Momentanpol

Momentanpol

Koppelgetriebe: Der momentane Bewegungs-zustand der Koppel (blau), läßt sich auf eine Drehung um den Momentanpol P reduziereren. Die Geschwindigkeitsvektoren v in den Punkten A, B und C stehen senkrecht auf den Strahlen von P zu den Punkten, was P eindeutig bestimmt. Die Geschwindigkeit ist proportional zum Abstand zu P.

Der Momentanpol ist bei einer ebenen Bewegung eines starren Körpers derjenige Raumpunkt, um den der Körper im Moment (Zeitpunkt, infinitesimal) als nur drehend angesehen und behandelt werden kann. Die Geschwindigkeit im Momentanpol ist im betrachteten Augenblick null oder wäre es, wenn sich der Starrkörper bis zum Momentanpol ausdehnte, siehe Bild.

Werden die während einer Bewegung auftretenden Momentanpole markiert, entsteht im raumfesten Bezugssystem die Rastpolbahn und im Bezugssystem des bewegten Körpers die Gangpolbahn. Die Gangpolbahn rollt auf der Rastpolbahn gleitungslos ab.

Der Momentanpol ist eine in der Kinematik gebrauchte Abstraktion, mit der in der Getriebetechnik, der Robotik und bei der Auslegung von Radführungen von Automobilen gearbeitet wird.

Historisches

Michel Chasles[1] formulierte 1830 (wie er selbst vermutete, erstmals) den Satz:

„Quand on a dans l'espace un corps solide libre, si on lui fait éprouver un déplacement fini quelconque, il existera toujours dans ce corps une certaine droite indéfinie, qui, aprés le déplacement, se retrouvera au méme lieu qu'auparavant“

(französisch für: Wenn man im Raum einen freien Starrkörper hat und wenn man ihn beliebig aber endlich bewegt, wird es in diesem Körper immer eine gewisse unvorherbestimmte Gerade geben, die sich, nach der Verschiebung, an derselben Stelle wiederfindet wie zuvor.)

Diese Beschreibung trifft bei einer infinitesimalen Bewegung auf den Momentanpol zu. Giulio Mozzi beschäftigte sich jedoch bereits 1763 mit Starrkörperbewegungen.[2]

Konstruktion des Momentanpols

Wenn sich bei einem auf vier Rädern rollenden Starrkörper alle Radachsen im Momentanpol M treffen, kann sich der Körper ohne Gleiten der Räder in der Ebene bewegen.
Die Geschwindigkeitsvektoren der Hinterachsräder sind als rote Pfeile eingezeichnet.

Bei einer Rotation ist die Geschwindigkeit jedes Punktes senkrecht zur Verbindung dieses Punktes mit der Drehachse (Momentanpol). Der Momentanpol lässt sich bestimmen, wenn von zwei Punkten die Geschwindigkeiten bekannt sind.

  1. Wenn beide Geschwindigkeiten in Betrag und Richtung gleich sind, handelt es sich um eine reine Translation, und der Momentanpol liegt im Unendlichen in Richtung der Senkrechten auf den beiden Geschwindigkeitsvektoren.
  2. Wenn die Geschwindigkeitsrichtungen beider Punkte nicht parallel sind, wie bei den Radmitten der beiden Vorderräder im Bild, dann ist der Schnittpunkt der Senkrechten auf die Geschwindigkeitsvektoren in den beiden Punkten der Momentanpol.
  3. Wenn die Geschwindigkeiten beider Punkte parallel sind, aber - wie bei den Hinterrädern im Bild - verschiedenen Betrag haben, ist der Momentanpol der Schnittpunkt der Verbindungslinie beider Punkte und der Verbindungslinie der Spitzen beider Geschwindigkeitsvektoren.

Alternativ zu dieser Konstruktion kann die Lage des Momentanpols auch berechnet werden, siehe Rastpol- und Gangpolbahn.

