Jacobi-Koordinaten

Jacobi-Koordinaten veranschaulicht für vier Körper. Hellblau sind jeweils die virtuellen Massen eingezeichnet. Die Jacobi-Koordinaten sind r₁, r₂, r₃ und R.

Die Jacobi-Koordinaten sind ein System verallgemeinerter Koordinaten für n-Körpersysteme in der Physik. Sie werden insbesondere in der Himmelsmechanik und der Betrachtung mehratomiger Moleküle und chemischer Reaktionen verwendet.^[1]

Jacobi-Koordinaten für N Teilchen

Der Algorithmus zum Erhalt der Jacobi-Koordinaten lässt sich wie folgt beschreiben:
Man betrachtet zwei der $ N $ Teilchen und berechnet ihren Schwerpunkt $ {\vec {R}}=(m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2})/(m_{1}+m_{2}) $, ihre Gesamtmasse $ m_{12}=m_{1}+m_{2} $ und die relative Position zueinander $ {\vec {r}}_{12}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2} $. Man ersetzt nun die beiden Teilchen durch ein neues virtuelles Teilchen mit Masse $ m_{12} $ am Ort $ {\vec {R}} $. Der Relativabstand stellt dabei die erste Jacobi-Koordinate dar: $ {\vec {R}}_{1}={\vec {r}}_{12} $. Dies wiederholt man nun für die $ N-2 $ anderen Teilchen, sowie das neue virtuelle Teilchen. Nach $ N-1 $ derartigen Schritten erhält man die Jacobi-Koordinaten als $ {\vec {R}}_{i} $ und $ {\vec {R}}_{N}={\vec {R}} $ vom letzten Schritt.

In Formeln ergeben sich die Jacobi-Koordinaten zu

$ {\vec {R}}_{1}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}\;,\qquad {\vec {R}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum \limits _{k=1}^{j}m_{k}{\vec {r}}_{k}-{\vec {r}}_{j+1}\qquad {\text{und}}\qquad {\vec {R}}_{N}={\frac {1}{m_{0}}}\sum \limits _{k=1}^{N}m_{k}{\vec {r}}_{k} $

mit

$ m_{0j}=\sum \limits _{k=1}^{j}m_{k}\;. $^[2]

Dabei ist $ m_{0N}=M $ die Gesamtmasse des Systems. Die letzte Jacobi-Koordinate $ {\vec {R}}_{N} $ entspricht dem Schwerpunkt des Systems. Die zugehörigen Geschwindigkeiten berechnen sich als

$ {\vec {W}}_{j}={\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}_{j}}{\mathrm {d} t}} $

zu

$ {\vec {W}}_{1}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\;,\qquad {\vec {W}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum \limits _{k=1}^{j}m_{k}{\vec {v}}_{k}-{\vec {v}}_{j+1}\qquad {\text{und}}\qquad {\vec {W}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum \limits _{k=1}^{N}m_{k}{\vec {v}}_{k}\;. $^[2]

Verwendung

In der Himmelsmechanik ermöglichen die Jacobi-Koordinaten, die Hamilton-Funktion eines Planetensystems in einen keplerschen und einen Interaktionsteil aufzuspalten. Diese nutzten Wisdom und Holman 1991^[3] zur Konstruktion eines symplektischen Integrators hoher Geschwindigkeit, welcher vor allem in der Implementation namens Swift durch Levison und Duncan^[4] weite Verbreitung fand.

Einzelnachweise