Langevin-Funktion

Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion $ L(x) $ (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Definition

Die Langevin-Funktion^[1] ist definiert durch

$ L(x)=\coth(x)-{1 \over x} $,

wobei $ \coth $ den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Eine Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter $ \xi $ eingeführt:

$ \xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }T}} $

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

• $ m $: Magnetisches Moment eines Teilchens
• $ B $: Betrag der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
• $ k_{\mathrm {B} } $: Boltzmann-Konstante
• $ T $: Absolute Temperatur

Für die Magnetisierung $ M $ eines Paramagneten ergibt sich dann:

$ M=NmL(\xi ) $

$ N $ steht dabei für die Stoffmenge und $ m $ für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Reihenentwicklungen

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

$ L(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{\pi ^{2}n^{2}+x^{2}}} $

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

$ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+1}}={\frac {\pi L(\pi )}{2}} $

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

$ \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{x\rightarrow 0}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+x^{2}}}=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\pi L(\pi x)}{2x}}={\frac {\pi ^{2}}{6}} $

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

$ L(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2(-1)^{n+1}\pi ^{-2n}\zeta (2n)x^{2n-1}={\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}+{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}+\cdots $

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

$ L(x)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }(4n+6)(-1)^{n+1}\pi ^{-2n-2}\zeta (2n+2)x^{2n}={\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {2}{135}}x^{4}+{\frac {1}{525}}x^{6}-{\frac {2}{8505}}x^{8}+\cdots $

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung^[1] der Langevin-Funktion für $ |x|\ll 1 $ ist

$ L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}\approx {\frac {x}{3}} $.

Für $ x\gg 1 $ gilt die Näherung^[1]

$ L(x)\approx 1-{\frac {1}{x}} $.

Umkehrfunktion

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die im Intervall $ (-1,1) $ gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:^[2]

$ L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}. $

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um $ |x|=0{,}8 $. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben^[3][4].

Siehe auch

• Langevin-Gleichung
• Brillouin-Funktion

Einzelnachweise