Gradientenfeld

Gradientenfeld

Dieser Artikel behandelt die Bedeutung des Wortes in der Mathematik und der Physik. Der Begriff wird aber auch bei der Beschreibung von physikalischen Versuchsaufbauten im Sinne eines Feldes verwendet, dessen Feldstärke sich kontinuierlich ändert; siehe z. B. Magnetic Particle Imaging, AEGIS-Experiment

Ein Gradientenfeld ist ein Vektorfeld, das aus einem Skalarfeld durch Differentiation nach dem Ort abgeleitet wurde, bzw. – kürzer formuliert – der Gradient des Skalarfelds.

Zur besseren Abgrenzung zwischen dem Gradienten als mathematischem Operator und dem Resultat seiner Anwendung bezeichnen manche Autoren die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, auch als Gradientvektoren,[1] andere dagegen mit Blick auf die Potentiale, aus denen sie sich herleiten, als Potentialvektoren [2].

Analog verwendet die überwiegende Zahl der Autoren den Begriff Potentialfeld nicht für das skalare Feld des Potentials selbst, sondern das sich aus ihm ableitende Gradientenfeld [3][4].

Definition und Eigenschaften

Ein Vektorfeld $ \vec F \colon \vec r \mapsto \vec F(\vec r) $ heißt Gradientenfeld, wenn es ein Skalarfeld $ \Phi \colon \vec r \mapsto \Phi(\vec r) $ gibt, so dass

$ \vec F(\vec r) = \vec \nabla \Phi(\vec r) $

gilt. Dabei nennt man $ \Phi $ das zu $ F $ gehörige Skalarpotential oder einfach kurz das „Potential“ des Gradientenfelds $ \vec F $. Der Begriff darf jedoch nicht mit dem physikalischen Begriff des „Potentials“ verwechselt werden, mit dem die Fähigkeit eines konservativen Kraftfelds bezeichnet wird, einen dem Feld ausgesetzten Körper eine Arbeit verrichten zu lassen.

Physikalische Potentiale sind dabei, wenn damit die entsprechenden Ortsfunktionen (Felder) und nicht nur deren Funktionswerte gemeint sind, stets auch Potentiale im Sinne der Mathematik, während umgekehrt nicht jedes mathematische Potential, etwa das der potentiellen Energie[5] oder das Geschwindigkeitspotential, auch eines im o. g. physikalischen Sinn ist.

Vektorfelder, die Gradienten eines Skalarfelds sind, werden in Anlehnung an den Begriff des „konservativen Kraftfelds“ oft auch als „konservative“ Vektorfelder[2] bezeichnet - ihnen allen gemeinsam sind dabei die folgenden drei einander äquivalenten Eigenschaften:

  1. Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals: Der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen Kurve S innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer Länge.
  2. Verschwinden des Ringintegrals für beliebige Randkurven S:
    $ \oint_S \operatorname{grad}\,\Phi(\vec r)\,\mathrm d \vec r = \oint_S \vec F(\vec r)\,\mathrm d \vec r = 0 $
  3. Generelle Rotationsfreiheit bzw. Wirbelfreiheit[2] des Feldes:
    $ \operatorname {rot}\,(\operatorname{grad}\,\Phi(\vec r)) = \operatorname {rot}\,\vec F(\vec r) = \vec \nabla \times \vec F(\vec r) = \vec 0 $

Beispiele

Beispiele von Potential- und Gradientenfeldern in der Physik
Skalarfelder (Potentialfelder) (gelb):
VG - Gravitationspotential
Wpot - potentielle Energie
VC - Coulomb-Potential
Vektorfelder (Gradientenfelder) (cyan):
aG - Gravitationsbeschleunigung
F - Kraft
E - elektrische Feldstärke

Leitet man das Feld der potentiellen Energie $ W_\mathrm{pot}(\vec r) $, wie in der nebenstehenden Abb. gezeigt, nach dem Ort $ \vec r $ ab [1], erhält man den Energiegradienten $ \vec \nabla W_\mathrm{pot}(\vec r) $, also ein Vektorfeld, dessen einzelne Vektoren dabei in die Richtung der jeweils stärksten Zunahme von $ W_\mathrm{pot}(\vec r) $ an der Stelle $ \vec r $ zeigen. Dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend, sind die diesem Gradienten entgegengesetzten Vektoren $ -\vec \nabla W_\mathrm{pot}(\vec r) $ nichts anderes als die jeweils in Richtung des steilsten Gefälles von $ W_\mathrm{pot}(\vec r) $ zeigenden „rücktreibenden“ Kräfte $ F_G $ (Gravitationskraft) und $ F_C $ (Coulombkraft)

$ \vec F_G = -\vec \nabla W_\mathrm{pot}(\vec r) \quad \text {bzw.} \quad \vec F_C = -\vec \nabla W_\mathrm{pot}(\vec r) $.

