Lane-Emden-Gleichung

Lane-Emden-Gleichung

Lösungen der Lane-Emden-Gleichung für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Die astrophysikalische Lane-Emden-Gleichung beschreibt die Struktur einer selbstgravitierenden Kugel, deren Zustandsgleichung die einer polytropen Flüssigkeit ist. Ihre Lösungen beschreiben die Abhängigkeit des Drucks und der Dichte vom Radius r und erlauben somit Rückschlüsse auf die Stabilität und Ausdehnung der Kugel. Sie ist benannt nach den Astrophysikern Jonathan Homer Lane (1819–1880) und Robert Emden; Lane schlug sie 1870 als mathematisches Modell zur Untersuchung der inneren Struktur der Sterne vor. Lord Kelvin und August Ritter waren an der Entwicklung dieser Gleichung ebenfalls maßgeblich beteiligt.

Physikalischer Kontext

Eine polytrope Flüssigkeit genügt der Gleichung $ \textstyle P = K \rho^\gamma $ (P: Druck, $ \textstyle \rho $: Dichte). Man verwendet allerdings statt $ \textstyle \gamma $ meist den Polytropenindex $ \textstyle n $, der wie folgt definiert ist: $ \textstyle \gamma = 1 + \frac{1}{n} $. Sternmaterie kann in guter Näherung als polytropes Fluid angesehen werden, so etwa entartetes Gas, das in Abhängigkeit davon, ob es relativistisch oder nicht-relativistisch ist, einen Polytropenindex von $ \textstyle n=3\,\mathrm{bzw.}\,1,5 $ besitzt (d. h. $ \textstyle \gamma=\frac{4}{3}\, \mathrm{bzw.}\,\frac{5}{3} $).

Herleitung

Die Gleichgewichtsbedingung lautet allgemein für isentrope Kugeln: $ \textstyle \varphi + H = const $. Dabei ist $ \textstyle \varphi $ das gravitative Potential, $ \textstyle H = (n+1) \frac{P}{\rho} $ die Enthalpie. Nach Anwendung des Laplace-Operators auf beiden Seiten ergibt sich $ \textstyle \Delta (\varphi + H) = 0 $.

Mit der Definition $ \textstyle \rho = \lambda \theta^n $ und entsprechend $ \textstyle P = K \lambda ^{1 + \frac{1}{n}} \theta^{n+1} $ ist die Enthalpie $ \textstyle H = (n+1)K \lambda^{1/n} \theta $.

Mit der Poisson-Gleichung $ \textstyle \Delta \varphi = 4 \pi G \lambda \theta^n $ wird aus der Gleichgewichtsbedingung: $ \textstyle 4 \pi G \lambda \theta^n + (n+1) K \lambda^{1/n} \Delta \theta = 0 $. Mit der Maßstabstransformation $ \textstyle r = \alpha \xi $ und einem günstig gewählten $ \textstyle \alpha $, so dass $ \textstyle 4 \pi G \lambda = \frac{(n+1)K \lambda ^{1/n}}{\alpha^2} $ erhält man

$ \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0 $

Wenn man $ \textstyle \lambda $ mit der Dichte im Zentrum $ \textstyle \rho_c $ identifiziert, ergibt sich $ \textstyle \xi= r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}} $ und $ \textstyle \rho = \rho_c \theta^n $.

Lösungen

Die Anfangsbedingungen sind $ \textstyle \theta (0) = 1 $ und $ \textstyle \left.\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}\xi}\right|_{\xi = 0} = 0 $. Die Nullstelle von $ \textstyle \xi $, notiert als $ \textstyle \xi_1 $, legt die Grenze der Kugel, in der Anwendung also die Grenze des Sterns, fest.

Die Lane-Emden-Gleichung lässt sich für n = 0, 1 und 5 analytisch lösen. Während die ersten beiden Fälle auf einfach zu lösende Gleichungen führen, sind alle übrigen deutlich komplizierter. Die Lösung für n = 5 wurde 1885 von Arthur Schuster, später auch unabhängig davon von Emden selbst gefunden. Die drei analytischen Lösungen sind in der Tabelle dargestellt:

n = 0 1 5
$ \theta $ = $ 1 - \frac {\xi^2}{6} $ $ \frac{\sin\xi}{\xi} $ $ \left(1+ \frac{\xi^2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} $
$ \xi_1 $ = $ \sqrt 6 $ $ \pi $

Für n = 1 wird die Gleichung zu einer sphärischen Besselschen Differentialgleichung mit der sinc-Funktion als Lösung.

Radius

Mit der Definition für $ \textstyle \xi $ gilt für den Radius des Sterns (im Gleichgewicht)

$ R = \sqrt{\frac{(n + 1) P_{\rm c}}{4 \pi G \rho_{\rm c}^2}} \; \xi_1 $.

Für n = 1 ist wegen $ \textstyle P_{\rm c} = K \rho_{\rm c}^2 $ der Radius unabhängig von der Gesamtmasse bzw. der Dichte im Zentrum. Der Stern enthält im gleichen Volumen beliebig viel Masse, die die Gleichgewichtsbedingung erfüllt.

Quellen

  • englischer und französischer wikipedia-Artikel (9. November 2008)
  • Zel’dovich Ya.B., Blinnikov S.I., Shakura N.I.: Physical Grounds of Structure and Evolution of Stars. Moscow University Press, 1981
  • Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie: An Introduction to Modern Astrophysics. 2nd Edition, Pearson, 2007

Siehe auch

Weblinks


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