Multipolentwicklung

Als Multipolentwicklung versteht man die Reihenentwicklung eines Potentials, bei der verschiedene Multipol-Momente auftreten. Man unterscheidet zwischen kartesischer und sphärischer Multipolentwicklung. Multipolentwicklungen spielen insbesondere in der Elektrostatik und der Magnetostatik eine große Rolle, können aber auch auf andere Felder – z. B. bei der Inversion des Schwerefeldes – angewandt werden.

Kartesische Multipolentwicklung

Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird $ 1/|{\mathbf r - \mathbf r'}| $ in eine Taylorreihe von $ \mathbf r' $ um $ \mathbf r'=\mathbf 0 $ entwickelt. Die Multipolentwicklung trennt bei den einzelnen Summanden der Entwicklung den Ort $ \mathbf r $ und die von der Ladungsverteilung $ \rho(\mathbf{r}') $ abhängigen Größen (Momente) voneinander.

$ \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\mathbf{r}'\cdot\nabla_{\bar{\mathbf{r}}}\right)^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|}\right|_{\bar{\mathbf{r}}=0} $

Dabei bedeutet $ \nabla_{\bar{\mathbf{r}}} $, dass der Nablaoperator nur auf $ \bar{\mathbf{r}} $ und nicht auf $ \mathbf{r} $ wirkt. Nach Bilden der Ableitung $ \nabla_{\bar{\mathbf{r}}}^{n}(1/\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|) $ wird diese an der Stelle $ \bar{\mathbf{r}}=0 $ ausgewertet. Die Taylorentwicklung lässt sich umformen mittels Substitution $ \mathbf{u}=\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}} $ und damit $ \nabla_{\mathbf{u}}=-\nabla_{\bar{\mathbf{r}}} $:

$ \nabla_{\bar{\mathbf{r}}}^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\bar{\mathbf{r}}\right|}\right|_{\bar{\mathbf{r}}=0}=(-\nabla_{\mathbf{u}})^{n}\left.\frac{1}{\left|\mathbf{u}\right|}\right|_{\mathbf{u}=\mathbf{r}}=(-\nabla_{\mathbf{r}})^{n}\frac{1}{\left|\mathbf{r}\right|}=(-\nabla)^{n}\frac{1}{r} $

Somit vereinfacht sich die Entwicklung zu:

$ \begin{align} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|} & =\sum\limits _{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\mathbf{r}'\cdot\nabla\right)^{n}\frac{1}{r}\\ & =\frac{1}{r}-\mathbf{r}'\cdot\nabla\frac{1}{r}+\frac{1}{2}\mathbf{r}'\cdot\nabla\nabla\frac{1}{r}\cdot\mathbf{r}'+O(r'^{3})\end{align} $

In Komponentenschreibweise lauten die ersten Glieder der Entwicklung (es wird Summenkonvention verwendet):

$ \begin{align} \frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|} &= \frac{1}{\sqrt{(x_{k}-x_{k}^{\prime})(x_{k}-x_{k}^{\prime})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}-x_{i}^{\prime}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}+\frac{1}{2}x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}+O(x_{i}^{\prime3}) \end{align} $

Bei der zugrundeliegenden Taylorentwicklung muss beim Summanden n-ter Ordnung ein Tensor n-ter Stufe, nämlich $ \nabla^n (1/r) $, berechnet werden. Hierbei ist in erster Ordnung

