Mermin-Wagner-Theorem

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Das Mermin-Wagner-Theorem,[1] benannt nach N. David Mermin und Herbert Wagner, ist ein Theorem der theoretischen Physik des Magnetismus und besagt, dass es in ein- und zweidimensionalen Systemen bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts keine langreichweitige Ordnung in Form zum Beispiel von Ferromagnetismus oder Antiferromagnetismus geben kann, solange diese isotrop sind (eine kontinuierliche Symmetrie besitzen).

Satz von Mermin und Wagner: Kontinuierliche Symmetrien können in ein und zwei Dimensionen nicht in Systemen mit genügend kurzreichweitigen Wechselwirkungen[2] bei endlicher Temperatur spontan gebrochen sein.

Der Grund dafür ist, dass mit sehr wenig Energieaufwand langreichweitige Fluktuationen (masselose Goldstone-Moden) angeregt werden, die die langreichweitige Ordnung zerstören. Beispiele sind das Heisenberg-Modell (n=3 dimensionale Spinvariable) und das XY-Modell (Spinvariable zweidimensional). Mermin und Wagner betrachteten ursprünglich das Heisenberg-Modell in zwei Dimensionen. Im Isingmodell hat man dagegen keine kontinuierliche Symmetrie (die Spinvariable nimmt zwei diskrete Werte an), so dass der Satz nicht anwendbar ist. Auch wenn das Mermin-Wagner-Theorem einen Phasenübergang zweiter Ordnung zu Phasen mit spontanem Symmetriebruch beim XY-Modell in zwei Dimensionen verhindert, können dort Phasenübergänge anderer Art auftreten (Kosterlitz-Thouless-Übergang).

Bei realen Magneten liegt häufig keine kontinuierliche Symmetrie vor, da schon bei vorhandener LS-Kopplung das System anisotrop wird.

In der Folge der Arbeit von Mermin und Wagner wurde analog bewiesen, dass es bei isotroper Wechselwirkung im Ein- und Zweidimensionalen auch keine Supraleitung und keine kristalline Fernordnung geben kann.[3] Auch hier (z. B. bei den Graphenen) sind aber in der Praxis auf verschiedene Weise die Voraussetzungen des Theorems verletzt.

Für die Quantenfeldtheorie wurde ein entsprechender Satz von Sidney Coleman bewiesen (Nicht-Existenz von Goldstonebosonen in zwei Dimensionen).[4]

Einzelnachweise

  1. N. D. Mermin, H. Wagner: Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models. In: Physical Review Letters. 17, Nr. 22, 28. November 1966, S. 1133. doi:10.1103/PhysRevLett.17.1133.
  2. In der Originalarbeit von Mermin und Wagner Wechselwirkungen endlicher Reichweite entsprechend realistischen kurzreichweitigen Wechselwirkungen.
  3. P.C. Hohenberg: Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions ?. In: Phys. Rev.. 158, 1967, S. 383. doi:10.1103/PhysRev.158.383.
  4. Coleman, There are no Goldstone bosons in two dimensions, Commun. Math. Phys., Band 31, 1973, S. 259

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