Ladungskonjugation

Ladungskonjugation

Die Ladungskonjugation oder C-Parität (für englisch Charge = Ladung) ersetzt in quantenmechanischen Zuständen jedes Teilchen durch sein Antiteilchen. Sie spiegelt so das Vorzeichen der Ladung und lässt Masse, Impuls, Energie und Spin jedes Teilchens unverändert.

Die elektromagnetische und die starke Wechselwirkung sind invariant unter Ladungskonjugation (kurz C-invariant), d. h., bei Streuung oder Zerfall verhalten sich die ladungsgespiegelten Zustände wie die ursprünglichen Zustände.
Dagegen ist die Schwache Wechselwirkung nicht C-invariant (Paritätsverletzung): Der Anteil des Elektrons, der bei schwachen Wechselwirkungen in ein Elektron-Neutrino und ein $ W^- $-Boson übergehen kann, wird bei Ladungskonjugation durch den Teil des Positrons ersetzt, der nicht an die $ W $-Bosonen koppelt.

Ladungskonjugation des Dirac-Feldes

Das Dirac-Feld $ \psi $ wird bei Ladungskonjugation auf das Feld $ \psi_c $ transformiert, das mit umgekehrter Ladung $ e $ an die elektromagnetischen Potentiale $ A_0,A_1,A_2,A_3 $ koppelt. Wenn $ \psi $ die Dirac-Gleichung (über den doppelten Index $ n $ ist zu summieren)

$ \bigl( \gamma^n\,(\mathrm i\,\partial_n -e A_n) - m\bigr)\psi=0 $

erfüllt, dann soll das ladungskonjugierte Feld $ \psi_c $ der Gleichung

$ \bigl( \gamma^n\,(\mathrm i\,\partial_n +e A_n) - m\bigr)\psi_c=0 $

genügen.

Komplex Konjugieren der ersten Gleichung ergibt

$ \bigl(\gamma^{n\,*}\,(-\mathrm i\,\partial_n -e A_n) - m\bigr)\psi^*=0\ . $

Es erfüllt also $ \psi_c = B \psi^* $ die ladungskonjugierte Gleichung, wenn $ B $ eine Matrix ist, für die gilt:

$ -\gamma^{n\,*}=B^{-1} \gamma^n B $

Solch eine Matrix gibt es für jede Darstellung der Dirac-Matrizen, denn alle irreduziblen Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, und $ -\gamma^{n\,*} $ stellt die Dirac-Algebra ebenso dar wie $ \gamma^{n}\,. $

Schreibt man $ \psi^*=\gamma^{0\,\text{T}}\,\overline{\psi}^{\text{T}} $, so hat das ladungskonjugierte Feld die Form

$ \psi_c = C \,\overline{\psi}^{\text{T}} $ mit der Ladungskonjugationsmatrix $ C=B\,\gamma^{0\,\text{T}}\,. $

Wegen $ \gamma^{n\,\dagger}=\gamma^0 \gamma^n \gamma^0 $ erfüllt die Ladungskonjugationsmatrix

$ -\gamma^{n\,\text{T}}=C^{-1} \gamma^n C\,. $

In der Dirac-Darstellung der Gamma-Matrizen kann die Ladungskonjugationsmatrix als

$ C = \mathrm i\, \gamma^2\,\gamma^0= \begin{pmatrix} & -\mathrm i \sigma^2\\ -\mathrm i\sigma^ 2 \end{pmatrix} $

so gewählt werden, dass sie reell, antisymmetrisch und unitär ist, $ -C = C^ {-1}=C^ {\text{T}}=C^\dagger\,. $

Eigenwerte und Eigenzustände

Für die Eigenzustände des C-Operators auf ein Teilchen gilt:

$ \mathcal C \, |\psi\rangle = \eta_C \, | \bar{\psi} \rangle $.

Da der Paritätsoperator eine Involution (Mathematik) ist, gilt

$ \mathcal {C}^2|\psi\rangle = \eta_C \mathcal{C} |\bar{\psi} \rangle = \eta_{C}^{2} |\psi\rangle = | \psi \rangle $

Dies erlaubt nur Eigenwerte $ \eta_C = \pm 1 $, was jeweils die C-Parität des Teilchens ist.

Dies bedeutet jedoch, dass $ \mathcal C \, |\psi\rangle $ und $ \mathcal |\psi\rangle $ die gleichen Quantenladungen haben, weshalb nur neutrale Systeme Eigenzustände des C-Paritätsoperators sein können, d.h. das Photon sowie gebundene Teilchen-Antiteilchen-Zustände wie das neutrale Pion $ \pi^0 $ oder das Positronium.

Literatur

Siehe auch



Diese Artikel könnten dir auch gefallen


Die News der letzten 14 Tage 8 Meldungen

21.10.2021
Teilchenphysik
Auf der Jagd nach Hyperkernen
Mit dem WASA-Detektor wird bei GSI/FAIR gerade ein besonderes Instrument aufgebaut.
18.10.2021
Galaxien | Schwarze Löcher
Entwicklung von heißem Gas von einem aktiven Schwarzen Loch
Ein internationales Team hat zum ersten Mal die Entwicklung von heißem Gas beobachtet, das von einem aktiven Schwarzen Loch stammt.
15.10.2021
Elektrodynamik | Festkörperphysik
Ultraschneller Magnetismus
Magnetische Festkörper können mit einem Laserpuls entmagnetisiert werden.
16.10.2021
Planeten | Elektrodynamik | Thermodynamik
Neues von den ungewöhnlichen Magnetfeldern von Uranus und Neptun
Tausende Grad heißes Eis - Wie es bei millionenfachem Atmosphärendruck entsteht und warum dieses leitende superionische Eis bei der Erklärung der ungewöhnlichen Magnetfelder der Gasplaneten Uranus und Neptun hilft.
14.10.2021
Elektrodynamik | Quantenphysik
Exotische Magnetzustände in kleinster Dimension
Einem internationalen Forscherteam gelang es erstmals, Quanten-Spinketten aus Kohlenstoff zu bauen.
15.10.2021
Sterne
Magentische Kräfte der Sonne: schnellere geladene Teilchen beobachtet
Protuberanzen schweben als riesige Wolken über der Sonne, gehalten von einem Stützgerüst aus magnetischen Kraftlinien, deren Fußpunkte in tiefen Sonnenschichten verankert sind.
14.10.2021
Planeten | Sterne
Der Planet fällt nicht weit vom Stern
Ein Zusammenhang zwischen der Zusammensetzung von Planeten und ihrem jeweiligen Wirtsstern wurde in der Astronomie schon lange vermutet.
12.10.2021
Kometen und Asteroiden
Lerne die 42 kennen: Einige der größten Asteroiden fotografiert
Mit dem Very Large Telescope (VLT) der Europäischen Südsternwarte (ESO) in Chile haben Astronom:innen 42 der größten Objekte im Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter abgelichtet.