Hermann-Mauguin-Symbolik

Hermann-Mauguin-Symbolik

Die Hermann-Mauguin-Symbolik wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet. Benannt ist sie nach den Kristallographen Carl Hermann und Charles-Victor Mauguin. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Beschreibung der 32 kristallographischen Punktgruppen und der 230 kristallographischen Raumgruppen. Weiter wird sie zur Beschreibung zweidimensionaler ebener Gruppen, zwei- und dreidimensionaler subperiodischer Gruppen (Bandornament-, Stab- und Schichtgruppen) und nicht kristallographischer Gruppen verwendet. Normiert ist sie in den International Tables for Crystallography. Neben der Symbolik nach Hermann-Mauguin existiert eine Schreibweise nach Arthur Moritz Schoenflies, die Schoenflies-Symbolik. Sie wird jedoch kaum noch für die Beschreibung eines kristallinen Zustands, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekülen genutzt. Während es zu jedem Schoenflies-Symbol eine entsprechende Hermann-Mauguin-Darstellung gibt, trifft dies umgekehrt nicht zu.

Symbole der Symmetrieelemente

Inversionszentrum

  • $ \bar{1} $: Inversionszentrum. Vervielfältigung eines Teilchens durch Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.

Drehachsen

Eine Drehung um $ \frac{360^\circ}{n} $ wird durch $ n\ $ (gesprochen „n-fache Drehung“) dargestellt. Spezialfälle sind $ 1\ $, eine Drehung um 360°, entsprechend der Identität und $ \infty{} $, eine Drehung um einen beliebig kleinen Winkel.

In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehungen vorkommen.

  • $ 1\ $: Die Identität ist Element jeder Gruppe.
  • $ 2\ $: zweizählige Drehachse, das heißt Drehung um 180°. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.
  • $ 3\ $: dreizählige Drehachse, das heißt Drehung um 120°. Es entstehen insgesamt drei symmetrieäquivalente Teilchen.
  • $ 4\ $: vierzählige Drehachse, das heißt Drehung um 90°. Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
  • $ 6\ $: sechszählige Drehachse, das heißt Drehung um 60°. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.

Spiegelebene

  • $ m\ $: Spiegelebene. Vervielfältigung eines Teilchens durch Spiegelung an einer Ebene. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.

Gekoppelte Symmetrieoperationen (Drehinversionsachsen)

  • $ \bar2 $: zweizählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 180° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die Spiegelung an einer Ebene führt, wird dieses Symbol nicht verwendet, sondern immer als Spiegelebene $ m\ $ angegeben.
  • $ \bar3 $: dreizählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 120° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.
  • $ \bar4 $: vierzählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 90° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
  • $ \bar6 $: sechszählige Drehinversionsachse, das heißt Drehung um 60° und anschließende Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen.

Kombinierte Symmetrieoperationen (Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen)

Beide angegebenen Schreibweisen sind äquivalent. Die erstere ist in der älteren Literatur üblich.

  • $ \frac{2}{m} $ oder $ 2/m\ $: zweizählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „zwei über m“). Es entstehen insgesamt vier symmetrieäquivalente Teilchen.
  • $ \frac{3}{m} $ oder $ 3/m\ $: dreizählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „drei über m“). Es entstehen insgesamt sechs symmetrieäquivalente Teilchen. Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die sechszählige Drehinversionsachse führt, wird dieses Symbol nicht verwendet, sondern immer als sechszählige Drehinversionsachse $ \bar6 $ angegeben.
  • $ \frac{4}{m} $ oder $ 4/m\ $: vierzählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „vier über m“). Es entstehen insgesamt acht symmetrieäquivalente Teilchen.
  • $ \frac{6}{m} $ oder $ 6/m\ $: sechszählige Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene (gesprochen „sechs über m“). Es entstehen insgesamt zwölf symmetrieäquivalente Teilchen.

Symbole der Punktgruppen

Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 Punktgruppen (Kristallklassen) beschreiben, da die Symmetrieoperationen der Kristallklassen keine Translation (siehe Abschnitt zu Raumgruppen) beinhalten.

Im triklinen Kristallsystem gibt es die Punktgruppen $ 1\ $ (Abwesenheit von Inversionszentren) und $ \bar{1} $ (Anwesenheit von Inversionszentren). Für andere Kristallsysteme werden die Symmetrieoperationen bezüglich drei vorgegebener kristallographischer Richtungen angegeben.

Kristallsystem 1. Stelle 2. Stelle 3. Stelle
monoklin $ [100]\; $ $ [010]\; $ $ [001]\; $
orthorhombisch $ [100]\; $ $ [010]\; $ $ [001]\; $
tetragonal $ [001]\; $ $ \langle 100 \rangle $ $ \langle 110 \rangle $
trigonal $ [00.1]\; $ $ \langle 10.0 \rangle $ $ \langle 12.0 \rangle $
hexagonal $ [00.1]\; $ $ \langle 10.0 \rangle $ $ \langle 12.0 \rangle $
trigonal,
rhomboedrische Aufstellung
$ [111]\; $ $ \langle 1\bar10 \rangle $
kubisch $ \langle 100 \rangle $ $ \langle 111 \rangle $ $ \langle 110 \rangle $

(Die farbig hinterlegten Richtungen werden in den Punktgruppensymbolen grundsätzlich nicht angegeben, da dort nie Symmetrieelemente außer $ 1\ $ oder $ \bar{1} $ liegen. Sie werden aber für die Raumgruppensymbole gelegentlich benötigt.)

Es werden die Dreh- und Drehinversionsachsen parallel und die Spiegelebenen senkrecht zu diesen Richtungen angegeben. Bei trigonalen Punktgruppen ist zu beachten, dass die Richtungen in der ersten Zeile bezüglich der hexagonalen Aufstellung des Koordinatensystems angegeben sind. Bei der gekürzten Schreibweise der Hermann-Mauguin-Symbole werden redundante Informationen weggelassen. Statt $ 4/m\ 2/m\ 2/m $ wird zum Beispiel $ 4/m\ m\ m $ geschrieben.

Symbole der Raumgruppen

Die Bezeichnung für die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen. Zusätzlich wird das Bravais-Gitter vorangestellt:

  • P: Primitiv
  • A, B oder C: Flächenzentriert
  • F: Allseitig Flächenzentriert
  • I: Innenzentriert
  • R: Hexagonales Gitter mit rhomboedrischer Zentrierung

Es treten außerdem zusätzliche Symbole auf:

  • $ n_m\ $: $ n\ $-zählige Schraubenachse mit Translation um $ \frac{m}{n} $ Teile eines Gittervektors.
  • $ a\ $, $ b\ $ oder $ c\ $: Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors.
  • $ n\ $: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale.
  • $ d\ $: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale.
  • $ e\ $: Zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren.

Ein Beispiel für eine tetragonale Raumgruppe in gekürzter Schreibweise ist $ I\ 4_1/a\ m\ d $.

Literatur


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