Kondo-Modell

Das Kondo-Modell – auch s-d-Modell genannt – ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung des elektrischen Widerstandes in Metallen mit magnetischen Störstellen – dem sogenannten Kondo-Effekt (das anomale Ansteigen des Widerstandes bei sehr tiefen Temperaturen).

In diesem vereinfachten Modell werden die stromerzeugenden Elektronen als freie Elektronen im Leitungsband (s-Band) modelliert. Die magnetischen Störstellen am Platz i im Kristallgitter werden als lokalisierte Spins angenommen, welche über eine (anti-)magnetische Spin-Spin-Wechselwirkung an die Leitungsbandelektronen gekoppelt sind. Die Modellierung der magnetischen Störstellen als lokalisierte Spins beruht auf der Annahme, dass die Elektronen in den d-Orbitale der magnetischen Störstellen stark lokalisiert sind. Diese s-d-Wechselwirkung wurde zuerst 1951 von Clarence Melvin Zener beschrieben.[1] Kasuya quantifizierte diese Modell 1956 und stellte den zugehörigen Hamiltonian auf.[2] 1964 behandelte Jun Kondo[3] dieses Modell mittels Störungstheorie 3. Ordnung und berechnete damit den elektrischen Widerstand. Das berechnete Verhalten des elektrischen Widerstandes zeigte qualitativ den experimentell gefundenen Kondo-Effekt.

Mathematische Beschreibung

Das Kondo-Modell kann mit dem folgenden Hamiltonian beschrieben werden:

$ \begin{align} H_{\text{Kondo}}&=H_0+H_J\\ H_0&=\sum_{\vec{k},\sigma}\epsilon(\vec{k}) c^\dagger_{\vec{k},\sigma}c_{\vec{k},\sigma}\\ H_J&=-\frac{J}{N}\sum_{n\vec{k}\vec{k}'}\exp(i(\vec{k}-\vec{k}')\vec{R}_n)\vec{s}_\vec{k}\vec{S}_n \end{align} $

Hierbei beschreibt $ H_0 $ die Leitungsbandelektronen im s-Band mit Dispersions-Relation $ \epsilon(\vec{k}) $. $ H_J $ beschreibt die Wechselwirkung der magnetischen Störstellen – beschrieben über die lokalisierten Spins $ \vec{S}_n $ am Platz $ \vec{R}_n $ mit den Leitungsbandelektronen. Die Wechselwirkung ist dabei eine reine Spin-Spin-Wechselwirkung mit den Spins $ \vec{s}_\vec{k} $ der Leitungsbandelektronen, welche je nach Vorzeichen von $ J $ ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch sein kann.

Ergebnisse der Störungstheorie

Das Kondo-Modell weist bei anti-ferromagnetischer Kopplung (negatives J) in Störungstheorie 3. Ordnung einen logarithmischen Term im elektrischen Widerstand auf.

$ \begin{align} \rho_\text{Kondo}(T) \propto J/\epsilon_f \log T \end{align} $

Hierbei ist $ \epsilon_f $ die Fermi-Energie. Dieser logarithmische Term führt also zu einem Anstieg des Widerstandes bei tiefen Temperaturen und kann damit die experimentellen Daten erklären. Allerdings divergiert dieser Term für $ T=0 $, was ein unphysikalisches Verhalten beschreibt. Diese Divergenz ist als Kondo-Problem bekannt.

Einzelnachweise

  1. C. Zener: Interaction Between the $d$ Shells in the Transition Metals. In: Phys. Rev. Band 81, 1951, S. 440–444, doi:10.1103/PhysRev.81.440.
  2. T. Kasuya: A Theory of Metallic Ferro- and Antiferromagnetism on Zener’s Model. In: Progress of Theoretical Physics. Band 16, 1956, S. 45–57, doi:10.1143/PTP.16.45.
  3. J. Kondo: Resistance minimum in dilute magnetic alloys. In: Progress of Theoretical Physics. Band 32, 1964, S. 37–49, doi:10.1143/PTP.32.37.