Definition

Jede Starrkörperbewegung lässt sich in eine Translation und eine Rotation zerlegen, was M. Chasles[1] 1830 ebenfalls bemerkte. Die Translation wird mit dem zeitabhängigen Bezugspunkt $ \vec{s}(t) $ vorgegeben, für den sich jeder bewegte (oder auch ruhende) Punkt und auch der Schwerpunkt des Starrkörpers eignet. Die Rotation erfolgt um eine Drehachse, die in Richtung des Drehgeschwindigkeitsvektors $ \vec{\omega}(t) $ weist, dessen Frobeniusnorm die Drehgeschwindigkeit angibt. Die Geschwindigkeit eines an einem Ort $ \vec{x} $ befindlichen Partikels ist bei einer Starrkörperbewegung mit

$ \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t) + \vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr) $

gegeben. Das Rechenzeichen „ד bildet das Kreuzprodukt und $ \dot{\vec{s}}(t) $ ist die Geschwindigkeit des Bezugspunktes. Der Momentanpol ist nun ein Raumpunkt $ \vec{m}(t) $, in dem sich das Geschwindigkeitsfeld momentan als reine Drehung darstellt:

$ \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t) + \vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr) \stackrel{\displaystyle !}{=} \vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{x}-\vec{m}(t)\bigr)\,. $ 
 
 (Definition)
 

Mit diesem Punkt sind auch alle Punkte auf der Geraden $ \vec{m}+\lambda\vec{\omega} $ mit $ \lambda\in\R $ Momentanpole. Skalare Multiplikation der Geschwindigkeit mit dem Drehgeschwindigkeitsvektor offenbart

$ \vec{v}(\vec{x},t)\cdot\vec{\omega}(t) = \dot{\vec{s}}(t)\cdot\vec{\omega}(t) = \vec{\omega}(t)\cdot\left[\vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{x}-\vec{m}(t)\bigr)\right] =0\,, $

d. h. die Geschwindigkeit des Bezugspunktes muss senkrecht zur Drehachse sein, damit es einen Momentanpol geben kann. Momentan muss die Bewegung mithin – wie eingangs erwähnt – eine ebene sein.

Wenn die Drehgeschwindigkeit verschwindet, dann ist die Geschwindigkeit wegen $ \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t) $ nicht vom Ort abhängig und daher gleichförmig. Die Definitionsgleichung

$ \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t)\stackrel{\displaystyle !}{=} \vec{0}\times\bigl(\vec{x}-\vec{m}(t)\bigr)=\vec{0} $

enthält dann gar keine Definition mehr und der Momentanpol ist mithin nicht definiert. Gelegentlich wird der Momentanpol bei einer gleichförmigen Bewegung in einen unendlich fernen Punkt auf der in der Ebene liegenden Senkrechten an die Bewegungsrichtung verschoben, was bei endlich ausgedehnten Starrkörpern probat ist.

Paradoxon des sich bewegenden Momentanpols

Der Momentanpol ist von der Zeit abhängig und kann daher durch den Raum wandern. Andererseits verschwindet jederzeit die Geschwindigkeit im Momentanpol:

$ \vec{v}(\vec{m}(t),t) = \vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{m}(t)-\vec{m}(t)\bigr)=\vec{0}\,, $

was auch namensgebend für den Momentanpol ist. Wie kann sich aber etwas bewegen, das stillsteht?

