Lamé-Konstanten

Die Lamé-Konstanten (nach Gabriel Lamé) sind zwei Materialkonstanten und legen alle Komponenten des Elastizitätstensors eines isotropen Materials im Rahmen der Kontinuumsmechanik fest. Ihre Dimensionen entsprechen einem Druck (Kraft pro Fläche, in SI-Einheiten $ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 $).

Elastizitätstheorie

In der linearen Elastizitätstheorie wird die lineare Abhängigkeit des Spannungstensors $ \sigma $ vom Verzerrungstensor $ \varepsilon $ durch den Elastizitätstensor $ C $ beschrieben. In Komponentenschreibweise und mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention lautet der lineare Zusammenhang

$ \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}. $

Dabei sind die Spannungs- und Verzerrungstensoren Tensoren 2. Stufe und der Elastizitätstensor ein Tensor 4. Stufe. Im Falle des isotropen Hookeschen Gesetzes lässt sich dies zu

$ \sigma_{ij} = 2 \mu \varepsilon_{ij} + \lambda \; \mathrm{Spur}(\varepsilon)\delta_{ij} $

vereinfachen. Dabei wird $ \lambda $ die erste Lamé-Konstante und $ \mu $ (der Schubmodul, Einheit $ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} $) die zweite Lamé-Konstante genannt und $ \delta_{ij} $ ist das Kronecker-Delta. Zu Querdehnzahl (Poissonzahl) $ \nu $ und Elastizitätsmodul $ E $ besteht der Zusammenhang:

$ \lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} $ und
$ \mu=\frac{E}{2(1+\nu)}. $

Siehe im Abschnitt #Zusammenhang zwischen Lamé-Konstanten und elastischen Konstanten für weitere Formeln in Abhängigkeit von den Lamé-Konstanten.

Herleitung

Im Falle eines isotropen, linear elastischen Materials, d.h. der Spannungstensor hängt linear von den Komponenten des Verzerrungstensors ab, kann man ein skalares Potenzial $ U_0(\varepsilon_{ij}) $ definieren, das die Energiedichte des Materials in Abhängigkeit von der Verzerrung angibt und durch die Beziehung

$ \sigma_{ij}=\frac{\partial U_0}{\partial \varepsilon_{ij}} $

eine Spannungs-Verzerrungs-Relation definiert. Diese Funktion darf nur von Invarianten des Verzerrungstensors abhängen, da die Wahl des Koordinatensystems nicht die Energiedichte des Beschriebenen Verzerrungzustandes ändern darf. Der Verzerrungstensor ist symmetrisch, daher hat er folgende Invarianten (in der Schreibweise mit Einsteinscher Summenkonvention)

$ I_1=\varepsilon_{ii}, $
$ I_2=\frac{1}{2}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ji}, $
$ I_3=\frac{1}{3}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{jk}\varepsilon_{ki}. $

Um eine lineare Verzerrungs-Spannungs-Relation zu erhalten, darf das Potenzial nur quadratisch von den Komponenten des Verzerrungstensors abhängen. Daher und aufgrund der Koordinateninvarianz des Potenzials muss es die Form

$ U_0=C_1I_1^2+C_2I_2 $

haben, mit beliebigen Konstanten $ C_1 $ und $ C_2 $. Setzt man diesen Potenzialansatz in die Spannungs-Verzerrungs-Relation ein und führt einige Umformungen durch[1], so ergibt sich die Beziehung

$ \sigma_{ij}=2C_1\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+C_2\varepsilon_{ij}. $

Mit den Definitionen

$ 2C_1=\lambda $ und
$ C_2=2\mu $

nennt man nun $ \lambda $ und $ \mu $ erste und zweite Lamé-Konstante. Das Gesetz

$ \sigma_{ij}=\lambda\varepsilon_{kk}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij} $

wird generalisiertes Hookesches Gesetz genannt.