$ \frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}=-\frac{1}{2}\frac{2x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=-\frac{x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=-\frac{x_{i}}{r^{3}} $
$ \nabla \frac{1}{r} = - \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} $

und in zweiter Ordnung

$ \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}}=-\frac{\partial}{\partial x_{i}}(\frac{1}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}x_{j})=-(-\frac{3}{2})\frac{2x_{i}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{5}}x_{j}-\frac{\delta_{ij}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{3}}=\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{\sqrt{x_{k}x_{k}}^{5}}=\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{r^{5}} $
$ \nabla \nabla \frac{1}{r} = - \nabla \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} = - \left( \mathbf r{\nabla \frac{1}{{r^3 }}} + \frac{1}{{r^3 }}\nabla \mathbf r \right) = - \left( {-3 \frac{\mathbf r}{{r^5 }}} \right)\mathbf r - \frac{1}{{r^3 }}E = 3\frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }} - \frac{{r^2 }}{{r^5 }}E $,

wobei $ E $ die Einheitsmatrix und $ \mathbf r\mathbf r $ ein dyadisches Produkt ist.

Damit lassen sich die ersten drei Glieder der Entwicklung schreiben als

$ \frac{1}{r}+x_{i}^{\prime}\frac{x_{i}}{r^{3}}+\frac{1}{2}x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}\frac{3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta_{ij}}{r^{5}}=\frac{1}{r}+\frac{x_{i}}{r^{3}}x_{i}^{\prime}+\frac{1}{2}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}(3x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}-x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}\delta_{ij}) $
$ \frac{1}{r} + \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} \cdot \mathbf r' + \frac{1}{2} \mathbf r' \cdot \left( {3\frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }} - \frac{{r^2 }}{{r^5 }}E} \right) \cdot \mathbf r' = \frac{1}{r} + \frac{{\mathbf r}}{{r^3 }} \cdot \mathbf r' + \frac{1}{2} \frac{{\mathbf r\mathbf r}}{{r^5 }}:\left( {3\mathbf r'\mathbf r' - r'^2 E} \right) $,

wobei $ : $ ein doppeltes inneres Produkt bezeichnet. Zudem wurde $ x_{i}^{\prime}x_{j}^{\prime}x_{l}x_{l}\delta_{ij}=x_{i}^{\prime}x_{i}^{\prime}x_{l}x_{l}=x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}x_{i}x_{i}=x_{l}^{\prime}x_{l}^{\prime}x_{i}x_{j}\delta_{ij}=r^{\prime2}x_{i}x_{j}\delta_{ij} $ verwendet.

Einsetzen liefert das Potential (hier das elektrische Potential), wo die Momente direkt abgelesen werden können.

$ \begin{align} \Phi\left(\mathbf{r}\right) & =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigg[\frac{1}{r}\underbrace{\int\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{{\rm \text{Monopol-}}}+\frac{x_{i}}{r^{3}}\underbrace{\int x_{i}'\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{\text{Dipol-}}+\frac{1}{2}\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}\underbrace{\int\left(3x_{i}'x_{j}'-r'^{2}\delta_{ij}\right)\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}_{\text{Quadrupolmoment}}+ \dots \bigg]\\ & =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigg[\frac{1}{r}\overbrace{\int\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\cdot\overbrace{\int\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+\frac{1}{2}\frac{\mathbf{r}\mathbf{r}}{r^{5}}\overbrace{\int\left(3\mathbf{r}'\mathbf{r}'-r'^{2}E\right)\rho(\mathbf{r}')d^{3}r'}+ \dots \bigg]\end{align} $

Elektrostatik

Das Elektrostatische Potential lässt sich mit der Ladungsverteilung $ \rho(\vec r) $ an jedem Ort $ \vec r $ über folgende Formel beschreiben:

$ \Phi(\mathbf r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \int \frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|} \, d^3r', $

für n einzelne Punktladungen auch durch die Summe der Beiträge der einzelnen Punktladungen:

$ \Phi(\mathbf r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \sum_i \frac{q_i}{\left| \mathbf r - \mathbf r_i \right|}, $

jeweils mit der elektrischen Feldkonstante $ \varepsilon_0. $

Anstatt das Potential durch n einzelne Ladungen $ q_i $ und Koordinaten $ \vec{r} $ zu beschreiben, kann man die Multipolentwicklung durchführen:

$ \Phi(\mathbf r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r} + \frac{\mathbf r \cdot \mathbf p}{r^3} + \frac{1}{2} \sum_{k,l} Q_{kl} \frac{r_k \cdot r_l}{r^5}+ \dots \right). $

Aus mathematischer Sicht ist diese eine Taylorentwicklung des Faktors $ 1/|{\mathbf r - \mathbf r'}| $ um $ \mathbf r' = \mathbf 0 $ nach kartesischen Koordinaten (x,y,z).