Eine Ursache dieses scheinbaren Widerspruchs liegt in der Identifikation eines Partikels mit dem Raumpunkt, an dem es sich befindet. Das mit eulerscher Betrachtungsweise formulierte Geschwindigkeitsfeld $ \vec{v}(\vec{x},t) $ gibt die Geschwindigkeit eines sich im Ort $ \vec{x} $ befindlichen Partikels an und entsprechend ist $ \vec{v}(\vec{m},t) $ die Geschwindigkeit des im Momentanpol stillstehenden Partikels. Der Momentanpol ist aber nicht dieses Partikel, sondern nur der geometrische Ort, an dem es sich befindet. Der Momentanpol ist – genauso wie der Bezugspunkt oder die Drehachse – ein Parameter der Bewegung, der ein geometrisches Objekt repräsentiert. Der Momentanpol verweist wie ein Zeiger auf einen Raumpunkt und in diesem Raumpunkt herrscht, sofern sich dort etwas befindet, Stillstand. Dieser Raumpunkt muss auch nicht notwendigerweise im Starrkörper liegen. Der Momentanpol ist also nicht an Partikel gebunden und kann fließend durch die Ebene schweifen solange die Partikel im Momentanpol nur augenblicklich anhalten (Wenn ein Partikel stehen bleibt, dann befindet sich dort genauso solange auch der Momentanpol).

Eine zweite Ursache des Paradoxons liegt in den unterschiedlichen Bewegungsweisen der Partikel und des Momentanpols begründet. In der klassischen Mechanik ist der Raum absolut, unveränderlich und unbeeinflusst von den physikalischen Vorgängen und entsprechend können sich Raumpunkte im mechanischen Sinn nicht bewegen, sondern nur im mathematischen. Während sich also die Partikel im mechanischen Sinn bewegen, bewegt sich der Momentanpol im mathematischen Sinn. Der Momentanpol ist eine Funktion der Zeit, die einen Raumpunkt ausgibt. Wenn der Momentanpol nicht stillsteht, dann sind zu jedem Zeitpunkt – wenn überhaupt – andere Partikel am Ort des Momentanpols. Aus mechanischer Sicht ist eine Folge von Momentanpolen bei einer Bewegung eine Alternative zur paradoxen Vorstellung eines sich bewegenden Momentanpols.

Alle Partikel des Starrkörpers, die jemals in einem Momentanpol zum Stehen kommen, liegen auf der Gangpolbahn während die Rastpolbahn die Menge aller Raumpunkte ist, die irgendwann Momentanpol sind. Die Gangpolbahn rollt gleitungslos auf der Rastpolbahn ab, weil die Polwechselgeschwindigkeiten auf der Rastpolbahn und der Gangpolbahn gleich groß sind. Im Momentanpol wechseln sich die Raumpunkte ebenso schnell einander ab wie die Partikel des Starrkörpers (sofern sich der Momentanpol im Starrkörper befindet).

Beispiel: Rollendes Rad

Beispiel Rad: Momentanpol (M hier M=A) an einem Rad, welches an einem Fahrzeug montiert ist

Das im Bild gezeigte Rad an einem Fahrzeug besitzt aus Sicht der Kinematik mehrere Eigenschaften, wenn man es entlang der gestrichelten Linie durch das Drehzentrum (Z) und den Aufstandspunkt (A) betrachtet:

  • Da es am Fahrzeug befestigt ist, nimmt es an dessen translatorischer Bewegung teil. Dieser Anteil wird durch die Geschwindigkeitspfeile (T) entlang der Linie (L) dargestellt.
  • Ein Beobachter im Zentrum (Z) sieht, dass sich das Rad (im Gegensatz zum Fahrzeug) zusätzlich um dieses Zentrum (Z) dreht. Dieser Anteil wird durch die Pfeile (R) der Tangentialgeschwindigkeiten entlang der Linie (L) dargestellt.
  • Solange das Rad abrollt, hat es im Aufstandspunkt (A) die Geschwindigkeit 0, denn die Straße steht und das Rad rutscht an diesem Punkt nicht über die Straße und schlupft in dieser idealisierten Betrachtung auch nicht.

Die Überlagerung der Geschwindigkeiten (R) und (T) sowie die Bedingung, dass der Punkt am Rad, der gerade Aufstandspunkt (A) auf der stehenden Straße ist, selbst auch stehen muss, macht den Aufstandspunkt (A) gleichzeitig zum Momentanpol (M) der Radbewegung.