Strömungslehre

In den Navier-Stokes-Gleichungen der Strömungslehre wird für die dynamische Scher-Viskosität (Einheit $ \mathrm{N} \cdot \mathrm{s}/\mathrm{m}^{2} $) häufig auch das Symbol der zweiten Lamé-Konstante $ \mu $ verwendet und für die Volumen-Viskosität unter Umständen das Symbol der ersten Lamé-Konstante $ \lambda $.[2] Diese Viskositäten sind jedoch nicht mit den obigen Lamé-Konstanten zu verwechseln, welche Elastizitätsmaße eines Festkörpers repräsentieren.



Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten

…ergibt sich aus:[3]
Der Modul… $ (K,\,E) $ $ (K,\,\lambda) $ $ (K,\,G) $ $ (K,\, \nu) $ $ (E,\,\lambda) $ $ (E,\,G) $ $ (E,\,\nu) $ $ (\lambda,\,G) $ $ (\lambda,\,\nu) $ $ (G,\,\nu) $ $ (G,\,M) $
Kompressionsmodul $ K\, $ $ K $ $ K $ $ K $ $ K $ $ (E+3\lambda)+\frac{\sqrt{(E+3\lambda)^2-4\lambda E}}{6} $ $ \tfrac{EG}{3(3G-E)} $ $ \tfrac{E}{3(1-2\nu)} $ $ \lambda+ \tfrac{2G}{3} $ $ \frac{\lambda(1+\nu)}{3\nu} $ $ \tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)} $ $ M - \tfrac{4G}{3} $
Elastizitätsmodul $ E\, $ $ E $ $ \tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda} $ $ \tfrac{9KG}{3K+G} $ $ 3K(1-2\nu)\, $ $ E $ $ E $ $ E $ $ \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} $ $ \frac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} $ $ 2G(1+\nu)\, $ $ \tfrac{G(3M-4G)}{M-G} $
1. Lamé-Konstante $ \lambda\, $ $ \tfrac{3K(3K-E)}{9K-E} $ $ \lambda $ $ K-\tfrac{2G}{3} $ $ \tfrac{3K\nu}{1+\nu} $ $ \lambda $ $ \tfrac{G(E-2G)}{3G-E} $ $ \tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} $ $ \lambda $ $ \lambda $ $ \tfrac{2 G \nu}{1-2\nu} $ $ M - 2G\, $
Schubmodul $ G $ bzw. $ \mu $
(2. Lamé-Konstante)
$ \tfrac{3KE}{9K-E} $ $ \tfrac{3(K-\lambda)}{2} $ $ G $ $ \tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)} $ $ (E-3\lambda)+\frac{\sqrt{(E-3\lambda)^2+8\lambda E}}{4} $ $ G $ $ \tfrac{E}{2(1+\nu)} $ $ G $ $ \frac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu} $ $ G $ $ G $
Poissonzahl $ \nu\, $ $ \tfrac{3K-E}{6K} $ $ \tfrac{\lambda}{3K-\lambda} $ $ \tfrac{3K-2G}{2(3K+G)} $ $ \nu $ $ -(E+\lambda)+\frac{\sqrt{(E+\lambda)^2+8\lambda^2}}{4\lambda} $ $ \tfrac{E}{2G}-1 $ $ \nu $ $ \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} $ $ \nu $ $ \nu $ $ \tfrac{M - 2G}{2M - 2G} $
Longitudinalmodul $ M\, $ $ \tfrac{3K(3K+E)}{9K-E} $ $ 3K-2\lambda\, $ $ K+\tfrac{4G}{3} $ $ \tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu} $ $ \tfrac{G(4G-E)}{3G-E} $ $ \tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} $ $ \lambda+2G\, $ $ \tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu} $ $ M $

Einzelnachweise

  1. Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1-4398-3663-9, S. 27 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Emmanuil G. Sinaiski: Hydromechanics. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 978-3-527-63378-4, S. 30 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).