Ihre Entwicklungskoeffizienten, die Multipolmomente Q, p und $ Q_{kl} $, lassen sich auch physikalisch deuten:

  • Das Monopolmoment $ Q = \sum_{i=1}^{n} q_i $ bzw. $ = \int \rho(\mathbf r') \cdot d^3r' $ für kontinuierliche Ladungsverteilungen
ist ein Skalar und entspricht der Gesamtladung der Ladungsverteilung. Sein Potential
$ \Phi_\text{Monopol} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r} $ fällt über dem Abstand am schwächsten (linear) ab und ist daher für große Abstände $ \vec{r} \gg \vec r_i $ dominierend.
  • Das Dipolmoment $ \mathbf p = \sum_{i=1}^{n} q_i \mathbf r_i $ bzw. $ = \int \rho(\mathbf r') \cdot \mathbf r' \cdot d^3r' $ für kontinuierliche Ladungsverteilungen
ist ein Vektor und tritt auf, wenn Ladungsschwerpunkte nicht mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen (eindrückliches Beispiel: zwei getrennte Ladungen +q und -q). Das Dipolpotential
$ \Phi_\text{Dipol} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\mathbf p \cdot \mathbf r}{r^3} $ ist schwächer als das Monopolpotential, da es mit dem Abstand quadratisch abfällt.
  • Das Quadrupolmoment $ Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_{ik} \, r_{il} - (r_i)^2 \, \delta_{kl}) $ bzw. $ Q_{kl} = \int \rho(\mathbf r') \cdot (3r'_k \, r'_l - (r')^2 \, \delta_{kl}) \cdot d^3r' $ für kontinuierliche Ladungsverteilungen
ist ein spurfreier symmetrischer Tensor zweiter Stufe (eine Matrix), wobei
  • $ r_{ik} = \vec r(i) \cdot \vec e_k $ mit dem Einheitsvektor $ \vec e_k $
  • $ \delta_{kl} $ das Kronecker-Delta ist.
  • und höhere Multipolmomente (Oktupolmomente usw.).

Sphärische Multipolentwicklung

Das elektrostatische Potential lautet

$ \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int d^3r'\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} $.

Der Abstand lässt sich mittels Skalarprodukt im Nenner umformen zu:

$ \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{\mathbf{r}^{2}+\mathbf{r}^{\prime2}-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}^{\prime}}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+{r^{\prime}}^{2}-2r\, r^{\prime}\cos\alpha}}=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{2}-2\frac{r^{\prime}}{r}\cos\alpha}}=\frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}} $

Es wurden die Abkürzungen $ x = \frac{r^\prime}{r} $ und $ y = \cos \alpha $ eingeführt. Nun entwickelt man obige Gleichung in eine Taylorreihe um $ x = 0 $:

$ \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}}=\frac{1}{r}\bigg[\underbrace{1}_{P_0(y)}+\underbrace{y}_{P_1(y)}\,x +\underbrace{\left(\frac{3}{2}y^2-\frac{1}{2}\right)}_{P_2(y)}x^2+\underbrace{\left(\frac{5}{2}y^3-\frac{3}{2}y\right)}_{P_3(y)}x^3+\ldots \bigg]=\frac{1}{r}\sum_{l=0}^\infty P_l(y)x^l $