Division des Energiegradienten $ \vec \nabla W_\mathrm{pot}(\vec r) $ durch die Skalare m bzw. q liefert analog die Potentialgradienten $ \vec \nabla V_G(\vec r) $ (Gravitationspotential) und $ \vec \nabla V_C(\vec r) $ (Coulomb-Potential), deren einzelne Vektoren dabei abermals in Richtung der jeweils stärksten Zunahme des Potentials an der Stelle $ \vec r $ zeigen. Die ihnen entgegengesetzten Vektoren $ a_G $ und $ E $

$ \vec a_G = -\vec \nabla V_{G}(\vec r) \quad \text {bzw.} \quad \vec E = -\vec \nabla V_{C}(\vec r) $

heißen Gravitationsbeschleunigung bzw. elektrische Feldstärke.

Vorzeichen

Handelt es sich bei dem zugrundeliegenden Skalarpotential auch um ein Potential im physikalischen Sinne (s. o.), beschreibt es also ein tatsächliches physikalisches Arbeitsvermögen, wird das sich aus ihm ergebende Gradientenfeld, wie gerade begründet, stets mit einem (der Zunahme des Betrags von $ \vec r $ entgegengesetzten) negativem Vorzeichen geschrieben. Bei Skalarfeldern dagegen, die sich nur mathematisch wie Potentiale verhalten, etwa dem Strömungs- oder Geschwindigkeitspotential, das damit auch keine potentielle Energie repräsentiert, ist das Vorzeichen seines Gradienten undefiniert und wird für gewöhnlich positiv gewählt:

Kraft - Potentielle Energie: $ \quad \vec F(\vec r) = -\vec \nabla W_\mathrm{pot}(\vec r) $
Elektrische Feldstärke - Coulomb-Potential: $ \vec E(\vec r) = -\vec \nabla V_{C}(\vec r) $
Gravitationsbeschleunigung - Gravitationspotential: $ \vec a_G(\vec r) = -\vec \nabla V_{G}(\vec r) $
aber
Geschwindigkeit - Geschwindigkeitspotential: $ \vec v(\vec r) = +\vec \nabla\Phi(\vec r) $

Integrabilitätsbedingung

Ist $ U \subseteq \mathbb{R}^n $ eine offene und einfach zusammenhängende (zum Beispiel sternförmige) Menge und $ \vec F\colon U \to \mathbb{R}^n $ stetig differenzierbar, so ist $ \vec F $ genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingungen

$ \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} $ für alle $ i,j \in \{1, \dots, n \} $

auf $ U $ erfüllt ist. Die Aussage erhält man als Spezialfall aus dem Poincaré-Lemma.

Im Zwei- und Dreidimensionalen lauten die Integrabilitätsbedingungen:

  • Für $ \mathbb{R}^2 $: $ \frac{\partial F_1}{\partial x_2} = \frac{\partial F_2}{\partial x_1} $
  • Für $ \mathbb{R}^3 $: $ \frac{\partial F_1}{\partial x_2} = \frac{\partial F_2}{\partial x_1},\ \frac{\partial F_1}{\partial x_3} = \frac{\partial F_3}{\partial x_1} \text{ und } \frac{\partial F_2}{\partial x_3} = \frac{\partial F_3}{\partial x_2} $ [6]
    Äquivalent dazu ist in beiden Fällen die Bedingung $ \operatorname{rot}\,\vec F= \vec 0 $.

Auf Gebieten, die nicht einfach zusammenhängend sind, sind diese Integrabilitätsbedingungen zwar notwendig, aber im Allgemeinen nicht hinreichend.

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 579.
  2. 2,0 2,1 2,2 W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 547.
  3. §4 Potentialfelder. (PDF; 1,9 MB) In: Mathematik für Ingenieure III. WS 2009/2010, Universität Kiel.
  4. Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Springer, Berlin/Heidelberg, S. 322.
  5. W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 742.
  6. K. Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, 2004, ISBN 3-540-20389-3, Korollar S. 193.
fr:Champ de vecteurs#Champ de gradient

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