Kritischer Winkel

Der kritische (Einfalls-)Winkel ist ein Begriff aus der Physik und wird gebraucht im Zusammenhang mit der Brechung von Wellen. Gebräuchlich ist der Begriff insbesondere in der Optik und in der Refraktionsseismik.

Beschreibung

Totalreflexion (rot und gelb): Interne Reflexion beim Auftreffen von Licht vom optisch dichteren auf ein optisch dünneres Medium (Goos-Hänchen-Effekt wird vernachlässigt)

Optik

Die Brechung von Wellen, das heißt, die Richtungsänderung des Verlaufs beim Übergang einer Welle von einem Medium in ein angrenzendes Medium, basiert auf einer Änderung ihrer Ausbreitungsgeschwindigkeit. Diese wird durch das durchquerte Medium festgelegt. Betrachtet man beispielsweise eine elektromagnetische Welle (wie sichtbares Licht), die sich in einem Medium 1 ausbreitet und unter einem bekannten Einfallswinkel $ \alpha $ auf eine Grenzfläche zu einem Medium 2 auftrifft. So wird diese gemäß den Fresnel-Gleichungen zum Teil reflektiert bzw. transmittiert, das heißt, das Licht geht in das Medium 2 über. Bei diesem Übergang erfährt der Lichtstrahl (kann als Interferenz der Lichtwellen betrachtet werden) gemäß dem snelliusschen Brechungsgesetz eine Richtungsänderung, er wird „gebrochen“ (grüner Strahlenverlauf im Bild).

$ n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) $

Das bedeutet für einen Übergang von einem Medium 1 in ein optisch dichteres Medium 2 ($ c_1>c_2 $, $ n_1<n_2 $), dass der Strahl zum Lot hingebrochen wird, beispielsweise beim Übergang von Luft in Wasser. $ c_1 $,$ c_2 $ stehen hierbei für die Ausbreitungsgeschwindigkeiten und $ n_1 $,$ n_2 $ für den Brechungsindex der beiden Medien.

Im umgekehrten Fall (der Lichtstrahl kommt aus dem Wasser) wird er hingegen vom Lot weg gebrochen. Vergrößert man nun den Einfallswinkel $ \theta_1 $, so verläuft der gebrochene Strahl ab einem bestimmten Wert parallel zur Grenzfläche (gelber Strahlenweg). Dieser Winkel wird Grenzwinkel der Totalreflexion oder auch kritischer Winkel $ \theta_{\mathrm c} $ genannt. Anders formuliert ist der kritische Winkel derjenige Winkel, bei dem es gerade nicht mehr zur Transmission kommt (beziehungsweise gerade noch, da die Ausbreitungsgeschwindigkeit der kritisch refraktierten Welle die des Mediums ist, in das transmittiert würde (die schnellere)). Der Winkel der Totalreflexion lässt sich mithilfe des snelliusschen Brechungsgesetzes berechnen:

$ \begin{align} n_1 \sin (\theta_\mathrm{c}) &= n_2 \sin (90^{\circ})\\[3pt] \theta_{\mathrm c} &= \arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right). \end{align} $

Seismik

Die Abhängigkeit des Strahlwegs von der Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt gleichermaßen auch für seismische Wellen. In diesem Fall der mechanischen Wellenausbreitung stellt der „Wellenstrahl“ die senkrechte Trajektorie der Wellenfront dar. Verändert sich nun die Ausbreitungsgeschwindigkeit, wird dadurch die Lage der Wellenfront und somit auch der Strahlweg verändert. Das snelliussche Brechungsgesetz ist in der Seismik über die Ausbreitungsgeschwindigkeiten ($ v_1 $,$ v_2 $) der durchlaufenen Medien definiert:

$ \frac{\sin(\theta_1)}{v_1} = \frac{\sin(\theta_2)}{v_2}, $

was vollkommen äquivalent zur Formulierung der Optik mit den Brechzahlen ist, wenn man bedenkt, dass $ n = \frac{c_0}{c_1} $ (mit $ c_0 $ als Vakuumlichtgeschwindigkeit und $ c_\mathrm{i} $ als Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium):

$ \begin{align} \frac{c_0}{c_1} \sin(\theta_1) &= \frac{c_0}{c_2} \sin(\theta_2) \quad |\div c_0\\[3pt] \frac{\sin(\theta_1)}{c_1} &= \frac{\sin(\theta_2)}{c_2} \end{align} $

Der kritische Winkel ist demnach zu berechnen aus:

$ \theta_{\mathrm c} = \arcsin\!\left(\frac{v_1}{v_2}\right). $

Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit – wie am Beispiel eines Lichtstrahls erläutert – im optisch dichteren Medium abnimmt, nimmt diese bei seismischen Wellen zu, wenn die Wellenfront in ein kompakteres Medium eintritt. Eine kritische Refraktion tritt bei seismischen Wellen daher beim Übergang von einem lockereren in ein festeres Gestein auf.

Der Effekt der seismischen kritischen Refraktion wird in der Methode der Refraktionsseismik gezielt zur Untersuchung von Schichtstrukturen des Erdinneren ausgenutzt: Im Regelfall wachsen die seismischen Geschwindigkeiten mit zunehmender Tiefe an, so dass beim Auftreffen einer seismischen Wellen auf eine Schichtgrenze unter dem kritischen Winkel eine refraktierte Welle entsteht. Diese sogenannte Kopfwelle breitet sich entlang der Schichtgrenze mit der Geschwindigkeit der unteren Schicht aus. Dabei strahlt sie kontinuierlich seismische Wellenenergie ab, die wiederum unter dem kritischen Winkel zurück an die Oberfläche läuft, wo sie aufgezeichnet werden und zur Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit benutzt werden kann.

Literatur

  • Eugene Hecht: Optik. Oldenbourg Verlag, 4. Auflage 2005, ISBN 3-486-27359-0.en:Total internal reflection#Critical angle