Die rechte Darstellung zeigt, wie man mit Hilfe des Momentanpols (M) an vier beispielhaft gewählten Punkten A-D die momentane Geschwindigkeit ermitteln kann: Sie ist das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit ω um den Momentanpol (M, dieselbe Winkelgeschwindigkeit wie um Z) und dem Abstand des jeweiligen Punktes (im Beispiel A...D) vom Momentanpol (M). Sucht man beispielsweise den Punkt des Rades, der vom Momentanpol am weitesten entfernt ist, so hat man den Punkt mit der höchsten Geschwindigkeit gefunden.

Die Rastpolbahn ist in diesem Beispiel die Straße, denn aus Sicht eines Beobachters an der Straße liegen alle Momentanpole auf der Fahrbahn. Die Gangpolbahn ist aus Sicht eines Beobachters auf dem Rad der Umfang.

Der Momentanpol soll nun auch berechnet werden. Gegeben sei ein kartesisches Koordinatensystem mit zueinander senkrechten x-, y- und z-Richtungen und zugehöriger Standardbasis $ \vec{e}_{x,y,z} $. Die x-Achse stellt die Straße dar, auf der das Rad im Ursprung der x-y-Ebene zur Zeit t=0 beginnt zu rollen. Das Rad besitze den Radius R und eine gleichförmige Drehgeschwindigkeit ω=-Ω < 0 um die z-Achse und rollt auf der x-Achse somit in positive x-Richtung. Der Achsmittelpunkt befindet sich dann in der Höhe R über der x-Achse und soll sich parallel zur x-Achse bewegen. Aus Sicht des Achsmittelpunktes hat ein auf dem Radumfang befindliches Partikel P die Geschwindigkeit $ \Omega\, R $ und dieselbe Geschwindigkeit hat der Achsmittelpunkt umgekehrt aus der Sicht dieses Partikels P. Der Aufstandpunkt A des Rades auf der x-Achse ist ein solches Partikel. Der Achsmittelpunkt $ \vec{s}(t) $ und seine Geschwindigkeit sind entsprechend mit

$ \vec{s}(t=0) = R\vec{e}_y \;\wedge\; \dot{\vec{s}}(t) = \Omega R \vec{e}_x \quad\leftrightarrow\quad \vec{s}(t) = \Omega R t \vec{e}_x + R \vec{e}_y $

gegeben. Das Geschwindigkeitsfeld lautet mithin:

$ \begin{array}{rcl} \vec{v}(x,y,t) &=& \Omega R \vec{e}_x - \Omega\vec{e}_z\times(x\vec{e}_x + y\vec{e}_y - \Omega R t \vec{e}_x - R \vec{e}_y) = -\Omega\vec{e}_z\times(R\vec{e}_y + x\vec{e}_x + y\vec{e}_y - \Omega R t \vec{e}_x - R \vec{e}_y) \\ &=& -\Omega\vec{e}_z\times(x\vec{e}_x + y\vec{e}_y - \underbrace{\Omega R t \vec{e}_x}_{=\vec{m}(t)}) \end{array} $

woraus also sofort $ \vec{m}(t)=\Omega R t \vec{e}_x $ folgt. Das ergibt sich auch mit der im Artikel zur Rastpolbahn angegebenen Formel:

$ \begin{array}{rcl} x_M &=& x_S - \frac{v_{Sy}}{\omega} = \Omega R t - \frac{0}{-\Omega} = \Omega R t \\ y_M &=& y_S + \frac{v_{Sx}}{\omega} =R + \frac{\Omega R}{-\Omega} = 0 \end{array} $

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 M. Chasles: Note sur les propriétés générales du système de deux corps semblables entr'eux. In: Bulletin des Sciences Mathématiques, Astronomiques, Physiques et Chemiques. Band 14, 1830, S. 323–324 (français, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Giulio Mozzi: Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi. Stamperia di Donato Campo, Napoli 1763 (italiano, archive.org [abgerufen am 1. April 2015]).

