Ladungskonjugation

Die Ladungskonjugation oder C-Parität (für englisch Charge = Ladung) ersetzt in quantenmechanischen Zuständen jedes Teilchen durch sein Antiteilchen. Sie spiegelt so das Vorzeichen der Ladung und lässt Masse, Impuls, Energie und Spin jedes Teilchens unverändert.

Die elektromagnetische und die starke Wechselwirkung sind invariant unter Ladungskonjugation (kurz C-invariant), d. h., bei Streuung oder Zerfall verhalten sich die ladungsgespiegelten Zustände wie die ursprünglichen Zustände.
Dagegen ist die Schwache Wechselwirkung nicht C-invariant (Paritätsverletzung): Der Anteil des Elektrons, der bei schwachen Wechselwirkungen in ein Elektron-Neutrino und ein $ W^- $-Boson übergehen kann, wird bei Ladungskonjugation durch den Teil des Positrons ersetzt, der nicht an die $ W $-Bosonen koppelt.

Ladungskonjugation des Dirac-Feldes

Das Dirac-Feld $ \psi $ wird bei Ladungskonjugation auf das Feld $ \psi_c $ transformiert, das mit umgekehrter Ladung $ e $ an die elektromagnetischen Potentiale $ A_0,A_1,A_2,A_3 $ koppelt. Wenn $ \psi $ die Dirac-Gleichung (über den doppelten Index $ n $ ist zu summieren)

$ \bigl( \gamma^n\,(\mathrm i\,\partial_n -e A_n) - m\bigr)\psi=0 $

erfüllt, dann soll das ladungskonjugierte Feld $ \psi_c $ der Gleichung

$ \bigl( \gamma^n\,(\mathrm i\,\partial_n +e A_n) - m\bigr)\psi_c=0 $

genügen.

Komplex Konjugieren der ersten Gleichung ergibt

$ \bigl(\gamma^{n\,*}\,(-\mathrm i\,\partial_n -e A_n) - m\bigr)\psi^*=0\ . $

Es erfüllt also $ \psi_c = B \psi^* $ die ladungskonjugierte Gleichung, wenn $ B $ eine Matrix ist, für die gilt:

$ -\gamma^{n\,*}=B^{-1} \gamma^n B $

Solch eine Matrix gibt es für jede Darstellung der Dirac-Matrizen, denn alle irreduziblen Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, und $ -\gamma^{n\,*} $ stellt die Dirac-Algebra ebenso dar wie $ \gamma^{n}\,. $

Schreibt man $ \psi^*=\gamma^{0\,\text{T}}\,\overline{\psi}^{\text{T}} $, so hat das ladungskonjugierte Feld die Form

$ \psi_c = C \,\overline{\psi}^{\text{T}} $ mit der Ladungskonjugationsmatrix $ C=B\,\gamma^{0\,\text{T}}\,. $

Wegen $ \gamma^{n\,\dagger}=\gamma^0 \gamma^n \gamma^0 $ erfüllt die Ladungskonjugationsmatrix

$ -\gamma^{n\,\text{T}}=C^{-1} \gamma^n C\,. $

In der Dirac-Darstellung der Gamma-Matrizen kann die Ladungskonjugationsmatrix als

$ C = \mathrm i\, \gamma^2\,\gamma^0= \begin{pmatrix} & -\mathrm i \sigma^2\\ -\mathrm i\sigma^ 2 \end{pmatrix} $

so gewählt werden, dass sie reell, antisymmetrisch und unitär ist, $ -C = C^ {-1}=C^ {\text{T}}=C^\dagger\,. $

Eigenwerte und Eigenzustände

Für die Eigenzustände des C-Operators auf ein Teilchen gilt:

$ \mathcal C \, |\psi\rangle = \eta_C \, | \bar{\psi} \rangle $.

Da der Paritätsoperator eine Involution (Mathematik) ist, gilt

$ \mathcal {C}^2|\psi\rangle = \eta_C \mathcal{C} |\bar{\psi} \rangle = \eta_{C}^{2} |\psi\rangle = | \psi \rangle $

Dies erlaubt nur Eigenwerte $ \eta_C = \pm 1 $, was jeweils die C-Parität des Teilchens ist.

Dies bedeutet jedoch, dass $ \mathcal C \, |\psi\rangle $ und $ \mathcal |\psi\rangle $ die gleichen Quantenladungen haben, weshalb nur neutrale Systeme Eigenzustände des C-Paritätsoperators sein können, d.h. das Photon sowie gebundene Teilchen-Antiteilchen-Zustände wie das neutrale Pion $ \pi^0 $ oder das Positronium.

Literatur

Siehe auch