Lorentzsche Mannigfaltigkeit

Eine lorentzsche Mannigfaltigkeit oder Lorentz-Mannigfaltigkeit (nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz) ist eine Mannigfaltigkeit mit einer Lorentzmetrik. Sie ist ein Spezialfall einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit mit der Metrik-Signatur (-,+,+,+,...). Lorentzmannigfaltigkeiten sind für die allgemeine Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung, da dort die Raumzeit als vierdimensionale lorentzsche Mannigfaltigkeit modelliert wird.

Punktrelationen und Gliederung der Mannigfaltigkeit

Da die lorentzsche Metrik $ g|_p\colon T_pM \times T_pM \rightarrow \mathbb{R} $ im Gegensatz zur riemannschen nicht positiv definit ist, treten drei verschiedene Arten von Tangentialvektoren $ v $ an die Mannigfaltigkeit auf:

  • zeitartige Vektoren mit $ g(v,v) < 0 $,
  • raumartige Vektoren mit $ g(v,v) > 0 $,
  • lichtartige Vektoren mit $ g(v,v) = 0 $, deshalb auch Nullvektoren genannt.

Nicht-raumartige Vektoren (also solche mit $ g(v,v) \leq 0 $) werden auch kausale Vektoren genannt. Kurven in der Mannigfaltigkeit werden als zeitartig, raumartig, lichtartig, kausal bezeichnet, wenn die Tangentialvektoren an die Kurve auf gesamter Länge der Kurve der entsprechenden Kategorien angehören.

Man kann nun Punktpaaren in der Mannigfaltigkeit ihre Relation zuordnen. Wenn eine stückweise glatte zeitartige Kurve zwischen den Punkten existiert liegt ein Punkt in der Zukunft des anderen. Die zeitartige Zukunft bzw. der Inhalt des Lichtkegels eines Punktes $ p $ ist die Menge aller Punkte $ q $ die von $ p $ aus mit einer zukunftsgerichteten stückweise glatten zeitartigen Kurve erreicht werden. Sie wird mit $ I^+(p) $ bezeichnet. Die kausale Zukunft $ J^+(p) $ ist analog die Menge aller Punkte die mit stückweise glatten kausalen Kurven erreicht werden. Entsprechend definiert man die zeitartige und kausale Vergangenheit $ I^-(p) $ und $ J^-(p) $.

Lorentzsche Länge

Die lorentzsche Länge einer glatten kausalen Kurve $ \lambda \colon [a,b]\to M $ ist

$ L(\lambda ) = \int_a^b \sqrt{-g(\lambda'(t),\lambda'(t))}\,dt . $

t ist ein beliebiger Kurvenparameter, nicht notwendig die Zeit.

Im Unterschied zur riemannschen Geometrie ist das Infimum der lorentzschen Länge aller glatten Kurven zwischen zwei zeitartig auseinanderliegenden Punkten immer null. Jedoch die zeitartige Geodäte zwischen diesen zwei Punkten hat, wenn sie existiert, die größte lorentzsche Länge unter allen kausalen Kurven zwischen diesen beiden Punkten.

Lorentzscher Abstand

Als lorentzscher Abstand $ d(p,q) $ zwischen zwei Punkten $ p $ und $ q $ wird nun das Supremum der lorentzschen Länge über alle kausalen Kurven von $ p $ nach $ q $ gewählt, wenn $ q $ in $ J^+(p) $ liegt, ansonsten definiert man $ d(p,q)=0 $.

Siehe auch

Literatur

  • John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 202). 2nd Edition. Marcel Dekker Inc., New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9324-2.