tilde{s}^T\cdot\tilde{s} - k_{\rm f}^2 $,

wobei $ \tilde{s} $ den Spannungsdeviator und $ k_{\rm f} $ die Streckgrenze bezeichnet. Der Spannungsdeviator ist der um den hydrostatischen Anteil reduzierte Spannungstensor

$ \tilde{s}=\sigma-p\cdot e\, $ mit $ \ p = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{3} $ und $ e $ als Identitätstensor.

Nach Tresca ist die Fließbedingung:

$ 0 = \frac{\sigma_I-\sigma_{II}}{2}- k $,
$ k_f = \sigma_I-\sigma_{II} $

mit $ \sigma_I $ und $ \sigma_{II} $ der größten bzw. kleinsten Hauptnormalspannung. Für eine graphische Interpretation der Trescaschen Regel können die Mohrschen Spannungskreise herangezogen werden.

Beide Formulierungen werden häufig angewendet. Die Regel von v. Mises ist im allgemeinen Fall einfach anzuwenden. Wenn die Lage des Hauptachsensystems bekannt ist, wird oft mit der Trescaschen Regel gerechnet. Für numerisches Rechnen hat diese die Nachteile, dass jeweils eine Hauptachsentransformation nötig ist und dass die Fließortfläche nicht stetig differenzierbar ist.

Fließgesetz

Das Fließgesetz bestimmt die plastischen Verzerrungsinkremente. Im Falle assoziierter Plastizität ist dieses Inkrement coaxial zum Normalenvektor der Fließortfläche am aktuellen Spannungsort. Die Größenordnung des Inkrements bestimmt der skalarwertige plastische Multiplikator.

Im Falle nicht-assoziierter Plastizität bedient man sich zur Festlegung der plastischen Verzerrungsrichtung häufig eines für diesen Zweck definierten plastischen Potentials. Man kann den assoziierten Fall also auch als den Spezialfall auffassen, bei dem plastisches Potential und Fließbedingung dieselbe Fläche im Spannungsraum projizieren.

Verfestigungsgesetz

Das Verfestigungsgesetz legt fest, auf welche Weise die Fließbedingung während des Fließens modifiziert wird. Idealisiert kann von zwei unterschiedlichen Verfestigungsverhalten ausgegangen werden, dem isotropen und kinematischen Verfestigen.

Durch isotropes Verfestigen kann das Materialverhalten beschrieben werden, wenn es von der vorhergehenden Belastungsrichtung unabhängig ist, bzw. wenn sich die Belastungsrichtung nicht ändert. Das isotrope Verfestigen wird durch Expansion der Fließortfläche ausgedrückt. Das heißt, die Streckgrenze $ k_f $ steigt abhängig von der aufgebrachten Verformung um einen gewissen Betrag an.

Durch kinematisches Verfestigen kann zum Beispiel der Bauschingereffekt beschrieben werden, d.h. die Elastizitätsgrenze ist bei Belastung in Gegenrichtung deutlich niedriger als während der vorherigen Belastung. Dieses Phänomen kann durch Verschieben der Fließortfläche beschrieben werden. Die Streckgrenze $ k_f $ bleibt dabei konstant, es verändert sich nur der „Mittelpunkt des Fließorts“ (back stress) $ \tilde{a} $. In der Fließregel muss dann die Fließspannung durch die „reduzierte Spannung“ $ \hat{\tilde s}=\tilde\sigma-\tilde{a} $ ersetzt werden.

Fließen

Die Deformation findet nicht homogen im gesamten Material, sondern nur an energetisch bevorzugten Kristallbaufehlern wie Versetzungen, Phasengrenzen und amorphen Einlagerungen statt. Des Weiteren ist die plastische Verformung von der Temperatur und Dehnrate abhängig. Das Fließverhalten kann mit einer Vielzahl von konstitutiven Werkstoffgesetzen beschrieben werden. Hierfür existieren empirische und metallphysikalisch basierte Modelle.

Elementare Plastizitätstheorie

Die Modellvorstellung betrachtet zunächst einen kleinen Würfel an dessen paarweise zusammengehörigen gegenüberliegenden Flächen je eine Spannung in beliebiger Richtung und Größe angreift. Jede dieser drei Spannungen lässt sich nun in ihrer zugehörigen Fläche in je eine Normalspannung und in je zwei Tangentialspannungen (Schubspannungen) zerlegen. Mathematisch entsteht somit der aus insgesamt neun Elementen bestehende Spannungstensor.

Wird nun dieser Würfel etwas in seiner Lage verändert, so ändert sich an den angreifenden Spannungen nichts, jedoch wird sich die Aufteilung in die Normal- und Schubspannungen verändern. Es lässt sich nun zeigen, dass es eine Lage gibt, bei der die Normalspannungen je einen Maximalwert erreichen und die Schubspannungen alle verschwinden. Zu erkennen ist diese Lage an den Wirkungen der Spannungen. Normalspannungen bedingen Längenänderungen und Schubspannungen Winkeländerungen. Wenn sich zumindest die Modellvorstellung für eine Verzerrung (Umformung) nur aus Längenänderungen zusammensetzen lässt, kann angenommen werden, dass diese für die weitere mathematische Behandlung günstige Lage gegeben ist. (Aus einem Quader vor der Umformung entsteht wieder ein Quader nach der Umformung; parallelepipedische Umformung).

Man nennt diesen Zustand auch „Hauptspannungszustand“ und die übrig gebliebenen Längsspannungen „Hauptspannungen“. Es wird dann von der elementaren Plastizitätstheorie gesprochen.

Anwendung

Die elementare Plastizitätstheorie hat breite Anwendung bei der bildsamen Formgebung von Metallen insbesondere in der Massivumformung gefunden. Dabei besteht zunächst ein Widerspruch, da Metalle kristallin, also strukturiert aufgebaut sind. Diese Anisotropie besteht jedoch nur im mikroskopisch sehr kleinen Bereich der „Körner“ (Größenordnung etwa um 50 µm in jeder Richtung), die wiederum auf Grund der Art ihrer Entstehung aus dem flüssigen (Guss-)Zustand in ihrer Orientierung völlig regellos durcheinander liegen. Im Ergebnis ergibt sich damit für einen in der Umformtechnik praktisch immer vorhandenen makroskopischen Körper ein scheinbar gleichmäßiger Aufbau (Quasi-Isotropie).

Literatur


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