Dabei wurden die Legendre-Polynome $ P_l(y)=P_l(\cos\alpha) $ benutzt. Diese sind für $ |x|<1 $ definiert als die Entwicklungskoeffizienten der Taylorreihe von $ (1+x^2-2yx)^{-1/2} $ um $ x=0 $:

$ \frac{1}{\sqrt{1+x^2-2y\,x}}=\sum_{l=0}^\infty P_l(y)x^l $

Die Entwicklung lautet also:

$ \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}\,'|}=\sum_{l=0}^\infty P_l(\cos\alpha)\frac{r^{\,\prime\,l}}{r^{l+1}} $

Da $ \alpha $ der Winkel zwischen $ \mathbf r=\mathbf r(r,\theta,\varphi) $ und $ \mathbf r^\prime=\mathbf r^\prime(r^\prime,\theta^\prime,\varphi^\prime) $ ist, kann man nun das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen benutzen, welches durch

$ P_l(\cos\alpha)=\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^l Y_{lm}^*(\theta^\prime,\varphi^\prime)Y_{lm}(\theta,\varphi) $

gegeben ist. Eingesetzt ergibt sich für das elektrostatische Potential

$ \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}Y_{lm}(\theta,\varphi)\frac{1}{r^{l+1}} \int d^3r^\prime\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\rho(\mathbf r^\prime){r^\prime}^l Y_{lm}^*(\theta^\prime,\varphi^\prime) $.

Nun wird das sphärische Multipolmoment $ q_{lm} $ definiert als

$ q_{lm}=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}^{l}\, Y_{lm}^{*}(\theta^{\prime},\varphi^{\prime})=\sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\,\int_{0}^{\infty}dr'\int_{0}^{\pi}d\theta'\int_{0}^{2\pi}d\varphi'\,\rho(r',\theta',\varphi')\,\sin(\theta')\,{r^{\prime}}^{l+2}\, Y_{lm}^{*}(\theta^{\prime},\varphi^{\prime}) $.

Damit ergibt sich für das elektrostatische Potential die sphärische Multipolentwicklung

$ \Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{l=0}^\infty \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}} \sum_{m=-l}^l Y_{lm}(\theta,\varphi)\frac{q_{lm}}{r^{l+1}} $.

Elektrostatik

Für die nullte und erste Ordnung der sphärischen Multipolmomente der Elektrostatik werden explizit angegeben ($ p_{x,y,z} $ bezeichnet die Komponenten des Dipolmoments, siehe dafür weiter oben, und $ Q $ die Gesamtladung der Ladungsverteilung):

$ q_{0,0}=\sqrt{\frac{4\pi}{1}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,\sqrt{\frac{1}{4\pi}}=\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})=Q $
$ q_{1,1}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\left(-\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\right)\sin{\theta'}\, e^{-i\varphi'}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sin{\theta'}\, e^{-i\varphi'} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\,(p_x\,-\,i\,p_y) $
$ q_{1,0}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos{\theta'}=\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\cos{\theta'} = p_z $
$ q_{1,-1}=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin{\theta'}\, e^{i\varphi'}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\int d^{3}r^{\prime}\,\rho(\mathbf{r}^{\prime})\,{r^{\prime}}\,\sin{\theta'}\, e^{i\varphi'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,(p_x\,+\,i\,p_y) $

Umrechnung

Man sieht, dass für das kartesische Monopolmoment gilt:

$ Q = q_{0,0} \ . $

Für das kartesische Dipolmoment $ \mathbf p $ gilt dann jedoch

$ p_z = q_{1,0} \ , $
$ p_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -q_{1,+1}+q_{1,-1} \right) \ , $
$ p_y = \frac{1}{\sqrt{2}i} \left( q_{1,+1}+q_{1,-1} \right) \ . $

Magnetostatik

Das Vektorpotential

$ \mathbf A(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{\mathbf j(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|} \, d^3r' $

mit der magnetischen Feldkonstante $ \mu_0 $ hat kein Monopolmoment.

Literatur