Literatur

  • M. Husty: Kinematik und Robotik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-63822-0.
  • K. Luck, K.-H. Modler: Getriebetechnik: Analyse Synthese Optimierung. Springer, 1990, ISBN 978-3-211-82147-3.
  • Ulrich Gabbert, Ingo Raecke: Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure. HANSER_VERLAG, 2007 ISBN 3-446-41409-6
  • G. Bär: Ebene Kinematik. Script zur Vorlesung. Institut für Geometrie, TU Dresden (tu-dresden.de [PDF; abgerufen am 1. April 2015] Enthält weitere Literaturempfehlungen).
  • Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik. Grundlagen und Anwendungen. 2. Auflage. Band 1: Starrkörperstatik. Springer Vieweg, Berlin, Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-52784-9.

Weblinks


Diese Artikel könnten dir auch gefallen



Die letzten News


31.07.2021
Wasserdampf-Atmosphäre auf dem Jupitermond Ganymed
Internationales Team entdeckt eine Wasserdampfatmosphäre auf der sonnenzugewandten Seite des Mondes Jupiter-Mondes Ganymed. Die Beobachtungen wurden mit Hubble-Teleskop gemacht.
31.07.2021
Der Quantenkühlschrank
An der TU Wien wurde ein völlig neues Kühlkonzept erfunden. Computersimulationen zeigen, wie man Quantenfelder verwenden könnte, um Tieftemperatur-Rekorde zu brechen.
31.07.2021
Warum Bierdeckel nicht geradeaus fliegen
Wer schon einmal daran gescheitert ist, einen Bierdeckel in einen Hut zu werfen, sollte nun aufhorchen: Physiker der Universität Bonn haben herausgefunden, warum diese Aufgabe so schwierig ist.
27.07.2021
Topologie in der Biologie
Ein aus Quantensystemen bekanntes Phänomen wurde nun auch im Zusammenhang mit biologischen Systemen beschrieben: In einer neuen Studie zeigen Forscher dass der Begriff des topologischen Schutzes auch für biochemische Netzwerke gelten kann.
26.07.2021
Nadel im Heuhaufen: Planetarische Nebel in entfernten Galaxien
Mit Daten des Instruments MUSE gelang Forschern die Detektion von extrem lichtschwachen planetarischen Nebeln in weit entfernten Galaxien.
26.07.2021
Langperiodische Schwingungen der Sonne entdeckt
Ein Forschungsteam hat globale Schwingungen der Sonne mit sehr langen Perioden, vergleichbar mit der 27-tägigen Rotationsperiode der Sonne, entdeckt.
26.07.2021
Ein Stoff, zwei Flüssigkeiten: Wasser
Wasser verdankt seine besonderen Eigenschaften möglicherweise der Tatsache, dass es aus zwei verschiedenen Flüssigkeiten besteht.
26.07.2021
Ins dunkle Herz von Centaurus A
Ein internationales Forscherteam hat das Herz der nahegelegenen Radiogalaxie Centaurus A in vorher nicht erreichter Genauigkeit abgebildet.
26.07.2021
Ein möglicher neuer Indikator für die Entstehung von Exoplaneten
Ein internationales Team von Astronomen hat als erstes weltweit Isotope in der Atmosphäre eines Exoplaneten nachgewiesen.
26.07.2021
Auf dem Weg zur Supernova – tränenförmiges Sternsystem offenbart sein Schicksal
Astronomen ist die seltene Sichtung zweier Sterne gelungen, die spiralförmig ihrem Ende zusteuern, indem sie die verräterischen Zeichen eines tränenförmigen Sterns bemerkten.
26.07.2021
Quantenteilchen: Gezogen und gequetscht
