Normalschwingungen

Drei monopolare Normalschwingungen einer kreisrunden Membran.
Oben die (0,1)-Mode, ...
... in der Mitte die (0,2)-Mode ...
... und unten die (0,3)-Mode.

Die Normalschwingungen in einem oszillierenden System sind voneinander linear unabhängige Schwingungszustände. Dieses Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Mechanik, der Optik, der Quantenmechanik und der Kristallographie.

Jede harmonische Schwingung eines Systems, auch wenn es Impulse abgibt (z. B. modengekoppelter Laser), kann z. B. mittels der Fouriertransformation aus einer Linearkombinationen seiner Normalschwingungen beschrieben werden. Dazu wird das zugehörige gekoppelte mehrdimensionale Schwingungsproblem gelöst, indem man die Bewegungsgleichungen seiner gekoppelten Oszillatoren zunächst in Form eines Systems von Differentialgleichungen

$ \ddot x_i = \sum_j A_{ij} \cdot x_j $

modelliert. Dadurch reduziert sich das Problem auf ein Eigenwertproblem der linearen Algebra. Die Normalschwingungen sind dann durch die Eigenvektoren der Matrix $ A $ und die Normalfrequenzen durch die Eigenwerte gegeben.

Die Normalkoordinaten geben an, zu welchem Anteil eine Schwingung aus den durch die Eigenvektoren dargestellten Normalschwingungen besteht.

Zum Ermitteln der Normalschwingungen kann das Verhalten bei Anregung mit variablen Frequenzen untersucht werden.

Normalschwingungen von Molekülen

Ein gewinkeltes N-atomiges Molekül hat $ 3N $ Freiheitsgrade und davon sind $ 3N - 6 $ Normalschwingungen, ein lineares Molekül hat $ 3N - 5 $ Normalschwingungen. Die Symmetrien dieser Molekülschwingungen können durch die gruppentheoretischen Charaktertafeln beschrieben werden. Eine Normalschwingung stellt eine Basis für eine irreduzible Darstellung der Punktgruppe des schwingenden Moleküls dar. Die Frequenz $ f $ bzw. die Wellenzahl $ \nu $ der jeweiligen Normalschwingung berechnet sich dem Modell des harmonischen Oszillators nach:

$ f = \nu \cdot c = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{\mu}} $

wobei

Normalkoordinaten

Wird z. B. die Bewegungsgleichung für die Schwingungen der Atome in einem Molekül gelöst, so beschreiben die Normalkoordinaten diese Schwingungen als Abweichungen der Atome von den Gleichgewichtslagen im Ruhesystem des Moleküls, wobei sich der Schwerpunkt nicht verändert.

Durch die Transformation von kartesischen zu Normalkoordinaten werden die Schwingungsgleichungen entkoppelt und zugleich gelöst. Im Gegenzug (Rücktransformation) können die Normalschwingungen bei einem N-atomigen Molekül mit Hilfe eines 3N-dimensionalen kartesischen Vektors dargestellt werden.

Beispiele

  • Kohlenmonoxid hat nur eine Schwingung, nämlich eine Streckschwingung: ↔ 12C-16O ↔

Damit sich der Schwerpunkt des Moleküls nicht verschiebt, muss 12C sich (16/12)-mal so weit wie 16O von der Gleichgewichtsposition wegbewegen.

  • Bei Wasserstoff können sich beide H-Atome nur gleich weit vom Schwerpunkt entfernen.

Wenn gerade die Hälfte eines Schwingungsvorgangs erfolgt ist, wäre Q = 1/2.

Normalschwingungen in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch eine Wellenfunktion $ \psi(x,t) $ beschrieben, die eine Lösung der Schrödingergleichung darstellt. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion

$ \ P(x,t) = |\psi (x,t)|^2 $

ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen an einem Ort x zur Zeit t wahrzunehmen.

Normalerweise wird, wenn man irgendeine Art von Potential einführt, die Wellenfunktion in eine Superposition (Linearkombination) von Eigenzuständen zerlegt, wobei jeder Eigenzustand mit einer Frequenz $ \omega = E_n / \hbar $ oszilliert und einer Normalschwingung entspricht. Deshalb schreibt man

$ |\psi (t) \rang = \sum_n |n \rang \left \langle n | \psi (t=0) \right \rangle e^{-i E_n t/\hbar} $

mit

Siehe auch

Literatur