Oszillatormodell

Oszillatormodell

Das Oszillatormodell ist ein Modell zur Beschreibung der Streuung von Licht an Atomen.

Dazu geht man von einem externen harmonischen elektrischen Feld aus:

$ \vec E(t) = \vec E_0 \cdot e^{-i\omega t} $

Auf ein Elektron im Atom wirkt dann die Kraft

$ \begin{align} \vec F & = q \cdot \vec E(t)\\ & = -e \cdot \vec E(t) \end{align} $

mit der Elementarladung $ e $.

Als Bewegungsgleichung setzt man die eines gedämpften harmonischen Oszillators an:

$ m_e \cdot \ddot{\vec{r}} + m_e \cdot \Gamma \cdot \dot{\vec{r}} + m_e \cdot \omega_0^2 \cdot \vec r = -e \cdot \vec E(t) $

mit

  • der Masse $ m_e $ des Elektrons
  • der Dämpfung $ \Gamma $ (Atomstöße, Strahlungsverluste etc.)
  • der Eigenfrequenz $ \omega_0 $.

Nach einiger Zeit sind die Einschwingprozesse abgeklungen und die Elektronen schwingen mit der Kreisfrequenz $ \omega $ des erregenden externen Feldes. Für diese inhomogene Lösung machen wir den Ansatz:

$ \vec r_\mathrm{inhom}(t) = \vec a \cdot e^{-i\omega t} $

mit der (konstanten) komplexen Amplitude $ \vec a $.

Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, so erhält man für das atomare Dipolmoment:

$ \begin{align} \vec p(t) & = \alpha_e(\omega) \cdot \vec E(t)\\ & = \frac{e^2/m_e}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \, \Gamma \, \omega} \cdot \vec E(t) \end{align} $

mit der elektrischen Polarisierbarkeit $ \alpha_e $.

Wirkungsquerschnitte

Aus diesen Überlegungen erhält man den differentiellen Wirkungsquerschnitt für die Streuung von Licht:

$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{e^2}{m_e \, c^2} \right)^2 \cdot \frac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2} \cdot \sin^2\theta $

Hierbei ist $ \theta $ der Winkel zwischen Dipolmoment und Beobachtungspunkt. Dies hat die Form einer Resonanzkurve.

Daraus ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt zu:

$ \sigma(\omega) = \frac{8 \pi}{3} \cdot \left( \frac{e^2}{m_e \, c^2} \right)^2 \cdot \frac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2} $

Daraus ergeben sich folgende Grenzfälle:

Siehe auch

  • Lorentz-Oszillator

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