Seit kurzem ist es im Labor möglich, die Bewegung schwebender Nanoteilchen in den quantenmechanischen Grundzustand zu versetzen.
26.07.2021
Ein Kristall aus Elektronen
Forschenden der ETH Zürich ist die Beobachtung eines Kristalls gelungen, der nur aus Elektronen besteht. Solche Wigner-​Kristalle wurden bereits vor fast neunzig Jahren vorhergesagt, konnten aber erst jetzt direkt in einem Halbleitermaterial beobachtet werden.
26.07.2021
Neue Erkenntnisse zur Entstehung des chaotischen Terrains auf dem Mars
Gebiete wie diese gibt es auf der Erde nicht: Sie sind durchzogen von Kratern, Rissen, Kämmen, Tälern, großen und kleinen eckigen Blöcken.
26.07.2021
Synthese unter Laserlicht
Eine Forschungsgruppe hat neue Methode zur Bildung von protoniertem Wasserstoff entdeckt. Mit starken Laserpulsen erzeugen Physiker des attoworld-Teams am Max-Planck-Instituts für Quantenoptik und der Ludwig-Maximilians-Universität München erstmals protonierten Wasserstoff an Nanooberflächen.
26.07.2021
Materiestraße im All lässt Galaxienhaufen wachsen
Vor einem halben Jahr meldeten Astronomen der Universität Bonn die Entdeckung eines extrem langen intergalaktischen Gasfadens mit dem Röntgenteleskop eROSITA.
26.07.2021
Kosmischer Treffpunkt für Galaxienhaufen
Was treibt Galaxien an, oder führt zu ganzen Ansammlungen von Galaxien – sogenannte Galaxienhaufen? Obwohl kosmologische Modelle und Simulationen diese Strukturen und die Rolle, die sie spielen könnten, vorausgesagt haben, ist die Bestätigung ihrer Existenz durch die Beobachtung mit dem Röntgen-Weltraumteleskop eROSITA ziemlich neu.
28.06.2021
Quantensimulation: Messung von Verschränkung vereinfacht
Forscher haben ein Verfahren entwickelt, mit dem bisher kaum zugängliche Größen in Quantensystemen messbar gemacht werden können.
28.06.2021
Exotische Supraleiter: Das Geheimnis, das keines ist
Wie reproduzierbar sind Messungen in der Festkörperphysik? Ein Forschungsteam analysierte wichtige Messungen neu. Sie fanden heraus: Ein angeblich sensationeller Effekt existiert gar nicht.
28.06.2021
Paradoxe Wellen: Gefangene Lichtteilchen auf dem Sprung
Physikern ist es gelungen, ein neuartiges Verhalten von Lichtwellen zu beobachten, bei welchem Licht durch eine neue Art von Unordnung auf kleinste Raumbereiche begrenzt wird.
28.06.2021
Isolatoren bringen Quantenbits zum Schwitzen
Schwachleitende oder nichtleitende Materialien haben Innsbrucker Physiker als wichtige Quelle für Störungen in Ionenfallen-Quantencomputern identifiziert.
23.06.2021
Fürs Rechenzentrum: bisher kompaktester Quantencomputer
Quantencomputer waren bislang Einzelanfertigungen, die ganze Forschungslabore füllten.
17.06.2021
Helligkeitseinbruch von Beteigeuze
Als der helle, orangefarbene Stern Beteigeuze im Sternbild Orion Ende 2019 und Anfang 2020 merklich dunkler wurde, war die Astronomie-Gemeinschaft verblüfft.
17.06.2021
Das Elektronenkarussell
Die Photoemission ist eine Eigenschaft unter anderem von Metallen, die Elektronen aussenden, wenn sie mit Licht bestrahlt werden.
17.06.2021
Ultrakurze Verzögerung
Trifft Licht auf Materie geht das an deren Elektronen nicht spurlos vorüber.
17.06.2021
Entdeckung der größten Rotationsbewegung im Universum
D