Hauptträgheitsachse

Eine Hauptträgheitsachse, oft abgekürzt auch Hauptachse, eines Körpers ist eine Rotationsachse, um die der Körper fortgesetzt rotieren kann, ohne dass die Richtung der Achse durch ein äußeres Drehmoment konstant gehalten werden muss. Zu jedem Körper existieren zu jedem Punkt, um den er rotieren kann, mindestens drei solcher Achsen, die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Jedoch wird der Begriff Hauptträgheitsachse im Allgemeinen nur für Achsen verwendet, die durch den Schwerpunkt des Körpers gehen.

Wenn ein Körper um eine freie Achse rotiert, die zwar durch den Schwerpunkt geht, aber keine Hauptträgheitsachse ist, dann führt er eine taumelnde Drehbewegung aus. Dabei ändert sich die Richtung der Achse fortwährend sowohl im Raum als auch in Bezug zum Körper, wie es zum Beispiel leicht anhand von Quadern mit unterschiedlichen Seitenlängen demonstriert werden kann.[1] Nur durch eine Lagerung, die ein Drehmoment auf die Achse ausübt, kann in diesen Fällen die Richtung der Rotationsachse konstant gehalten werden. Der rotierende Körper zeigt dann eine dynamische Unwucht. Die erforderlichen äußeren Lagerkräfte steigen mit dem Quadrat der Drehzahl an. Im Alltag ist dies etwa bei nicht ausgewuchteten Autorädern oder ungleichmäßig befüllten Wäscheschleudern gut zu beobachten. Durch Auswuchten, das heißt durch Änderung der räumlichen Massenverteilung des Körpers, kann eine solche Unwucht beseitigt werden. Die entsprechende Achse wird in der Regel zur Hauptträgheitsachse mit dem größten Trägheitsmoment gemacht, weil nur bei dieser Achse gewährleistet ist, dass kleine Störungen der stabilen Rotation nicht mit der Zeit anwachsen.

Das ganze Verhalten erklärt sich daraus, dass nur bei Drehungen eines Körpers um eine Hauptträgheitsachse der Drehimpuls parallel zur Drehachse ist. Bei Drehungen um andere Achsen bilden Drehimpuls und Drehachse einen Winkel. Soll dann die Achse fest bleiben, muss der Drehimpuls mit dem Körper rotieren, also seine Richtung ändern, was nach dem Drallsatz nur durch ein äußeres Drehmoment bewirkt werden kann. Wirken aber keine äußeren Drehmomente, dann bleibt der Drehimpuls nach Richtung und Betrag konstant, so dass nun die Rotationsachse um ihn herum bewegt wird. Nur wenn der Drehimpuls parallel zur Drehachse ist, behalten beide ohne äußere Kräfte ihre Richtung bei. Man findet die Hauptträgheitsachsen eines Körpers als die Hauptachsen seines Trägheitstensors, alles nähere siehe dort.

Das Taumeln der Drehachse bei Rotation eines freien Körpers um eine Achse, die nicht Hauptträgheitsachse ist, kann man auch im mitrotierenden Bezugssystem begründen: Darin erzeugen alle rotierenden Teile des Körpers Zentrifugalkräfte, die zusammengenommen ein Drehmoment um den Schwerpunkt bilden können. Wenn dies nicht null ist, lässt es die Achse kippen. Bei Rotation um eine Hauptträgheitsachse addieren sich die Momente dieser Zentrifugalkräfte zu Null.

Literatur

  • Holzmann/Meyer/Schumpich – Technische Mechanik Band 2, B.G. Teubner Stuttgart
  • Technische Mechanik, Martin Mayr, Hanser-Verlag, ISBN 3-446-22608-7

Einzelnachweise

  1. Carsten Timm: Theoretische Mechanik, Kapitel 5.3.1 Rotation um freie Achsen, 18. Juli 2011, Technische Universität Dresden, Institut für Theoretische Physik, abgerufen am 3. Februar 2017